341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Уравнснил 1-го порлдкя Отсюда .)1 рь=С и рз= ь,ь-у. Подставлпн поочередно оба результата в выражшше длп х, найдем общее решение у = Сх — Сз и решение 2 зьз у = х з,Гз которое, как легко убсдптьсн, явллстся особым, с Решить дифференциальные уравнения: 10114 у уь2+49 з 10115 у уьф+уь2 ь2 10.116. у = (у' — 1)еп . 10.117. у = — + 2ху'+ х2. 2 10.118. х = у' — у'+ 2. 10.119.
х = у' соз у'. у 10.120. х = 2у' — )ну'. 10.121. х = — + —,. ь2 Частным случаем уравнений вида (20) являетсп так называемое ураенеььие Лагранжа (25) у = х( (у ) + ьье(у ), которое прп Ду') = у' называют ураеььенььезь Клеро. Введением пара- метра р = у' уравнение (25) приводится к виду у = х.г"(р) + р(р) в случае общего уравнснин Лагранжа и к виду у — — хр+ р(р) в случае уравнения Клеро. Уравнение Лагранжа имеет особые решения у = х Г (ро) + фро), где ро — любой из корней уравнения ((р) = р. Уравнение Клеро имеет общее решение (26) у =. Ст + зе(С) и особое решение (27) х = — ьр (р), у = — д (р)р + ьр(р), явлнющеесн огибающей семейства интегральных кривых (26).
Гл. 10. Ди4с~крснииальные 1брзвлснлл Таким образом, моз но сформулировать следующее п р а к т и ч соков п р а вила. Заменив в уравнении Клеро символ у' символом С, мы сразу получаом общее решение (26). Дифференцируя его по С и исключая С из системы двух уравнений (общсго решения и результата дифференцирования), получаем особое решение (27). Пример 17. Решить уравнение Лагранз а у=ту +у. з Полагая у' = р, найдем у=:гр +р „г Дифференцируя зто равенство по х, получим (р г!Р р=р +2хр — + —, Нх г(х ' или дх 2р 1 — =х, + Фр р-рв р-рз Это линейное уравнение имеет общее решение 1 х = (С+ !и!р( — р), (1 — р) подставляя которое в формулу для у получаем обпгее решение исходного уравнения в параметрической форме; С + !и ~р! — р (С + !и !р! — р)р' х= (1 — р)з ' (1 — р)' У = + р.
Кроме того, уравнение имеет особые решения у = 0 и У = х + 1, соответствующие корням р~ — — О и рз —— 1 уравнения р = р. > Пример 18. Решить уравнение у=ху у З Данное уравнение имеет вид (25) при у" (у') = у', т.е. является уравнением Клеро. Следуя практическому правилу, получаем общее решение у = Сх — С . Исключая, далее, параметр С из системы уравнений у = Сх — С", 0 = х — 4С', получим особое решение х .
с 3 лайз 4 ~з/4 'в 1. Уравнения 1-го порядка 297 Решить дифференциальные уравнения; 1+ у" 10.122. у = и, . 10.123. у = 2ху'+ —. 2у' ' у'г 10.124. у = ху' + у' . 10.125. у = — (ху' + у'!и!/'). 2 10.126. у = ху' — —. 10.127. у = ту'+ у'+ ~/у'. у 10.128. у = хд/' — е" . 10.129. у = ту' + сов у'. 10. Смешанные задачи на дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Определить типы дифференциальных уравнений и указать в общем виде методы их решения: д:з 2хг 10.130. в!пхз = е и . 10.131. ~/хг — уг = у — Зх + ху' 10.132. 1+ х + (1+ хг)(е' — езду') = О. 10.133. 2у'(1 — хг) — ху — 2хуг + 2хвуг = О. 10.134. у йх + (2х — уг) йу = О. /т г 10.135. ~ — — х+ уг) Йх+ ~2ху+ у — . ) Ыу = О. Ь ) ~ /) 10.136.
удх+ (х — 2 /ху) ф = О. 10.137. (хг + у + 1) Йу+ хуйх = О. 10.138. у' = вш.(у — х). у' — а* у уех Я!п 10.139. х = агссов . 10.140.,„/у = у хг+2х — 1 ' Решить дифференциальные уравнения: 10 141 у' + ху = хв 10 142. (х — у) йу — у йх = О. 10.143. (х сов 2у+ 1) йх — хг еЗп2у~!у = О. 1 — 2х 10.144.
у' = у !8 х, — уг сов.т.. 10.145. у' = ,г 10.146. 2у тЬ + (уг — бх) Иу = О. 10.147. (хуе*/и + уг) йх = хгс*/в Йу. 10.148. (хуг + х) т/х + (у — хгу) с!у = О. 10.149. (2х' †.т,у') !х -!- (2уз — хгу) ф = О 10.150. ху' + у = уг !и т.. 10.151. Зх + у — 2 + у'(х — 1) = О. 298 Гл. 10. ДиФференциальные уравнения х + у 10.152. у' = 10.153. у'совх — уяпх = яп2х. х — з/ 10.154. (2х+1пу) Дх+ — + япу Ду = О. 1 с/ 10.155. у = ху' — !ну'. 10.156.
