341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 18
Текст из файла (страница 18)
2 0 — 1 =21, М= Отсюда находим: у — 1 = 0 — уравнение соприкасающейся плоскости; 2х — х = 0 — уравнение нормальной плоскости; х + 2г — 5 = 0 — уравнение спрямляющей плоскости. о в ее точке ЛУ(1, 1, 2). ° з Пифференцнруя данные уравнения и считая х независимой переменной, получим; хйх+ рду+ зНз = О, х ох — у с(р + з сЬ = 0 110 Гл. б. Дифференциальное исчисление функпий одной переменной Найти основные единичные векторы т, м, !3 и составить уравнения касательной, главной нормали и бинормали данных кривых: 6584.и=с', у=е ', з==1при1=0.
6.585.:г = ! — яш1, у = 1 — соя1, з = 4 яш — при ! = лг. 6.586. зс = 21, у = 1п1, з = !" при 4 = 1. 6587. у = х, з = 2тз в точке х = 1. 6.588. Написать уравнения плоскостей, образующих естественный трехгранник кривой т = 1 + 1, у = соя1, з = е' в точке (1, 1, 1). 6.589. Написать уравнения плоскостей, образук>щих естественный трехгранник кривой х = 1/л/о, у = 1/х/2, з = 1пяшб при 1 = к/2. 6.590. Найти векторы т, гз, !3 и написать уравнения всех ребер и плоскостей, образующих естественный трехгранник кривой т = = (1+ 1)з, у = 1з, з = х/1з + 1 в точке (1, О, 1).
6.591. Найти векторы т, и, !3 и написать уравнения всех ребер и плоскостей, образующих естественный трехгранник кривой < ге +у +з =14, к+2у — з = 2 Кривизне пространственной кривой определяется аналогично кривизне плоской кривой. Если кривая задана уравнением г = г(з), то 1 дзг К= — = В дят В случае общего параметрического задания кривой имеем 1 Д<дг/дй дзг/дР) ~ 17 ~дг/дмз Кручением (отарой кривизной) пространственной кривой в точке ЛХ называется число 1, д а= — = !пп р л — ~мЬл где д — — угол поворота бинормали, соответствующий дуге МХ. Величина р называется радиусом кручения или родиусем еторей кривизны.
Если г = г(з), то д3 гг1г/дз) <дзг/дзз) гдзг/дзз) дз ~гРг/дзз!з 5. Векторные н комплексные функции действнт. переменной 111 (,Сгс, С)(,пгс,ССг)(,Сз с,ССз) ((суг/сСС сСгггсССг)Сг П р и м е р 7. Найти кривиану и кручение кривой х = е' сов С, = е' вш С, а = е' в любой точке. ' О Имеем г = (е'совС, е'япС, е'), с(г с с — = (е (сояс — яп С), е (яп С + сов С), е ), Й 2 с с — = ( — 2е вш С, 2е сов с, е ), сССг — = ( — 2е (яп С + соя С), 2е (сов С вЂ” яп С), е ).
с с ,Ссз Отсюда ! 1 Я вЂ” — = е (совс — япС) е (япс+совс) с с СС2 — 2е'япС 2е' сов С е' е' =е (япс — совс, — (вшс+совс),2), е'(сов С вЂ” вш С) е'(яп С + сов С) — 2е' яп С 2е' сов с — 2е'(яш С + соя С) 2е'(сов С вЂ” яп С) ес е' е' 3г лг .,Сз . = 2езс ,СС Ссг (ССз Следовательно, зс2 -с 3 ег' (вспс — совс)г+(в!ос+ совс)в+4 К соя С) г + 1) с е -с езс и†ес'((вш С вЂ” соя С)г + (яп С + сов С)г + 4) 3 Вычислить кривизну и кручение кривых: 6.592. х = е', у = е ', х = Сз/2 в любой точке и 6.593. х = С, у = Сг, х = Сз в любой точке и при при С = О. С=О.
