341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 33
Текст из файла (страница 33)
32 Рис. ЗЗ Если Ь =- О. то для решения вопроса о типе особой точки нужно изучить расположение точек кривой в некоторой окрестности особой точки. В слу юс трансцендентной кривой могут быть и инью типы особых точек; угловые точки, точки прекращения и т.д. 3 3. Приложения частных производных 227 Пример 8. Исследовать особые точки конхоиды (х + у )(х — а) — Ьгхг = 0 (а > О, Ь > 0). З Обозначив левую часть уравнения через у(х, у), найдем частные производные и приравннем их нулю: Д(х, у) = 2х(х — а)г + 2(х — а)(х' + уг) — 2Ьгх = О, г"'(х, у) = 2у(х — а)г = О.
Система уравнений имеет единственное решение хо = уо — — О, т. е. кривая имеет одну особую точку 0(0, 0). Найдем вторые производные: Д',(х, у) = 2((х — а)г + 2х(х — а) + х' + уг + 2х(х — а) — Ьг), Дц„(х, у) = 4у(х — а), ун (х, у) = 2(х — а)г. Вычислив их значения в точке О, получаем А=2(аг — Ьг) В=О, С=2аг, Ь = АС вЂ” Вг = 4аг(аг — Ьг) Если а > Ь, то гх > О, и точка 0 — изолированная (рис. 34). Если а < Ь, то гх < О, и точка 0 — узел (рис.
35). Если а = Ь, то гх = О. Рис. Зб Ркс. 35 Ркс. 34 Найдем угловой коэффициент касательной; Ьг г 2( г Ьг)+2 гЬг О т.е, касательная совпадает с осью Ох. 228 Гл.8. Дис)иусук нц. исчигтгнис функций нсгкольких переменных х Из уравнспил кривой получаем (при а =- б) у = х — — тГ2ссх —:г', х — а и, следовательно, привал сиьслссгрична от~огптгльно осп су:е (О < х < и; а < х < 2л). Поэтому при а = Ь О вЂ” точка возврата 1-го рода (риг. 36). с ОгссбспоссСесу семст:тяя плоских кривых, наяывссетссс лслнсссс (или совокупность нескольких лишсй), ноторал ссасастсл всех кривых данного гсмейства, причем кшвдал сс точка лвллс'тсл точкой касании. Если односсаралсстричссссос семейство крпьых г(х, у, а) = О нмсст огпбшощую, то сс уравнение моасно получки, иэ системы уравнений с"(х, у, а) = О, У'(х, у, а) =- О. (9) дхт у = х 18 ст— 2ио спят а Принимая угол а аа параметр, найти огибакпцую всех траекторий сна- ряда, расположенных в одной н той же всртш альной плоскости.
л Имеем дх~ ((х, у, а) = х сйа — — ., — у, 2ссд гоят а х ссхт яссс а х суд; саят а и„- соля а саят а С, сс~э Составим систему вила (9) д.с х с' дх у = х С8 сз —,' —,—, (1 — '— ., 18 а) = О. 2ио саят а спят а (, ст ,,2 Иа второго уравненил получим; сйа = — и ио дх д хт — Подстав.псл в первое уравнение, дх +ио баюшей (ларабола беяоиасносиш): 1 соя- а 1+ С.бт ст найдем уравнение оги- ,2 2,э л 'ио д х Ь оо с'б .Чх" т сслсс у т' д 2иод ' ' 2д 2ит Исклк1чал иа системы (9) карамотр а, получим уравнение вида В(х, у) = = О. 11ривал, опргдслсннал этилс уравнением, каэываетсл дисиримииактной кривой. Дкскрпмпнантнал привал состоит пя огибающей и множества особых точек данного ссяссстгтва. Пример 9.
Уравнгнсп: траектории движения снарлда, выпушепного пэ точки О с начальной скоростью со под углом а и горизонту (беа у сета сопротивлении воздуха), есть я 3. Приложения частных производных 8.229. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к слсдукпцим поверхностям в указанных точках: ггп и 1г а) г = яшхсояу в точке ~ —, —, — ); ~,4' 4' 2)' 1 г б) л = елсоЯд в то пю 1, гг,— с) 8.230. Найти расстопцис от начала координат до касательной т: /по плоскости к поверхности л = у18 — в тонге ~ —, а, гг).
