341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Найти уравнсние кривой, проходящей через точку (О, 1), если плошадь треугольника, образуемого осью абсцисс, касательной и радиус-вектором точки касания, постолнна и равна 1. 10.181. Найти уравнсние кривой, прохоляшсй через точку (1, 2), если произведение абсциссы точки касаннл на абсциссу точки пергсечснил нормали с осью От равно удвоснному квадрату расстолнпя от начала координат до точки васянин. Ц 1 Уравпехщл 1-го лоулдка 301 10.182. Нпйти уравнение кривой, проходящей через точку с полярными координатами г =- и, ~р = и/2, если плошадь сектора, ограниченного этой кривой, полярной осью и псрсмснным полярным радиусом, в шесть раз мсш,шс куба полярного радиуса.
Ортпагакальиььии трасищарилми длл однопарамстричсского семейства 51 лшшй у = Ф(х, а) назьшастсл другое семейство Яг линий, которые пересекают линии первого ссмсйства под прямым углом. Пример 21. Найти ортогонвльныс трасктории семейства кубических парабол у =- азл. з Найдем дифференциальное уравнение лонного семейства, исключая а из системы уравнений у =-ах у' — — Захг. Получим у' = Зу/т. Диффгрснцпальнос уравнение семейства ортогоназьных траекторий есть у Зу Кто общий интеграл хт + Зуг С'т лвллстся уравнением гвмсйствв ортогоцзльных грасктс~ряй (эллипсов). !> Найти ортогональныс траектории данных ссмсйп:тв кривых (а — - параметр); 10.183.
аут = хз. 10.184. у = ахг. 10 188 тг — 2уг аг 10 186. у =- иег'. При согтавлснип дифф< рснпиальных уравнений 1-го порядка в фпзичсгкпх задачах часто примщтстсл .иетлаг! дигбфеуенииалав, по которому приблгщюнныс соотношения мюхду малыми приращениями величин заменяются соотношснилми между их дпффсрспппаламп. Тзввл замена нс отражастгя на результатах, зак как дело сводится к отбрвгываншо бесконечно малых выспшх порядков. Другим методом состав ~ения дифференциальных уравнений лвлястсл цгпользовапис фызичсского смысла производной как скорости протекания процесса.
Пример 22. В резервуара псрвоначалыю содержится.4кг вещества, растворенного в В литрах воды. Затем кав~дук~ минуту в резервуар поступает М литров воды и вытскаст Ж литров раствора (ЛХ > ГГ), причем однородность раствора досппастся путом псргмешпванпл. Нанти массу вещества в резервуаре через Т минут после начала процесса. < Обозначим чсрсз:г(6 массу всщсства в резервуара в момент времени ! и через х-ь г1х — в момент времени г+ Ьг (время измеряется в минутах, момент времени ! = О соответствует началу процесса). Заметим, что Ьх ( О при Ьг > О (т.е, раствор гобсднлстслг). 302 Гл.
10. Дифференциальные уравнения Пусть Г(1) — объем смеси в момент и $'(г) = В+ Мг — Фй Концентрация вещества в момент времени 1 равняетсн, очевидно, х/Г. За бесконечно малый отрезок времени )Ф, г + Ы) масса вещества изменяетсн на бесконечна малую величину Ьх, для которой справедливо приближенное равенство Ъ' В+ (М вЂ” Х)~ Заменяя приращения Лх и Ы дифференциалами дх н й, получаем диф- ференциальное уравнение: Хх В+ (М вЂ” Ф)1 Интегрируя то уравнение с разделяющимися переменными и считая М > Ф, найдем общее решение: Используя начальное условие х = А при 1 = О, найдем частное решение: В ндм-и) х(1) = А Полагая г = Т, получим ответ: В ндм-н~ х(Г) = А В+ (М )т Случай М = Ф требует отдельного рассмотрения (см. задачу 10.195). [> 10.187.
Скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей его среды (закон Ньютона). Найти зависимость температуры Т от времени 1, если тело, нагретое до То градусов, внесено в помещение, температура которого постоянна и равна а градусам. 10.188. Через сколько времени температура тела, нагретого до 100'С, понизится до 25'С, если температура помещения равна 20'С и за первые 10 мин тело охладилось до 60'С? 10.189*.
Замедляющее действие трения на диск, вращающийся в жидкости, пропорционально угловой скорости вращения. Найти зависимость этой угловой скорости от времени, если известно, что 3 1. Уравненил 1-го первака 303 диск, начавший вращаться со скоростью 5 об/с, по истечении двух минут вращается со скоростью Зоб/с. Через сколько времени он будет иметь угловую скорость 1 об/с? 10.190. Скорость распада радин пропорциональна наличному его количеству. В течение года из каждого грамма радин распадается 0,44 мг. Через сколько лет распадется половина имеющегося количества радия? 10.191*. Скорость истеченип воды из сосуда через малое отверстие определяется формулой о = 0,6~(2дЬ, где 6 — высота уровня воды над отверстием, д — ускорение свободного падения (принять д = 10 м/с~). За какое времн вытечет вся вода из цилиндрического бака диаметром 2Л = 1 м и высотой Н = 1,5м через отверстие в дне диаметром 2г = 0,05 м? 10.192'.
