341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 39
Текст из файла (страница 39)
/ — дх (о > О, (З > 0). о ' е — е г — а~ — дх 9.189. / — яптхйх (о > О, д > О, т ф О) о нх з(п Дт, 9.190. е "' " г(х (о > оо > 0). 'о Г 1 е — ах 9.191. / г1х (о > — 1). хет О 4. Вычисление интегралов, зависящих от параметр 9.192*. е ч* сояохдх (1 > 0).
о 1 ~ хЛ:х" о 1 9.194. / дх ((о! < 1). Г 1п(1 — а~х~) . /,.Д вЂ”,о о 1 9.195. / дх (~ст! < 1). Г1н(1 — ох ) Д вЂ” х~ о Глава 10 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ П 1. Уравнения 1-го порядка 1. Основные понятия. Функциональное уравнение г'(х, у, у ) = О или у = ((х, у), (2) связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию у(х) и се производную у'(х), называется дифферекииальиь м уравнением 1-го порядка. Решением (часткы.и решением) уравнения (1) или (2) на интервале (а, 6) называется любая функция у = у(х), которая, будучи подставлена в это уравнение вместе со своей производной ~р'(х), обращает его в тождество относительно х б (а, Ь). Уравнение Ф(х, у) = О, определяющее это решение как неявную функцию, называется интегралом (частным интегралом) дифференциального уравнения. На плоскости с фиксированной декартовой прямоугольной системой координат уравнение Ф(х, у) = О определяет некоторую кривую, которая называется интегральной кривой дифференциального уравнения.
Функция у = ~р(х, С) называется общим решением уравнения (1) или (2), если при любом допустимом значении параметра С она является частным решением этого уравнения и, кроме того, любое его частное решение может быть представлено в виде у = р(х, Со) при некотором значении Со параметра С. Уравнение Ф(х, у, С) = О, определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения. япх Пример 1. Проверить подстановкой, что функция — есть решсх ние дифференциального уравнения ху' + у = сов х.
япх, соэх япх э Имеем у = —, у' = — — —. Умножив у и у' соответственно х х хэ на 1 н х и сложив полученные выражения, получим ху'+ у = совх, с Пример 2. Показать, что функция у = Схэ, С б К, является решением дифференциального уравнения ху' — Зу = О. Найти частное решение, удовлетворяющее условию у(1) = 1. (Найти интегральную кривую, проходящую через точку Мо(1, 1).) З 1. Уравнения 1-го порядка 277 с! Найдя у' = ЗСхэ и подставив выражения у н у' в днфферснциальнос уравнение, при любом значении С шслучнм тождество ЗСх' — ЗСхз ь— а О. Это означает, что функция у = Схэ нвлнстся рсшснием дифференциального уравнения. Положив х = 1, у = 1, найдем значение параметра С = 1 и, таким образом, получим искомое частное решение у = хэ.
Иначе говоря, интегральной кривой, проходящей через точку но(1, 1), явлнетсн кубическан парабола у = хэ. С Пусть задано уравненис Ф(х, у, С) = О, определнюшее на плоскости некоторое ссмейство кривых, зависящих от значений параметра С. Если составить систему двух уравнений Ф(х, у, С) = О, Ф',,(х, у, С) = О, то, исключая из этой системы параметр С, получим, вообщс говоря, дифференциальнос уравнение заданного семсйства кривых.
П р и м е р 3. Найти дифференциальное уравнение семейства окружностей хт + уэ = 2ах. 0 Имеем систему уравнений хэ + уэ = 2ах, 2х+ 2уу' = 2а. Исключаем параметр а. Из второго уравнения находим а = х + уу' и, подставлня это выражение в первое уравнение, получаем х~ + у = 2х(х+ уу'), т. е. у' — хэ = 2хуу'. Это и есть искомое дифференциальное уравнение. > Показать, что при любом действительном значении параметра С заданные выраженин опрс"деляют решения соответствующих дифференциальных уравнений: 10.1.
у = х(С вЂ” !п (х!), (х — у) с(х + х с!у = О. 1О 2 У = .: (1 †.' с . + с), . Р ' — У =, .'. о 10.3. 2х+у — 1 = Сс™ *, (2х+у+1) с(х — (4х+2у — 3) с!у = О. В заданном семействе выделить уравнение кривой, удовлетворяющей приведенному начальному условикь 10.4.
у(!сс)хт — 1) + С) = 1, у(О) = 1. 10.5. у(1 — Сх) = 1, у(1) = 0,5. 10.6. у = 2+ Ссозх, у(О) = -1. 10.7. Написать уравнение, которому удовлетворяют все точки экстремума интсгральных кривых дифференциального уравнения у = 1 (х, у).
Как отличить точки максимума от точек минимума? 2-8 Гл. 10. Дифференциальневе урвтп.нил 10.8. Написать уравнение, которому удовлетворяют вес точки перегиба интегральных кривых дифференциального уравнении у' = у(х, у) и, в частности, дифференциальных уравнений: а) у' = у+ха: б) у' = еи — х. Составить дифференциальное уравнение семейств кривых: 10.9. Парабол у = тз + 2ах. 10.10.
