341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 36
Текст из файла (страница 36)
З 1. Двойяои интеграл 251 9 72. Найти полную поверхность тела, ограниченного цилиндрами х = иу, вз = ау и плоскостью у = 2п, (а > 0). 9.73. Найти ппощадь части поверхности конуса х2+ 22 = у2, вырезаемой плоскостями х = О, х + у = 2и, у = О. 9.74. Найти площадь части поверхности цилиндра г2 + у2 = = 2ат,, вырезаемой цилиндром вз = 2а(2а — х). 9.75. Найти п.лошадь части сферы х2+ 92+ 22 = 2а2, заключенной внутри конуса х2 + у2 = г2. 9.76. Найти плошадь части поверхности параболоида а = т2— — у2, заключенной между параболоидами г = Зхт + у2 — 2 и г == 8.2+ 2 9.77. Найти площадь части сферы х2+ув+~2 = а, вырезаемой цилиндром с образующими, параллельными оси Ог, направляющей которого служит трехлепестковая роза г = аащЗр.
9.78. Найти плошадь части винтовой поверхности г = и агс18 —, у вырезаемой цилиндром х + у = а . 9.79. Найти площадь части сферы х2 + у2 + 22 = 1, располо- БАГЗ женной между плоскостями г = —,у и г = у (в > 0 у > 0). 3 9.80. Найти площадь части поверхности конуса х2 + у2 = а2. вырезаемой цилиндром с образующими, параллельными оси Г)в. направляющей которого служит кардиоида г = а(1 + соз ~р). 9.81. ЕЕайти плошадь части сферы х2+у2+г2 = а2, вырезаемой из нее цилиндром (х2 + у2)2 = а2(х2 — у2). Найти объемы тел, ограниченных поверхностями: х2 22 х2 у2 9.82. — + — =1, — +'— =1 (а>0).
о2 ь2 ~ п2 ь2 988~ 22 х2 п2 22 у2 о2 а пЯ (и > 0) 9.84. у = х2, г = у, г + у = 2. 9.85. х2 — уз = 2ав, х2+ у2 = о2, 2 = 0 (внутри цилиндра; а > 0). 9.86. х2 + у2 — 2а2 = — о2, 2(х2 + у2) — вз = о2 (о > О). 2 2 9.87.2=се Ех~"+2~НЕ, —,+ — =-1 (а>0, Ь>0, с>0). 2 12 9 88 х2 + у2 — в2 х2 + 62 2х2 — о2 (и > О) Гл.
9. Ератные интегралы 252 2 з 2 2 2 3 9.89. — + — + — = 1, — + — = — (внутри конуса; а > О, ат 6з ст ' аз Ьз ст 6>0, с>0). 9.90'. з = ху, ху = 1, ху = 2, ут = х, уз = Зх. 9.91'. х = хз + уз, ху = 1, ху = 2, у = х, у = 2х, г = 0 (х>0, у>0). Механические приложснин. Если пластинка занимает область С плоскости Оху и имеет переменную поверхностную плотность 'у = 'у(х, у), то масса М пластинки н ее стотпческне моменты М, и М„относительно осей Ох и Оу выражаютсн двойными интегралами м=це*,еме, ыг=))УМ*,О~ м, (12) М„= 0 х у(х, у) ах ау. с 0уу(», у) йхйу у = М, и (13) М Д у(х, у)ахар 0 ту(х, у) ох ау — Мт с х — —— М Д у(х, у)дхду с Моменты инерции пластинки относительно осей Ох и Оу соответственно равны 1, = 0 у~ у(х, у) ахну, (14) ь=)) *'м*,мыл, а а момент инерции пластинки относительно начала координат (поялрный момент инерции) равен 1а = ~~(хт + ут) у(х, у) Цх йу = 1 (18) Рис.
