341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 30
Текст из файла (страница 30)
З 2. Днфферснцнрованне сложных и неявных фуннлпй 209 +и) у=и — и) я=ив осозисйс, у = Ьз)пис)) с. 4. Замена переменных в дифференциальных выражениях. Часто в дифференпиальных выражениях входящие в них производные по одним переменным необходимо выразить через производные по ноиям переменным. Пример 8. Преобразовать уравнение Й у )1у (1 — хг) — — х — ' = О, дтг полагая х = соз й а Выразим производные от у по х через производные от у по й с~у г1у/й г1у/й гух )ух/й — з1п й ' <1гу )1 )1у (г1/й)),г1у/)1х) ~ г 1х лх лх/й — а1пс (г1гу/йг) +созг.
(с1у/й) 1 Ру созГ ду в)п 1 йг в1пз Г й з)пг1 ( — зп)Г) Подставим полученные выражения производных в данное уравнение и заменим х на соз й / 1 сну сов г )1у'~ / 1 г1у'~ )1 соа 1) 3 сов 1 О юп 1 йг вич г й/ ~, з)пт й( 1г или — = О. с йг Пример 9. Преобразовать уравнение г приняв х за функцию, а у за аргумент. ,дх 8.161. Найти'— д:г дх 8.162.
Найти —, с)х х = сзЬо. 8.163. Найти ~Ь, 8.164. Найти сЬ, 1и Ф и). дя и —, если х = и ду' дз и —,, еслих = ду' если т. = е" соз о, у = схв зид г), х = ии если х = и+ и, у = и + о, х = и' + о' 3 3 210 Гл. 8. Дифференц. исчисление функций нескольких переменных а Выразим производные от у по х через производные от х по у: <!гу с~ !г 1 ~ з! !г 1 'г ду Йхг г!х ~,йх/Йу) ду ~ йх/Яу) г!х Нх дх/г!у !г, /! г ! /гх/,!уг (»1х/ !!!7 дх/ду (дх/ду) г Полставим зти выражения производных в лзннос уравнение; ~Рх/ду'-' 1 !<~ /лу,г " !л /,! ~!г пан их Йх г 2у =0 с' иу г!у Пример 10. Перейти к попярным координатам в выражении х -ь уу' ху — у з Имеем :г =.
г соз ~р, у = г зш д, д»с = соз р сЬ вЂ” г яп р г!р, с!у =- ать г!г + г соз р 4~р., откуда иу зшугдг+г созрНр у Нх селигер — г япуйр Подставим выражения х, у, у' в А: з!п~р йт+ т сов ядр тсоз~р+ гзш,р гоз р йт — т яи уЯ (!т/фр — — — !> яп~рс!г+гсоз рйр т г соз ~р — тзшд сов зги — тяк рс6р ди до 1 — =у, дх '' д» ди дю х — =х, ду ' ду уг' Пример 11. Преобразовать 1равнсннс , дгг дгг х — — у —,=О. дтг д,г х перейдя к новым независимым переменным и н о, если и = ху, ю = —.
у з Выразим частные произволныс от х по х и у через частныс произволныс от х по и и ю. Имеем з 2. Дифференцирование сгохсяых и неявных функций 211 По формулам (3) получим дх дг ди дг дс дг дг — = — — + — — = — у+— дх дц дх дц дх дц дц дхг дх дх дц, дх дх ди дх дх д х д"г 1') ( дгз дгг 1) 1 У У дг дг дц дг дц дг ду ди ду дц ду дц Подставим найденные выражения производных в данное уравнение: 2хг дгг хг дгг 2хда 1 + +, ) — О. уг до до 1г4 дцг уа дц г' После упрошений при х ~ О и у ф О получим дг 1 д ди дц 2ху дц ' д г 1 дг или — — с' ди дц 2ц дц дг дг П р и м е р 12. Преобразовать уравнение у — — х — = (у — х) г, приняв дх ду 1 1 за новые независимые переменные величины ц = х + у, ц = — + — и х у за новую функцию ю = 1п г — (х+ у). =х дгг дц дгг + дцг ду дц дц х дг дг диз дц дц дгз дгг 1 дгг =у — +2 + —. —, дцг дцдо „г д„г ' дг т д,г ду ди ду дц уг дц уа дц ( дгя дц дгх дц') 1 дг 2 г, ду ),дцдц ду дцг ду) уг дц уз! х дгг дг х 1 дг 2 уг с х .,') + д д дцг уг/ уг ди уг дгг 2хг д г х д г 2х дг =х + + дцг уг дцдц уз дцг уз ди' 212 Гл.
8. Днфференц. исчисление функций нескольких переменных 0 Выразим частные производные от з по х и у через частные производные от ю по и и и, Для етого продифференпируем данные соотношения: с1и = 2(хсзр+ ус1у), сЬ с1си = — — (с1х + с)у). Учитывая форьсулу (1) З 1, имеем дш дш с1г — с1и+ — ди = — — (с1х+ с)у), ди ди г или дш дш с'Нх ЛУ1 с1з 2 — (хс1х+ ус1у) — — ~ — + — ) = — — (с)х+ с1у), дв ди ~ г уг) откуда ссг=в 2х — — — г — +1 ссх+ 2у — г +1 ссу Следовательно, дг сс дш 1 дш '1 дз / дси 1 дш — = г ~ 2х — — — — + 1), — = г ~2У вЂ” — —. — + 1 дх 1 дв хг ди ) ' ду 1, ди уг ди дг дг Подставим зги выраьчения — и — в данное уравнение: дх ду дш 1 дш 1 / дю 1 дш уг 2х — — — — + 1) — хз ~2у — — — — + 1 = (у — х)г, ди хди ) 1, дп угд. дш или — = О, с> ди 8.165.