Количество света, поглощаемого при прохождении через тонкий слой воды, пропорционально количеству падающего света и толщине слоя. Зная, что при прохождении слоя воды толщиной 2м поглощается 1/3 первоначального светового потока, найти, какал часть его дойдет до глубины 12 м. 10.193.
Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды, которое пропорционально скорости лодки. Начальная скорость лодки 1,5 м/с, скорость ее через 4 секунды 1 м/с. Когда скорость уменьшится до 1см/с? Какой путь пройдет лодка до остановки? 10.194*. Пула, двигаясь со скоростью оо = 400 м/с, пробивает стену толщиной Ь = 20 ем и вылетает, имен скорость 100 м/с.
Полагая силу сопротивления стены пропорциональной квадрату скорости движения пули, найти время прохождения пули через стену. 10.195. В баке находится 100л раствора, содержащего 10кг соли. В бак вливается вода со скоростью 5 л/мин, и смесь вытекаег из него с той же скоростью. Однородность раствора достигается путем перемешивания. Сколько соли останется в бакс через час? 10.196. Некоторое вещество преобразуется в другое вещество со скоростью, пропорциональной массе непреобразованного вещества.
Если масса первого есть 31,4г по истечении одного часа и 9,?г по истечении трех часов, то определптгс а) маггу вещества в начале процесса; б) через сколько времени после начала процесса останется лишь 1Уа первоначальной массы исходного вещества? 10.197*. В помещении цеха вместимостью 10 800 ма воздух содержит 0,12% углекислоты. Вентиляторы доставляют свежий воздух, содержащий 0,04?4 углекислоты, со скоростью 1500мз/мин.
Предполаган, что углекислота распределяется по помещению равномерно в каждый момент времени, найти объемную долю углекислоты через 10 мин после начала работы вентиляторов. Гл. 10. Дифференциальные уравнения 304 10.198. Сила тока 1 в цепи с сопротивлением Еч индуктивностью Л и напряжением и удовлетворяет уравнению с(1 Ь вЂ” +И=и. гй Найти силу тока 1 в момент времени 1, если и = Еа)поЛ и 1 = О при 1 = 0 (Ь, Л, Е, ю — постоянные). 8 2.
Дифференциальные уравнения высших порядков 1. Основные понятия. Теорема Коши. Дифференциальное уравнение п-го порядка имеет вид г'(х, у, у, у~, ..., УОО) = 0 или урй = у(х, у, у,..., у~" ~). (2) Задачей Коши для дифференциального уравнения (2) называется задача отыскания решения у(х), удовлетворяющего заданным начальным условиям у(хо) = уо у (хо) = уо у( (хо) = уо (3) Обгцим рещенвем уравнения (1) или (2) называется такая функция у = ~р(х, Сы ..., С„), которая при любых допустимых значениях параметров Сы ..., С„является решением этого дифференциального уравнения и для любой задачи Коши с условиями (3) найпутся постоянные Сы Сэ, ..., С„, определяемые из системы уравнений; уо = р(хо, Сы ", С.), уо = ьг (хо, Сы ..., С„), уо ~ = у~" ' (хо, Сы ..., С„). Уравнение (4) Ф(х, у, Сы ..., С„) = О, определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим итиезралом дифференциального уравнения.
Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши. Если дифуберенниальное уравнение (2) глокооо, что функнал у(х, у, у',..., у~" О) в некоторой области Р изменения своих аргументов непрерывна и имеет непрерывные ду ду ду частные производные —, —, ...,, ти для любой точки ду' ду'' ' ду01 ')' З 2.
Дифференциальные уравнения высших порядков ЗОО а С С2 свч у = С/Сэе~", Подставив выражения у, у' и уа в данное уравнение, получим тождество Св есчт С~ Сэ есвл (С~ Сэесвч )э Следовательно, функция у = С~ес'ч есть решение данного уравнения. > Пример 2. Найти область сушествования и единственности решения уравнения 1/ъ/д7 у х З Функция Дх, у, у') = и уЮ х д'/ ес частная производпая— 01! о! частная пронзводная — , Пу' у 2х ч/у' непрерывны при х ф О, у' 3 О; нспрерывна прн х ь О, у' > О. Следовательно, данное уравнение имеет единственное решение при х~б,у >О.~> Найти область существования и единственности решения уравнений: 10.199. уа = х +,/З вЂ” у'.
10.200. 1!а = у' 1п у'. Показать, что данные выралвения при любых действительных значениях вхолящих в них параметров опрелеляют рсщсяия соответствующих дифференциальных уравнений: Г з)п/ 10.201. у = х — й+ созх+ С!х+ Сз; хуа = вшэь 10.202. у = х 1пх+ С~х~ + Стх+ Сз', хув' = 2. 10.203. е/ в)пз (С~ х + Сз) = 2С~т; ув = еа. 10.204.
С~у = вш (С~х + Ст); уув + 1 = у' . Показать, что данные функции являются частными решениями соответствуя/щих дифференциальных уравнений: 2 10.205. у =; 1+ у' = 2уу". 2 10.206. у = е*; уз+у' = 2уу". (ха, уа, уа,, уа ) Е Р суеяестпвуеел такай инепераи,л:еа — 6 < (а — И ( х ( хо+/ц на котором суи!ествует и притиам едияставнное ре,иение этоса уравнения, удавлетварлюи/ее начальнелм ус мааилм 13). Пример 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