с)сЗ где знак минус бсретсн в том случае, когда векторы — и и имеют адис(я паковое направление, и знак плюс — в противоположном случае. Если г = г(С), где С вЂ” произвольный параметр, то 112 1л. б. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 6.594. х = 31 — 12, д = 31~, « = 31+ 12 в лсобой точке и при 1 = 1. 6595. х = 21, у = 1п1, « = «2 в любой точке и при 1 = 1. 2 3 6.596. у = —, « = — при х = 1. 2' 3 6.597. 2х = у2, « = х2 в любой точке и при у = 1. 2 з 6.598'. дано уравнение движения г = Н+ 121 + -сз)с.
Опреде- 3 лить ускорение зч движения, тангенциальную зл и нормальную ю составляющие ускорения в любой момент 1 и при 1 = 1. 6. Комплексные функции действительной переменной. Если каждому значению действительной переменной С б Р С К поставлено в соответствие определенное комплексное число « = х + 19, то «(1) называется ко,мялексной фракцией дейсгпоитоеаьной переменной С с областью определения Р: « = «(т) = х(1) + зд(1), Задание комплексной функции « = «(1) равносильно заданию двух дсйствительных функций х = х(1), й = 9(С), или заданию вектор-функции г(с) = (х(с), р(с)).
П риме р 8. Построить кривую, заданную уравнением «(с) = сй."ьюц, — со < 1 < +со. З Так как «(1) = е '(сов т)1 + 1з1п р1), то ~«(1)~ = еа' и агй «(1) =- рй Полагая ~р = 131, находим, если р' ф О, 1 = —. Следовательно, г = ~«Я! = Я = ей ( — оо < у < +со), и мы получили уравнение логарифмической спирали (т.
1, гл. 1, 23, и. 5, а также рис. 11 слева), если ор' ф О. При о = Π— — окружность г = 1, при Д = Π— луч |р = О. с Производной комплексной функции «(1) называется комплексная Ь«(т, Ы) функция «'(1) = 1нп = х'(1) + ъу'(т). На комплексные функьь-~о ьтс ции действительной переменной распространяются обычшас правила дифференцирования (см.
и. 1 2 1). Пример 9. Доказать, что (е"')' = Лем, где Л = а + 1р - - произвольное комплексное число. «1 Пусть «(т) = ем = е1 ~чзц, тогда х(1) = с 'соз/й н р(1) .= е 'з1п1И. Отсюда находим: х'Я = ае" соарес — Пе" з1пРС у'(т) = ае" з1ц бя + ре"' соз Я. 55. Векторные и комплсксныс функции действит. псременнои 115 Следовательно, г (1) == х (1) + 1р'(1) = — (ое сов р1 — цс' эш 01) +1(осга э1п 111+ Псы с 01) = ие ~(соэц1+1э1пР1) + 01е ~(гоэ 111+ Кэ1п!Й) = ое1~ььтд+,бс1оь~ен (а+10)е1ь+~ер Лем Построить кривые, заданные уравнениями з = з(1), и найти ~'(с): 6.599. з = 1'+11, 1 Е ( — ос, +ос).
6.600. з = 1 — 1 +1е'4, 1 Е ( — со, +со). 6.601. г = 2е", 1 Е (О, и). 6.602. г = Зеа + е ", 1 Е ( — со, +ос). 6.603. г = (2+ Це'+ (2 — 1)е ~, 1 Е ( — со, +ос). 6.604. г = 1з + ч14, 1 Е ( — сс, +со), 6.605. к = 1+ 1 — 1е ", 1 Е (О, 2л!.
6.606. г = ае'(1 — Й), а Е К, 1 Е ( — сс, +со). 6.607*. Известно, что г = г(1) определяет закон движения точки на плоскости. Найти компоненты скорости и ускорения по направлению касательной к кривой в = з(1) и перпендикулярному к нему. 6.609*. Точка х пробегает окружность ~г~ = В с постоянной угловой скоростью, равной единице. Найти вектор скорости точки и, движущейся вмегте с з по закону ш = у(г). Пусть Р = — — — оператор дифференцирования, т.е.