Преобразовать уравнение 4о у зс1у х —, + 2х — — у = О, с1хг с1х полагая х = 1/с. 8.166. Преобразовать уравнение с1гу 2х с1у у + + — О, с1хг 1 '- хг с)х (1 -1- хг)г полагая х = 181. з 2. Днфференцнрованне сложных и нелвных функций 213 8.167. Преобразовать уравнение приняв у за аргумент. 8.168. Преобразовать уравнение (хд' — у) = 2ху(1+ у' ), перейдя к полярным координатам. ди ди 8.169. Преобразовать выражение ю = х — + д —,, перейдя к дх ду' полярным координатам.
8.170. Преобразовать уравнение дз дх (х + у) — — (х — у) †, = О, дх ду перейдн к новым независимым переменным и и о, если и = У = 1п ~хз+ уз, о = агсгб-. д'л д~г 8.171. Преобразовать уравнение х — + у = О, перейдн к дх~ дх ду новым независимым переменным и и о, если и = у, о = у/х. д2ц д2и 8.172. Преобразовать выражение ю = — + —,, перейдя к дхз ддз' полярным координатам.
8.173. Преобразовать выражение дзи 1 дти дзи 1 ди то= — + —,—,+ — + — —, дгз гз д,рз д з г д, ' перейда от цилиндрических координат к сферическим (г = ряпО, р = р, л = рсоа О). 8.174. Преобрааовать уравнение де 2 + ) +(1 2) + дх ду приняв за новые независимые переменные и = уя — х, о = хя — у и за новую функцию ю = ху — г.
8.175. Преобразовать уравнение д 1 д~л 1 + У. ду 2 дуз х' х приняв за новые независимые переменные и = —, о = х и за у новую функпию го = хя — у. 214 Гл. 8. Дифферснц. исчисление функций нескольких лерсмсннык 8.176.
Прсобразовать уравнение дгг — + + = х, дх' дт, ду дх х+у х — у принпв за новые независимые переменные и =, о = 2 ' 2 и за новую функцию ю = хев. 8 3. Приложения частных производных 1. Формула Тейлора. Если функция ДР) диффсренцируема т + 1 раз в некоторой окрестности (У(Ро) гонги Ро(:г",,..., хо), то длп всякой точки Р(х,, ..., х„) е (г'(Ро) справедлива формула Тейлора 4ПРо, йгхы ..., г1х„) гРХ(Ро, т1хы ..., т1х„) г1 'у(Ро, ттхы ..., Ьхв) и" 1у(Р, Ьхы ..., тьх, ) ьч! (т+ 1)! где глх~ — — хг — х„..., Ьх„= х„— х„, а Р— некоторая точка указанной окрестности. В случае, например, функции Дх, у) двух переменных х и у формула Тейлора в развернутом виде записывается следуюшим образом; ,((х, У) =У(хо, Уо)+,(У,(хо УоИг — хо)+1„(хо Уо)(у Уо))+ '2 (у"'(х Нх-*)'"у*"(х )(х-*)( -' )+ 1 / д д 1"' +1аа(хо Уо)(У Уо) ) + ' ' ' + (х хо) + (У Уо) 1 Г д д ~,в~-~-г ~( "' "о) + (,(х хо) — + (У вЂ” Уо)— (нг + 1)1 (, " у(хо 1(х то), Уо + уг(У вЂ” уо)), 0 < д, л < 1 (2) Последнее слагаемое в формуле (2) (остаточный член) можно короче записать в виде о(р'в) где р = (форма Пеано).
В частном случае, при хо — — уо — — О, форлтула (2) называется форм улой Маклорена. Пример 1. Функцию г"(х, у) = хг — 5хг — ху + уг + 10х + 5у — 4 разводнить по формуле Тейлора в окрестности то гни (2, — 1). '3 3. Придоженил гастных производных 215 < Имеем Д2, — Ц = 2. Вычислим последовательно частные произвол- ные данной фршсдки и нх значения в точке (2, — Ц: Все последующие праизводныс тождественно равны нулю. По формуле (2) получаем искомое разложение ~(х, р) = 2 + 3(х — 2) + (р + Ц + (х — 2)'— — (х — 2)(р + ц + (р + ц + (х — 2)' > Пример 2.
Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1, Ц до членов 2-го порядка включительно функцию Пх,р) =р' З Имеем г"(1, ц = 1. Вычислим частные производные 1-го и 2-го по- рядка данной функции и их значения в точке (1, Ц: По формуле (2) получим .(( ) = 1+ ( - Ц+ ( - Ц( - Ц+ ( '), где р =,Гг(х — цз + (р — цт с 8.177. Разлохгить ((х + )г, у + )г) по целым положительным степеням П и й, если ( (х, у) = ху~, 8.178. Найти приращение, получаемое функцией г"(х, у) = — хз+2ху+ Зу~ — бх — 2у — 4 при переходе от значений х = — 2, у = 1 к значениям ху = — '2+ Й, уу = 1+ )ь 8.179. ПУункцию )'(х, у) = хз — 2уз+ 3ху разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (2, 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
