341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 23
Текст из файла (страница 23)
4) Если сходится !/(х)!г(х, то сходится и /(х)бх (последний а о интеграл называется в атом случае абсолютно сходлпьимсл). +оо Пример 1. Вычислить е з* ях, о сь Имеем: -ь~с о !ип е 'г(х = !!пь '( — -е ~*~ ) = ь е -ь.+с.~, 3 !о)— о -зь !пп (1 — е )=-. ~> Зь .~- 3 1 — ях, о>0, а>0 хю которые сходятся при а > 1 и расходятся при а < 1. х+ 1 Пример 2. Исследовать на сходимость интеграл ) ' бх.
/ г,'з 1 < При х -ь +ос имеем х+ 1 у(1+ 1/х) 1 / 3 хз/2 хм/т .~- ОО г(х Так как интеграл ) — расходится (а = 1/2 < 1), то и заданный ) туг 1 интеграл также расходится. !> На практике в качестве интеграла, с которым производится сравнение, обычно используются интегралы вида 158 Гл. 7. Интегральное исчисление ф нищий одной переменной Вычислить несобственные интегралы (или установить их рас ходимость): Исследовать на сходимость интегралы: а~хо+ ух2+1 7.426. дх. з+3 +1 1 Г 3+ ейпх 7.428.
/, дх. 1 7.430. / дх. в1п (1/х) ,/ 2+ х~/х 1 ох 7.425. 3 + 2хг + бх4' 1 7.427. з 3*'~-д то' 2 .з+ '/ з+1 1 дх 7.429. ейТ 21Г(*~-е 1 11х 7.411. х1пз х е сЬ 7.413. х24 бх 7.415. о х 41х 7.417. Д~*'~-с'' 7.419. х соз х дх. о Г х2+1 7 421' / з гаях. 1 7.423. у з 2 41х 7.412. хз71п х е 7.414.
е ' сов х сЬ. о 1+ 2х 7.416. /, ох. ./ х2(1+ х) 1 7.418. хе ' гаях. о 7 420' з з+8 о *Их 7.422. ,Д+ з о 7.424. е ' Йх. о 159 3 5. Несобственяьге интегралы г(х 7.431. ,/и+ созз х 1 7.432. х 1п1пх 2. Интегралы от неограниченных функций. Если функция г'(х) непрерывна при а < х < Ь и !цп у(х) = со, то по определению с — ул — 0 у(х) г(х == 1пп у(х) г!х. 7 — г-ге,! с с (3) с — уг 1(х) г(х = )пп у(х) г(х+ 1йп !' у(х) г(х. (4) „„О/ ус-с-ьо у с-Г-тс Признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов от неограниченных функций аналогичны признакам из и.
1. На практике в качестве интеграла, с которым производится сравнение, обычно используются интегралы вида — — (а > 0), (х — а)а ,/ (Ь вЂ” х)'* с с (5) которые сходятся при а < 1 и расходятся цри а > 1 (сравните с аналогичными интегралалги в случае бесконечных пределов интегрирования). ! <Ат Пример 3. Исследовать на сходимость интеграл у! —.
,/ 1пх 1 1 1 — — (эквивалентные бесконечно большие), 1пх х — 1 с! Прих у 1 так как 1,.У)пх, х — 1 1 1пп, ' —; =- 1пп —, = !шу — — = 1. с- у 1гг(х — 1) - г '. гт, — у 1гх Если существует конечный предел в правой части формулы (3), то несобственный интеграл называется схос!лщизгсл, если этот предел не существует, то — расхог)ли!кисл. Геометрически несобственный интеграл (3) в случае !(х) > 0 есть площадь фигуры, ог!ганиченной графиком функдии у = — !(х), прямой и = а и вертикальной асимптотой х = Ь. Аналогично определяется несобственный интеграл в случае !пп у'(х) = со. В случае., когда с б (а, Ь) — точка разрыва и функция у(х) неограничена в любой окрестности точки с, 160 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной 2 / йх, Интеграл / расходится как интеграл типа (5) при о = 1.
Следох — 1 1 г вх ватсльно, расходится и // †. С ,/ 1пх 1 П р и м е р 4. Исследовать на сходимость интеграл 1 3х~+ з/х 16х — х а Задача состоит в том, чтобы установить характер поведения подынте- гральной функции при х — ~ +О. В числителе при х -+ +О имеем 2хг+ /х = хз/г(2хз/2+ 1) хз/з В знаменателе воспользуемся формулой Маклорена для функции си х: з аз 1з з 1з сех — т= х+-х +о(х)) — х=-х +о(х) -х.
3 ) 3 3 Следовательно, при х †) +О 3хг '- /х з'/г 1 — 3 16 х — х хз/3 хз/2 1 / и'х Тзк как интеграл 1 — расходится, то расходитси и заданный инте,/ хз/г о грал. ~> Вычислить несобственные интегралы (или установить их расходимость): 1 г е з/з 7.433. / . 7.434 Г с1х „/ хг + х4 о ох 7.436. 6*~8 2 з х и'х пх 7.435. /хг Ц4/з' ' / х)пах о 1 2/3 г/х 7.437. хт/Охг — 1 '3 5. Нссобственные интегралы 7.439. ! з | хз Йх 7.438. ,/4 ха' в 1 Йх 7.440, соа —, хз хз о ! 7.441. Исследовать па сходимость интегралы: 7,452.
Доказать, что при сг > О определяюший гамма-функцию +00 Г(л) интеграл Эйлера Г(сг) = е *х~ сгх сходится, и устано- 0 вить следую!цие соотношения: в) если гг = и, — - целое число, то Г(и + 1) = г!!; б) Г(с! + 1) = г!Г(сг) для любого о > О; в)* à — = !/к; г) Г 1~ !/к 1, 2/ 2" ' д) Г и + — = 1 3 . 5... (2и — 1) —, и — целое.