44 Если пластинка однородна и плотность ее не указана, условимсн считать ~(х, у) = 1. П р и ме р 8, Найти координаты центра масс однородной пластинки, ограниченной кривыми ау = х-', х+ у = 2а (а > 0). Координаты центра масс х и у пластинки определнютсп следуюгцим образом: 253 3 1. Двойной интеграз З Пинии пересекаются в точках ЛХ1( — 2о, 4а), Л42(оа я) (рис. 44). По- этому можно зжписатгс а 2а — а а а=)1'аа,Яг= 1 Рь ) ай= /(1.—.— '— ' а — 2а аг/а га г ~ ~ ~ ~ ~~ ~~ ~~ ! ~ ! ~ ~ и ~ ~ ?~ хг х1 92 2ях— = -а; 2 Заг) .а 2 а 2а — а а Л7 = ~~ удхйу = ~ ~!х / уеду = — ( ( (2а — х) — —,,~ 42: = 2 / (, ог) а — 2а аа~'а — га а — 2а а 2~ а а ы„=б .агаи= ):а.
) аа= 1' . (2 — — — )а.= а 2 ~ -2а а ~ а ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ о ,г з:з хз'1 9 з ах = — — а'. 3 4в)) 2, 4 Подставляя найденные значения в формулы (13), имеем Л42 1 И1,. 8 х= — "= — — а, у= — ' =-а. с Я 2 ' Я 5 9.92. Найти массу круглой пластинки радиуса Н, если плотность ее пропорционален на квадрату расстояния то ти от центра и равна 5 на краю пластинки. 9.93.
Найти статические моменты относительно осей Ох и Оу однородной фигуры, ограниченной кардиоидой т = а(1 + соа уг), О ( ег "- гг,и полярной осью. 9.94. Найти координаты центра масс однородной фигуры, ограниченной кривыми у = их, у = х. 9.95. Найти массу пластинки, имеющей форму прямоугольного треугольника с катетами ОВ = а и ОА =- 5, если плотность ее в любой точке равна расстояншо точки от катета Г)А. 9.96. Найти статичесщнг моменты относительно осей О.г и Оу однородной фигуры, ограниченной синусоидой у = в!ггх и прямой ОА, проходящей через начало координат и вершину А(гг/2, 1) синусоиды (:г 3 0), 9.9Т.
Найти координаты центра масс однородной фигуры, ограниченной кривыми ху = аг, уг = 8ох, х = 2а (я ) 0). Гл. 9. 1тратные интегралы 254 9.98. Найти моменты инерции однородного треугольника, ограниченного прямыми д; + у = 1, х + 2у = 2, у = О, относительно осей Ох и Оу. 9.99. Найти координаты центра масс однородной фигуры, ограниченной петлей кривой г = о, эш 2~р, лежащей в первой четверти.
9,100. Найти моменты инерции однородной фигуры, ограниченной кардиоидой г = о,(1+ сов ~р), относительно осей Ох, Оу и относительно полюса. 9.101. Найти моменты инерции однородной фигуры, ограних у ченной эллипсом — + — = 1, относительно осей Ох, Оу и отно- ,2 12 сительно начала координат. 9.102. Найти моменты инерции однородной фигуры, ограниченной кривыми ув = ах, у = а, х = О: а) относительно начала координат, б)* относительно прямой х = -а. 9.103.
Найти моменты инерции треугольника, ограниченного прямыми х + у = а, х = а, у = а, относительно осей От, Оу и относительно начала координат, если плотность пропорциональна ординате точки. 9.104. Найти момент инерции однородной фигуры, ограниченной лемнискатой г2 = оз сов 2~р, относительно полюса. 9.105. Найти моменты инерции однородного кругового сектора радиуса а с углом о при вершине 1совпадающей с началом координат) относительно осей Ох и Оу, если сектор расположен в первой четверти и одной из своих сторон лежит на оси Ох.
9.106*. Тонкая пластинка имеет форму кругового кольца с радиусами Л1 и Л2 1Л1 < Л2). Удельная теплоемкость пластинки меняется по закону с = )ху~, плотность постоянна и равна у. Найти количество теплоты Я, полученной пластинкой при ее нагревании от температуры 11 до температуры 12. 9.107'. На тонкой пластинке, имеющей форму параболического сегмента, ограниченного осью Ох и параболой ахэ + ату = йз, распределен электрический зарлд с поверхностной плотностью а = = 2х + у. Найти полный заряд Я пластинки.