и 4 ' 8.231. Найти углы, которые образует нормаль к поверхности я = агссй — в точке /1 1 — ) с огнми координат. 8.232. Длн поверхности - = 4гг — ту+ уз найти урявнение касателыгойг плоскости, параллельной плоскости 4х+ у+ 2г+ 9 = О. 8.233. Найти уравнении касательной плоскости и нормали к следующим поверхностнм в указанных то шах: а) х(у+ я)(ху — л) + 8 = О в тогке (2, 1, 3); б) 2г?' + 2гг?' = 8 в точке (2г 2, 1); в) я~ + 4я + хз = О в точках пересеченип с осью Оя.
8.234. Длн поверхности хз — лз — 2х + бу = — 4 найти уравнения х-ь2 у я+1 нормали, параллельной прпмой 1 3 4 8.235. На поверхности го~ + 2у" + Зл~ + 2ху + 2хл + 4уг = 8 найти точки, в которых касательные плоскости параллельны координатным плоскостям. 8.236. Показатго что касательные плоскости к поверхности х ? + у ?з + л д = а ? отсекают на осях координат отрезки, сумма квадратов которых постоянна и равна а . 8.237.
Найти уравнении касательной плоскости и нормали к следующим поверхностям, заданным параметрически, в указанных точках: а) г, = г соя гр, у = г яш гр, г =- г с~8 о, в то пгс. ггг'о, гргг)' б) х = исояо, у = ияшо, = ао в точас (ио, оо). 8.238'. Под каким углом пересекаютсп цилиндр хз + уз = оз и гиперболический параболоид бг = ху в общей точке (хо, уо, го)7 8,239*. Показать., что следующие поверхног;тп попарно ортогональны: я) хе+ уз + гз = 2их и;гз + уз+ гз = 25у: б) хуя= а и2г =х +у +?(х -у ): в) ху = аз', х'+ у'+ л' =?г и я'+ 2хз = с(г'+ 2у').
230 Гл. 8. Диффгренц. нс знстение функций нгскольких т ременных Исследовать особые точки кривых; 8.240. х'+да = '+д". 8241 дг(аг+хг) хг(аг хг) 8242 хг+ул те 8.243. уг = (х — 1) . 8.244. (у — 2хг)г = хв 8.245. 4уг = х~ + бх~. 8 248 дг ахг + хз 8.247. уг = 1 — е * . 8248 г 1 -сл х 8.249*. у = 8.250'. у = х*.
1+ епйк 8.251. Найти огибающую семейства прямых у = ох+ ог. 8.252. Найти огибающую семейства прямых х соэ о+у ебп о = р (р = сонэ~, р > О). 8.253. Найти огибающую семейства окружностей хг+(у — С)г = = В~ (П = сопв1). 8.254. Найти огибающую семейства парабол уг = 2рх + рг. 8.255. Найти огибающую семейства парабол у = Зог+2ах — хг. г г 8.256.
Найти огибающую семейства эллипсов — + = 1 аг (1 — а)г (1 = сопв1). 8.257. Найти огибающую семейства окружностей, проходящих через начало координат и имеющих центр на параболе уг = 4ах. 8.258. Исследовать характер дискриминантных кривых семейства следующих линий (С -- переменный параметр): а) кубических парабол у — 1 = (х — С)з: б) полукубических парабол (д — С) = (х — С); в) парабол Нейля (у — 1) = (х — С)г; г) строфоид (а — х)(у — С) = хг(а+ х).
3 4. Приближенные числа и действия над ними 1. Абсолютная и относительная погрешности. Пусть число и есть приближение числа А. Например, А = з/3 и а = 1,7. При а > А число а называется приближением по избслткд, при а < А —. по недостатку. Так, число 1,73 есть приближение з/3 по недостатку, а число 1,74— по избытку. Абсолютнал погрешность приближения (приближенного числа) а определяется равенством Ь = (а — А). Поскольку точное число А во многих случаях неизвестно, то неизвестна и абсолютная погрешность Ь, однако при этом может быть указана верхняя грань абсолютной погрешности.
Наименьшая из верхних 3 4. Приближенные числа н действия яад ними 231 граней с3, абсолютной погрешности называется предельной абсолютной погреисиоспсью. На практике часто за предельную абсолютную погрешность сх„принссмают одну иа верхних граней. Имеет место ввлючение А б [а — ся„, а+ сх„), которое принято записывать н виде А = а ж г3„. Например, с/3 = = 1,7321 ж 0,0001. Отнвситсльнял пвгрсшнвсясь числа а определястсн равенством Аналогично определяется прес)ельная относительная погрешность 0,0001 Например, для А =- АЗ и а = 1,7321 имеем бь = ' = 0,00006. 1,7321 В десятичной записи числа зяачаисей цифрой пли знаком называется любая цифра, отличная от нуля. Нуль с щтается значащей цифрой в том случае, когда он расположен между значащими цифрами или стоит правее всех значащих цифр.
