341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 27
Текст из файла (страница 27)
(ст, у) а Имеем; /(3, — 2) = хт /(у..г) = ' ху 1'пс. 26 / 1 1 С (1/:г) — (1/су) у (чх' У) (1/х)(1/У) хУ Найти области определения функций двух перелсенных (т1 сола 1): 84. *= ~/в —. ' — ~~'. 85. *= ~ T.~- р — В . 1 1 8.6. г = 8.7. х = ~в'- ' — ц' ' ' /РГ7:вг 2т+ Зу — 1 88.: = — —.
В9. * = /Т вЂ” с ~у)' э' — у х2+ у2 — х 8.10. х = 1п ( — х — у). 8.11. х = ))( 2х. х2 у2 ' 8.13. х = /)ойк (хз + У2). 8.12. х = ус/сов х. х 8.14. =- агссоа —. :г+у 8.1. Выразить площаць Я треугольника как функцию длин двух его сторон т и у, если его периметр равен 2р. Найти область определения атой функции. 8.2. Выразить объем Р кругового конуса как функцию площади Я его боковой поверхности и длины 1 образующей. Найти область определения отой функции.
8.3. Выразить площадь Я равнобочной трапеции как функцисо клин ее сторон, если х и у — клины оснований, х — длина боковой стороны. Найти область определения этой функции. 187 В 1. Основные понятия ы5.*=,ч — * — у ~- чгтг 8.16. з = агсвш — + агсвш(1 — у). уг 8.17. /(г, у) = г „/вшу. 8.18. /(г, ~о) = г,,/сов Ър. Найти области определения функций трех переменных: 8.19.
и = (В = соиМ). /г+уг 8.20. и = агсяп 8 21 н 1гг(1 х2 у2 + зг) Найти области определения функций и переменных: 8.22. и = ~/1 — хг +,/1 — хг г+... + ~/1 — хг 8.23. и = 2х — Зу 8.24. Дана функция /(х, у) = . Найти /(2, 1), /(1, 2), Зх — 2у /(3, 2), /(а, а), /(а, — а). 2ху 8.25. Дана функция /(х, у) = . Найти /( — 3, 4) и х2+ уг (В 8.26. Найти /(х), если / ( — ) = (х > О). 8.27. Пусть з = х + у + /(х — у). Найти функции / и з, если з=х приу=О.
8.28'*. Найти /(х, у), если / (х+ у, — ) = хг — уг. г г х 8.29. Даны функции: /(х, у) = х + уг, ~р(х, у) = хг — уг. Найти: а) /(~р(х, у), уг); б) ~рЯх, у), ~р(х, у)). 8.30. Даны функции: ~р(х, у) = е* сову, гр(х, у) = евяпу. Доказать: а) рг(х, у) — грг(х, у) = ~р(2х, 2у); б) 2~р(х, у)гр(х, у) = гр(2х, 2у). 8.31. Даны функции: /(х, у) = хг — уг, ~р(х) = сов х, гр(х) = = япх. Найти: а) /(р(х), гр(х)); б) <р(2"(х, у)). 2. Предел и непрерывность функции. Число А называется пределом функции и = 1(Р) при стремлении точки Р(хы хг, ..., х„) н точке Ро(а„аг, ..., а„), если для любого е > О сушествует такое б > О, что из 188 Гл.
8. Днфференц, исчисление функций нескольких переменных условил 0 <р(Р Р) (х, а)г+ +(т а )г <б следует !у (хм хг, , хп ) — А! < е. При этол1 пишут: А = 1пп У(Р) = !пп ~(хм хг, ..., х„). е-> ев х1мы х~->ар х — ~в х — у Пример 3. Вынсннть, имеетли функция предел при х — ~ О, хг + уг у -л О? с! Пусть точка Р(х, у) стремится к точке Ро(0, 0). Рассмотрим изменение х и у вдоль прямой у = кх. Получаем х — у х — Й х, 1 — Й 1 — Й г, г г г.г г г !пп = !пп = !пп хг.! уг >охг ! ~гхг о1 ! 1,г 1 ! йг' 1 — хуг и= 2х+ Зу — э+ 4 < Функция не определена в точках, в которых знаменатель обрашается в нуль. Поэтому она имеет поверхность раарыва — плоскость 2х + Зу— †с+4=0 Найти пределы: 8.32.