9 2. Тройной интеграл 1. Тройной интеграл и его вычисление в декартовых прямоугольных координатах. Тройным око~сералем от непрерывной функции 11х, у, х) по ограниченной замкнутой пространственной области Т называется предел последовательности соответствующих интегральных сумм при стремлении к нулю наибольшего из диаметров дь элементарных областей Лов, если этот предел не зависит ни от способа разбиения области Т ~ 2. Тройной интеграл 255 о2(г !») у, г)с»хс»!»с»г — О с)хс)у / .)(х, у, г)йг. (2) т' а »»» (г.
!») Записывая двойной интеграл по области С через один и.! повторных, получаем ь !»г(») ог(»о а) О Дх, у, г) с(хс(ус(г =- / с(х ~ »(у / Дх, у, г) с(г = т о а»(г) "»(г,а) иг(а) Ф»(», у) =/»б )' * )" с('.»,*»~* !»! с»» (»!)»»»(», а) Пример 1. Вычислить ф гс)х»1»!юг, если оолагть Т ограничена т ллоссастлми х + у + г = 1, -" = О, д = О. х = О. () Имеем: ! ! — и 1 — г-а ! ./ ь / *«*=~» о о о о ! — г ! »/(по о о ф г с)х с(у! »1 т ! 1 /' = — „ / с(х о ! — » : — у) »1х = 3 ! »1 ! 1 Г ! )' (! — -с'!) ' ! на алементарные подобласти Ьос, ни от выбора пролсежуточных точек: »» О»;™кМ"*= »»»»» ໠— »о т ! — ! где (хь, у»о г!) Е»хот,.
Через»гоь обозначаетск как элементарнал область, так и ее объем. Свойства тройных интегралов аналогичны сьойствам двойных интегралов. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах сводится к последовательному вычислению одного однократного и одного двойного интегралов илк к вычисленпл! трех однократных интегралов. Коли, например, область интегриров;»и!со Т ыраночсна снизу поверхностью г = »р»(х, у)» сверху поверхностью - = »рг(х, у) (»р»(х, у) (»рг(с, у)) и с боков прнмьпд пнлиндром, сечением которого плоскостью, параллельной плоскости Оху, нвляетсп область С, то тройной интеграл (1) вычигляотся по формуле 256 Гл.
9. Кратные интегралы Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле )'(х, у, г) Нх 0у ггг для указанных областей Т: Т 9.108. Область Т вЂ”. тетраэдр, ограниченный плоскостями 2х + +Зу+4г=12, г=О, у=О, х=О. хэ уэ гэ 9.109. Область Т вЂ” внутренность эллипсоида — + — + — = 1. о2 82 сг 9.110. Область Т ограничена поверхностями уэ + 2гг = 4х, х = 2. 9.111. Область Т ограничена поверхностями хэ+уэ = гэ, г =1. Вычислить интегралы: г ~/г ьэ 3 2г ~лэ 9.112.
с(х с(у г с(г. 9.113. с(х ду г дг. о о о о о о а ~ах 2(а-х) 9.114. ях у 4д дг. о о а-а 9.115. (х + у + г) Нх ду г(г, где область Т вЂ” тетраэдр, огра- Т ниченный плоскостями х + у+ г = а, х = О, у = О, г = О. 9.116. хугЫхНудг, где область Т ограничена поверхно- Т стямиу=х~, х=у~, г=ху, г=О. 9.117. (х~ + у ) охс(уНг, где область Т ограничена поверх- т ностямиг=уз — х~, г=О, у=1. 2.
Замена переменных в тройном интеграле. Если в тройном интеграле И т производится замена переменных по формулам х = х(и, и, ш), у = = у(и, и, ш), г = г(и, ю, ш), причем функции х(и, ю, ш), у(и, е, ш), г(и, ю, ш) осушествляют взаимно однозначное отображение области Т пространства Охуг на область Т1 пространства О~иеш и якобиан З 2. Тройкой интеграл 257 преобразования нс обращается в нуль в области Т,: фО, до ди то справедлива формула Дх, у, а) дхс4усЬ = г О 4'(х(и, о, и), у(и, о, и), х(и, о, в))(1~ йи с(ос(ш. (4) т, Наиболее употребительными из криволинейных координат являются цилиндрические координаты г, д, х (рис. 45): х = г сов р, у = ггбп р, х .= -, якобиан которых 1 = г, и сфера ческие г (длина радиус-вектора), Ркс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