Округлением числа называется замена его числом с меньшим ко.личеством значащих цифр. При округлении соблюдаются следующие правила: 1) если перная из отбрасываемых цифр меньше 5, то сохраняемые знаки оставляют без изменения; 2) если первая пз отбрасываемых цифр больше 5, то последний из сохраняемых знаков увслнчцвают на 1; 3) если первая из отбрасынаемых цифр равна 5, а среди следующих за ней цифр есть отличные от нуля, го последний иа сохраняемых знаков увеличивают на 1; 4) если первая из отбрасываемых цифр равна 5, а все следующие за ней явллются нулями, то послелний из сохраняемых десятичных знаков увеличивают на 1, когда он печатный, н сохраняют неизменным, когда он четный.
Если абсолютная погрешность приблихсенного числа а не превышает единицы разряда, выражаемого я-й значащей цифрой в десятичной записи атого числа, то а называется числом, имгюоСим п веркьщ знаков в широком смысле. Еслсс же абсолютная погрешность не превышает половины единицы указанного ныше разряда, то приближенное число а назынается титлом, илсеюииьм я, верных зссаков в узком смысле. При атом для предельной относительной погрешности 6, справедливы неравенства 6 ( — — И ля<в 232 Гл. 8.
Дифферснц. исчисление функций нескольких переменных соответственно в первом и во втором случаях; в обоих неравенствах Й означает первую значащую цифру числа а. Обратно, если предельнап относительная погрешность удовлетворяет неравенству 1 1 2(1 + 1) 10" то соответствующее приближенное число а с первой значащей цифрой /с имеет п верных знаков в узком смысле. 8.259. Найти предельную збсолютнун> и относительную погрешности слсдуюгцих приближенных чисел, полученных при измерении: а) 23,015 кг; б) 84,5 ем; в) 25'15'. 8.260.
При измерении длины пути получен результат 25,2км г точностью до 2 м, а при измерении площади (аэрофотосъемка) получен результат 1500м с точностью до 30м . Вычислить предельную абсолютную и предельную относительную погрешности обоих результатов. 8.261. 11ри измерении длины участка пути в 10км допущена ошибка в 10м, а при измерении диаметра гайки в 4 ем допущена ошибка в 1 мм. Какое из этих двух измерений более точное? 8.262. Каковы предельные абсолютная и относительная погрешности приближенных чисел, полученных при округлении: а) 36,1; б) 0,08. 8.263.
Округлить числа 29,15 и 3,25 до первого десятичного знака после запятой. 8.264. Округлить число 5,3726 до тысячных, до сотых и до десятых долей. Найти абсолютную и относительную погрешности каждого из этих трех округлений. 8.265. Округлить до трех значащих цифр следующие числа: 0,02025, 1876672, 599983. 8.266. Определить число верных знаков в узком смысле и дать соответствующую запись приближенных чисел: а) 413287,51, если предельная относительная погрешность не превышает 1 Уе; б) 0,0794, если предельная относительная погрешность не превышает 2% 8.267. Со сколькими знаками нужно взять число ~/21, чтобы предельная относительная погрешность не превышала 1%? 8.268. Со сколькими знаками нужно взять числа !п 40 и агс18 2, чтобы их предельная относительная погрешность не превышала 0,1е/о? 2.
Действия над приближенными числами. Пусть и = г(хы хю .., ..., х„) — дцфференцируемая в рассматриваемой области функция. Тогда предельная абсолютная погрешность Ь, значения функции опредс- 3 4. Приближенные числа н действия над ними 233 лнетсн соотношением ду' , дть где Ь,„— предельные абсолютные пагрсшности значений соответствующих аргументов. Длн предельной относитсльной погрешности имеет место равснство (2) ь — — 1 Пример 1, Найти предельные абсолютную и относитсльную погрешности объема конуса радиуса г и высоты й, если т = 15 ~ 0,02см, Ь = 19,1 ~ 0,05 см и л = 3,14. 2 а Имеем е = — лг25 = 4498,1гмз. 'Ъчнтслван, что г = 15, 8 = 19,1, дв 1 т = 3,14, Ьг = 0,02, Ль = 0,05 и Ь, = 0,0016, найдем — = -г 5 = дн 3 де 2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