1пп -ю 3 — ~/ху+ 9 в- о 8.33. Пш х —,о ху у- о Результат имеет различные аначения в зависимости от выбранного к, и поэтому функция предела не имеет. !> Функция и = у'(Р) называется непрерывной в точке Ро, если выполнены следуюшие три условия: 1) функция у(Р) определена в точке Рв, 2) сушествует !пп у(Р); е-> Рв 3) 1пп /(Р) = У(Ро). р — ~го Функция называется непрерывной в области, если она непрерывна в каждой точке этой области.
Если в точке Ро хотя бы одно из условий 1)-3) нарушено, то Ро называется точкой разрыва функции у(Р). Точки разрыва могут быть изолированными, образовывать линии разрыва, поверхности разрыва и т. д. Пример 4. Найти точки разрыва функции 2 1. Основные понятия 189 йп ху 8.34. !пп х-~0 У р — ~0 8.35. Пш (1+ х2+ у2)'У(х +р !. х — >О р'-~0 1 8.36.
1пп (х + У ) вп1 х — ~со х2 ! у2' х 8.37. Показать, что при х — > 0 и У вЂ” ~ 0 функция г = у — т. мол[от стремиться к любому пределу. Привести примеры такого приближения точки (х, у) к точке (О, 0), при котором Пп12 = 3, Пшх = 2, 1ппх = 1, 1ппх = — 2. х — у 8.38. Показать, что для функции у (х, у) = не существует 2+у 1пп у(х, у), вычислив повторные пределы х — >О р- о 1пп 1пп 2 (х, у), !ш1 ( 1пп у(х, у)). -~о ~р-~о ' г' р- о ~х о х у 8.39.
Показать, что для функции Дх, у) х2у2 -1- (х — у)2 существуют и равны между собой повторные пределы 1пп 1ш1 у(х, у) = !пп (1пп у(х, у)) = О, я — >О ~ р — >О / р-~0 ',х — ~0 тем не менее 1пп у(х, у) не существует. х — ~0 р-~0 8.40. Выяснить, имеет ли функция в1п1п(х4+ у2) предел при х-+О, у — рО? :г2+ у" 8.41. Выяснить, имеет ли функция ', предел при х — > со, хо+ 2 у — ~ оо? 8.42*. Показать, что функция 2 У 2 2 сели х +у фО, О, если х=у=О в точке (О, 0) непрерывна вдоль каждого луча х = 2 соа ж, У = 2в!пег (О < 1 < +со), проходящего через эту точку, т.е.
1ппу(1соасг, 2эшсг) = ?'(О, 0), однако эта функция не является 2 — ~0 непрерывной в то ще (О., 0). 190 Гл. 8. Диффереиц. исчисление функций нескольких переменных 8.43. Показать, что в точке (О, 0) следующие функции непрерывны по каждой из переменных х и у, но разрывны по совокупности переменных: ху х2 2 0 )у( ) (2 2)2, если *+у Ф~, О, если х=у=О; б) у'(х, у) = если хг+уг ~ О, (. + У)з' О, если х=у=О. Найти точки разрыва функций двух переменных: 1 1 8.44. л = 2 8.45. х = (х — Ц2+ (у+ Цг а)пг их+ з1пгяу 1 8.46.
х = 8.47. х = 1п(1 — хг — уг). зшхзшу хг+ ( + у)(уг 1 8.49. х— (.2+уз Ц(хг уг Ц' Найти точки разрыва функций трех переменных: 1 1 8.50. и = —. 8.51. и— ху ' ' ' (хг!аг)+(уг(Ьг)+( 2(сг) — 1' 1 1 8.53. и = 8.53. и = 2+уз г 2+уз г 1 8.54. и = хг+уг 2 3. Частные производные. Пусть (хм ..., хь, ..., х„) — произвольная фиксированная точка из области определения функдии и =У(хм ..., х„). Придавая значению переменной хь (л = 1, 2, ..., и) приращение Ьхь рассмотрим предел у(хы..., хь + Ьхы..., х„) — г'(хы ..., хы..., х„) 1пп а*,- в Ьхь Этот предел называется частной производной (1-ео порядка) данной ди фуикпии по переменной хь в точке (хг, ..., х„) н обозначается — или дхь Д„(хм ..., х„).