у' = х1/+ х2уз 10.157. (х — увщ — ) г/х+ хяп — г(у = О. У~ У 10.158'. ху' = хге " + 2. 10.159. (2хе" + у~)у' = //ет. 10.160*. (1 + уг) с/х =- ( Д + уг сов у — ху) г/у. 10161 2 — 1 (х 2 2ДУ=О. ~,хг+ У2 / т2+ уг 2У 2х/У г хг 10.162. у' + — =,,' . 10.163. у = у' + 2ху' + —. х в|пг х 2 10.164'. (х — 2уз) с(х + Зс/г(2х — уз) с/у = 11. Геометрические н физические задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений 1-го порядка. В задачах гсометрин, в которых требуется найти уравнение кривой по заданному свойству ес касательной, нормали или площади криволинейной трапеции, используются Ркс.
50 геометрическое истолкование производной (угловой коэффициент касательной) и интеграла с переменным пределом (площадь криволинейной трапеции с подвижной ограничивающей ординатой), а также следующие общие формулы для определения длин отрезков касательной ~, нормали и, подкасательной вс и поднормали в„(рис. 50): —,~/1+у', и = ~у/1+ у' ~, в~ =- —,, в„=1уу'~. з/' 1 1 (у 8 1. Уравнения 1-го порядка Пример 19. Найти уравнение кривой, проходящей через начало координат, если в канадой ее точке М(х, у) подкасательная я~ в й раз меньше поднормали я„, з Пусть д = 1(х) уравнение искомой кривой. Используя выраьчения подкасательной я~ н поднормали з„, мы сразу получаем дифференциальное уравнение )ур') = )г р илн (р')' = 1 Интегрируя это уравнение и учитывая начальное условие у(0) = О, получим искомые уравнения (две прямые).
С Пример 20. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1, 1), если для любого отрезка (1, х) плошадь криволинейной трапеции, ограниченной соответствующей дугой этой кривой, на 2 больше удвоенного произведения координат точки М(х, р) кривой (х > О, р > 0). О Согласно условию задачи имеем у(1) ~й + 2 = 2ху(х) ! Дифференцируя зто равенство по х, получаем дифференциальное урав- нение у = 2(у + ху'), или р Интегрируя это уравнение и учитывая начальное условие у(1) = 1, найдем уравнение искомой кривой: 1 7/ = . Г> ~/х 10.165.
Найти уравнение кривой, проходящей через точку (ь/2, О), если сумма длин ее касательной и подкасательной равна произведению координат точки касания. 10.166. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1, 2), если ее подкасательная вдвое больше абсциссы точки касания. 10.167. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1/2, — 1), если длина отрезка полуоси абсцисс, отсекаемого ее касательной, равна квадрату абсциссы точки касания. 10.168. Найти уравнения кривых, у которых длина отрезка нормали постоянна и равна а.
300 Гл. 10. Диффсренциальные уравнения 10.169. Найти уравнения кривых, у которых поднормаль имсст постолнную длину а. 10.170. Найти уравнснис кривой, проходшпсй чсрсз точку (О, 2), если площадь криволипсйной трапеции, ограниченной дугой этой кривой, в два раза большс длины соответствующей дуги. 10.171.
Найти уравнение кривой, проходлшей чсрсз точку (1, 1/2), если для любого отрезка [1, х] плоьцвдь криволинейной трапеции, ограниченной соответствуюшсй дугой этой кривой, на 2 большс отношсния абсциссы л концевой точки к ордпнатс. 10.172. Найти уравнение кривой, проходашсй через точку (О, 3), если подкасательнал в любой точке равна суммс абсциссы то ши касапип и расстопнин от начала координат до точки касания '1/ (ограничитьсл рассмотрснисм случал — ', ) 0).
й 10.173. Найти уравнение кривой, проходящей чсрсз точку (1, 0), если длина отрезка оси абсцисс, отсекасмого сс нормалью, на 2 больше абсциссы точки касанил. 10.174. Найти уравнение кривой, проходяшей чорсз начало координат, если для любого отрезка (а, г) пло)падь криволинейной трапеции, ограниченной соотвстствуюшей дугой этой кривой, равна кубу ординаты концевой точки дуги. 10.175. Найти уравнснис кривой., проходпщсй черсз точку с поллрными координатами г = 2, д = О, если угол гг мсьчду сс касательной и радиус-всктором точки касания ость постолннал величина: 1ца = а. 10.176. Найти уравнснис кривой, проходншей чсрсз точку (1, 1), соли длина отрезна оси абсцисс, отсекасмого любой се касательной, равна длине этой васательной.
10.177. Найти уравнсиис кривой, проходлпюй через точку (3, 1), осли длина отрсзиц огсскаемого любой сс касательной на оси ординат, равна полпормали. 10.178. Найти уравнение кривой, проходлшей через начало координат, осли серсдина отрсзка ес нормали от лк>бой точки кривой до оси Ох люкит на параболе 2уз =- х. 10.179. Найти уравнение кривой, проходлшей через точку (1, О), если плошадь трапепии, образованной касвтсльной, осями координат и ординатой точки касания, постоянна и равна 3/2. 10.180.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