7 .442. / дх. Г соа (1/х) з/ о ! Йх 7.444. / / гбх — х о ! с1х 7Л46. е' — соа х е ! 7.448. 0 ! Г ,!Гт 7.4оО. / — дх. /,з ! Г хз 7.443. / Их. ./ /(:. о ! 7.445. 1п(1+ ъ'хз) Их. е* — 1 о ! 7.447. дх. ьь (1- е о ! Г!пх 7.449. / — йх. ,/ т/х о о Г е!Г* 7.451. / — Йх. '/ .з — 1 162 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной '36.
Геометрические приложения определенного интеграл; ь о =- 1(х) с(х. (1 а Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций у =,11(х) ь Рис.. 15 у — тз(х) ьг(х) ~ ((з(х) и двумя прямыьп. г = а, х = 5 (рис. 16), определяется по формуле ь Я = / (Уг(х) — Л(х)) с(х (2 Простейшие задачи на применение формул (1) ц (21 были поиввчрв. ь 14 (задачи 7.356 — 7.363). Рнс. 17 Рис. 16 П р и и е р 1. Найти плошадь фигуры, лежащей в правой полуплоскоти и ограниченной окружностью хт + ут = 8 и гараболой ут .= 2т. з Найдем точки пересечения кривых (риг. 17), решив систему урав- ений х +у =8, уз = 2.г.
1. Площадь плоской фигуры. Площадь фигуры, ограниченной грь— фиком непрерывной функции у =- 1(х) (1(х) ) 0), двумя прямымь х = а и х = у и осью Ох, или площадь крьоозинсйной щрапсппа, ограниченной дугоь графика функции у = 1(х), а < т < ь (рис. 15), вычисляется по формуле $6. Геометрические приложения определенного интеграла 163 Получим точки (2, 2) и (2, — 2). Используя симметрию относительно оси Ох, найдем искомую плошадь Я как удвоенную сумму площадей криволинейных трапеций, ограниченных соответственно дугами параболы д = ~/2хх, 0 ( х ( 2, и окружности у = ~/8 — хт, 2 ( х ( ~Г8: г ъ~8 Я = 2 ~/2ххдх+ ~/8 — ха ох о 2 = 2 ~(2 -харт + ~ — ~(8 — ха+ 4агсвш — ) ~ /8 4 = 2 ~-+ 2л — 2 — л) = 2л+ —.
~> 1,3 ) 3 Иногда удобно использовать формулы, аналогичные (1) и (2), но по переменной р (считая х функцией от р), в частности, (3) Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой (р — 2)з = х — 1, касательной к ней в точке с ординатой ро = 3 и осью Ох. а Форма фигуры (рис. 18) не позволяет непосредственно применить формулы (1) или (2). Однако если рассматривать фигуру относительно оси Ркс.
18 Ор, то можно применить формулу (3). Итак, пусть р — независимая переменная. Уравнение параболы запишем в виде х = рз — 4р+ 5. Найдем уравнение касательной к параболе. Оно имеет вид х — хо —— хо(у — уо). Так как х'„= 2(у — 2), то хо = х')„-з = 2. Найдя, далее, абсциссу точки касания хо = 2, получаем уравнение касательной х — 2 = 2(д — 3), или х = 2у — 4. а 6.
Геометрические приложении определенного интеграла 165 Пример 4. Найти площадь петли кривой х = а(1т — 1), у = Ь(41 — 1а) (а > О, Ь > 0). а Найдем точки пересечения кривой с воординатными осями. Имеела х = 0 при 1 = х1; у = 0 при 1 = О, Х = х2. Следовательно, получаем следующие точки: (О, ЗЬ) прц 1 = 1: (О, — ЗЬ) при 1 = — 1; ( — а, 0) при Х = 0; (За, 0) при 1 = х2. Точка (Зп, 0) являетсп точкой самопересеченип кривой. При 0(1< 2 у > 0; при — 2 (1< 0 у ( О (рис. 20). Плошадь фигуры находим как удвоенную площадь верхней ее половины; Зв 2 2 3 2/у~ 2/уф в)в 2/ц46 е) 2 й — п о о т = 4аЬ ~ (41 — Х ) г11 =- 4аЬ ( -Р— — ( = — аЬ.
С / 2 4 /4 а 1~1 256 13 5( о 15 о Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции г = = г(р) и двумя лучами д = а,;в = р, где у и г — полярные координаты, Рис. 20 Ркс. 21 нли площадь криволкнейноео сектора, ограниченного дугой графика функции г = г(р), а < ~р < Д, вычисляетсп по форгиуле 5= — / г гЬр. д 2/ а (5) Пример 5. Найти площадь лунки, .ограниченной дугами окружностей г = 2и,саад, г = 2аащ~а, 0 ( ув < х/2, и > О. ю Окружности пересекаются при ~о = ч/4; рассматриваемая фигура 1риг. 21) симметрична относительно луча 1а = и/4. Следовательно, ее 166 Гл.
7. Интегральное исчисчение функций одной переменной площадь можно вычислять тан: и/4 5 = 2 — / 4ат э/нэ ~р йр = 2а2 (1 — сов 2у) йу = 2,/ о о т/4 = 2 ' (р — -0 2~ )~ = ('- — !) ". 7.453. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у = 1пх ипрямымих=е, х=е2, у=О. 2 7.454. Найти плошадь фигуры, ограниченной эллипсом — + а2 2 + — = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