з 1. Основные понятия 191 Частныс проиаводные вычисляются по обычным правилам и формулам дифференцирования (при атом все переменные, кроме хь, рассматриваются как постоянные). Пример 5. Найти частныс производные функции х = агс!д —. у х <! Считая у постоянной, получим дх ! г у! у дл !+(у(х)з Гхз! т +уз' Считая х постоянной, получим дх 1 ! х ду 1+ (у/х)з х хе+ уз' Функция и = Дхм хз, ..., х„) называется однородной функцией степени н~, если для любого действительного шола ! ф 0 справедливо равенство ~(!х1 ~хе ., !хв) = г ' 1(хм хз,, х„), Если оцнородная степени т функция и = )'(хм хз, ..., х„) имеет частные производные по каждой из переменных, то выполняется соотношение (теорема Эйлера) х11,'ч (х1., х, ..., з „) + хз 1,' (хм хз, ..., х„) +...
... + хв1 (хм хз,..., х„) = го)(х,, хз, ..., х„). При мер 6. Проверить теорему Эйлсра, если Дх, у) = Ахз + 2Вху + Оут, < Имеем 1(Рх, !у) = А(!х) + 2В(!х)(Гу) + С(Гу)з = 1~1(х, у). Следовательно, гп =. 2: Д(х, у) = 2(Ах + Ву), ~'(х, у) = 2(Вт+ Су), хД(х, у) + уфх, у) = 2х(Ах + Ву) т 2у(Вх+ Су) =- 2~(х, у). г Паьттлмияропзоодными2 сонорядк функци1ги =~(ты хе....,х„) называютсл частные прои'.гчдкые от ее ис:агах производных перого повязка. Пропзвздйь . ьгз1ю о * орлтса обозначаю ггя гл джощим 192 1л.
8. Днфференц. исчисление функций нескольких переменных образом: с до'г д и дхв д*'„ с ди ~ дн л — =у'", (хмхг, ..., хы ..., хн ...,х„) дхв ( дхв дхс дхл д дгз дгг д ( у ') 2ху дхг дх ~, хг + уг/ (хг + уг)г дгг д l у ') 1 (хг ~Ь уг) дг.д, ду 1 хг+уг/ (хг.ьуз)г дг- д х 1. (ха+уз) — 2х.х уг — тг (хг ь уг)г ' у — х д. д.
д г ь уг (хг ь уг)г (хг ь уг)г (г дгг дгг т мы здесь убедились в том, что = ), дх ду ду дх дгз д ~' х '1 2ху д,г д, ~х,г+уг/ ~, г+„г)г' Ча11ти частные производные 1-го и 2-го поридков от заданных функг[ии: 8.55. х = ха + у" — 5хзуз. 8.56. х = ху+ —. у 8.57. х = — —: — ' . 8.58. г = хс х". ху уГХ2 с у2 соз у 8.59.: =- —. 866 с=ух х ц т.ц. Аналогично опредслнютсн и обозначаются частные производные пораню выше второго. ргзу.,ц,тат многократного дифференцирования функции по разлиози переменным не зависит от очередности дифференцирования прп условии, что возникающие при этом гсмешаннгзег частные производныс непрерывны. Лрцмер 7. Нагггтг частные производные 2-го порядка функции г у 31 снбо —.
о Имеем ~см. пример 5) дг у дг х и дх хг с уз ду гл+уз' Лшфференцнруем вторично: з 1. Основные понятия 193 8.76. я = агсгй— у х 8.78. Вычислить дх дх д дт ду ду ду дт др дз дя дд ду дд дз дт др дд если х = тсоздсозр, у = т соедини, х = тяпд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