Гипербол у = о/х. 10.11. Цепных линий у = ос)1 х. 10.12. Гипербол х~ — уз = 2ах. 10.13. Составить дифференциальное уравнение ссмейства кривых, у которых отрезок любой нормали, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания. 10.14. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых, у которых отрсаок любой касательной, заключенный между осями координат, делитсп точкой касания М(х, у) в отношении (АМ(: (МВ( = 2: 1, где А — точка пересечения касательной с осью Оу,  — с осью Ох. 10.15. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых, у которых площадь, заключеннап между осими координат, этой кривой и переменной ординатой, пропорциональна четвертой степени этой ординвты. 2. Графический метод построения интегральных кривых (метод изаклин).
Дифференциальное уравнение у' = )(х, у) в плоскости с фиксированной декартовой прямоугольной системой координат Оху определяет ноле направлений равенством сбсе = у(х, у). Иэонлвнов" уравнения (полл направлений) нвзывается всякая кривая, определяемая уравнением у(х, у) = у при фиксированном 1« Длн приближенного (графичсского) решении уравненин у' = у" (х, у) построим на плоскости изоклины длп нссколы1их значений Ль Пусть Ме(хо, уо) — некоторап начальная точка. Ива«лина Ьв, прохолнщап чеРсз этУ точ«У, соотвстствУст значению й, РавномУ Ув = ) (хо, Уо). ПРоведсм отРсзок МвЛ11 с Угловым коэффициентом Уо до псРсссченин в точке Лз'1 с ближайшей изоклиной Ь1 (тем самым мы заменим дугу интегральной кривой отрезком ес касательной).
Далее, из точки М, (хы у1) проведем новый отрезок М1 Мэ с угловым коэффициентом Й~ = у(хы у1) до церссечснил в точке Лзэ со следующей ила«линой Вэ и т.д. В результате такого построснил мы получим ломаную, нвляюшуюсв приближенным изображением интегральной кривой, проходпщей через начальную точку Мо. Чем гуще азата сеть изоклин, тем более точно можно изобразить интегральную кривую. Измснян положение начальной точки ЛХо, аналогично можно построить приближенно и др>тис интегральные кривые. 3 1. Уравнения 1-го порядка 279 П р и м е р 4. Методом изоклин построить интегральную кривую уравнения у' = 2х, проходяшую через начало координат. а Изоклины данного уравнения — параллельные прямые 2х = й.
Полагая (с = О, х1, х2, х3, ..., получаем изоклины х = О, х = х1/2, х = х1, х = х3/2 и т. д. Построим их (рис. 49). Отправляясь из начала координат влево и вправо, строим ломаную ...М зМ зЛ1 ~МоМгМтЧз..., звенья которой имеют угловые коэффн- Рис. 49 циенты соответственно ..., — 2, — 1, О, О, 1, 2, ... Эта ломанан и есть приближенное изображение интегральной кривой. Рекомендуем читателю построить график соответствующего частного решения у = х и сравнить его с построенной ломаной.
1> Методом изоклин построить приближенно семейство интегральных кривых следуюгцих дифференциальных уравнений: 10.16. у' = х + у. 10.17. у' = 1 + у. 10.18. у' = — У. 10.19. у' = у — хз. 10.го.у'= У . 10.21.у'=" х+у х+Зу 3. Уравнения с разделяющимися переменными. Пусть в уравнении у' = /(х, у) функция /(х, у) может быть разложена на множители, каждый нз которых зависит только от одной переменной; /(х, у) = /~(х)/т(у), или в уравнении М(х, у) Нх + Л1(х, у) ф = 0 коэффициенты при с(х и Ну могут быть представлены в виде ЛУ(х, у) = = Мг(х)Мт(у), Х(х, у) = №(х)№(у).
Путем деления на /з(у) и на Гл. 10. Дифференциальные уравнснил 280 г1'1(х)Мт(у) соответственно эти уравнения приводятся к виду 1 М1(х) А 2(у) ЬЬ) ""' ) ( ) "' Мэ(у) "" (уравнсния с раэоелсннььни персменнызги). Интегрируя левые части этих уравнений по х, а правые по у, приходим в вал[дом из них к общему интегралу исходного дифференциального уравнения. Пример 5. Решить уравнение с1у 2х ~х Зуэ+ 1 а Разделяем переменные: (Зуэ + 1) Ну = 2х дх.
Интегрируем: (Зуэ+1) г1у = /2хдх+ С, или у+у — х =С (общий интеграл уравнения). ~> Если в уравнении с разделяющимися переменными у' = у1(х)уэ(у) функция (э(у) имеет действительный корень ус, т.е. если ут(уо) = О, то функдия у(х) = уо является решением уравнения (в чем легко убедиться непосредственной подстановкой). При делении обеих частей этого уравнения на уэ(у) (при разделении переменных) решение у(х) = уо может быть потеряно. Аналогично, при интегрировании уравнения М1(х)Мэ(у) дх + +Х1(х))гт(у) г(у = 0 могут быть потеряны интегральные кривые х(у) = = хо и у(х) = уо, где хо — действительный корень уравнения ууг (х) = О, уо — действительный корень уравнения Мт(у) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