Рл(1) = г'(1). а1 Линейный дифференциальный оператор г постояннымп коэффициентами р(Р) = а„Р" +... + а~ Р -ь ис определяется следующим образом: Р(Р) Ф) = акабе(1) + " + а~ э'(1) + ос:(1) 6.609*. Доказать следующие свойства линейного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами: а) р(Р)е ' = р(Л)е ", б) р(Р)(емв(1)) = е~'р(Р + Л)г(Е), где з(А) — произвольная комплекснозначная функция, п раз дифференцируемая при любом 1 Е ( — сс, +ос).
Для заданных функций вычислить увазанные линейные комбинации производных: 6.610. хн(1) + Зх'(1) + х(1), если х(1) = 1е ' соз й 114 Гл. 6. Ди4>ференцивльное исчиглсние функций одной переменной а Заметим, что х(1) = Ее(Ы ььцц), Поэтому хн(1) + Зх'(1) + х(1) = = (Р- + ЗР + 1)х(1) = Вс(Рз + ЗР+ 1)1е~ 'ь'П. Использун результат задачи 6.6095), находим: (Р + ЗР + 1)1е~ ~+'~~ = е~ ~+6~((Р + 1 — 1) + 3(Р+ 1 — 1) + 1)1 = = е~ ьь'Д(Рз+ 2(1 — 1)Р ч-(1 — 1) +ЗР+ 3(1 — 1) + 1)1 = = е~ ььр(Р~ + (1+ 21)Р+ ( — 2+1))Х = е~ ~~6~((1 — 21) +1(2+1)) = = е ~(((1 — 21) гонт — (2+ 1) гйп 1) + 1'((1 — 21) аш1+ (2+ 1) сов1)).
Отсюда получаем: хн(1) + Зх'(1) + х(1) =- Кс (Рз + 3.0 + 1) 1е1 = е '((1 — 21) соя1 — (2+1)аш1). с 6.611. хн'(У) + 46х(т); х(1) = ез'сон 31. 6.612*. хнЯ вЂ” х'(1) + (5/4)х(1); х(У) =- ец~з вш 6.613. хн(У) + 2х'(1) + 2х(1); х(1) =- е' ейп 21+ е ' соя 1. 6.614. хн'(1) — х(1); хЯ = 1з зш Е. 6.615. хн(1) — 2х'(1) + 5х(1); х(1) = е~ нйп28Д + 1з. 6.616. (1/2)хн(т) — х'(1) + х(1); х(1) = (1+ тэ)е' соа г..
Глава 7 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ОУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ В 1. Основные методы вычисления неопределенного интеграла 1. Первообразная и неопределенный интеграл. Функция г'(х) называется переообразноб функции у(х), заданной на некотором множестве Х, если Г'(х) = у(х) для всех х б Х. Если г'(х) — первообразная функции у(х), то Ф(х) является первообразной той же функции в том и только в том случае, когда Ф(х) = г'(х) + С, где С вЂ . некоторая постоянная.
Совокупность всех первообразных функции У(х) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается символом 1(х) дх. Таким образом, по определению у(х) дх = (Г(х) + С), где Г(х) — одна из первообразных функции У'(х), а постоянная С принимает действительные значения. В силу установившейся традиции равенство (1) записывается без явного обозначения множества справа, т.е. в виде у(х) с(х = Г(х) + С, при этом С называют произвольной постоянной. Свойства неопределенного интеграла (1'яе~) =яч 2. / У'(х) дх = У'(х) + С. з.
~ лог* =.) яе г*, л а 4. / ф(х) + уг(х)) дх = ~ Л(х)дх+ ~ гг(х)с1х. 2 1. Основные методы вычислении неопределенного интсграаа 117 Найти псрвообразные следующих функций: 3 5 7.1. 2хд 7.2. 4 фх 7.3. — +— х х2 76 1 — 2 ' 1 7.7,, 7.6. е2-з* ;/а+ бх 1 х +1 7.10.. 7.11. сов2 4х х — 1 2х х х зхй 7.13. (сов — + 2яп — сов — — яп 2 2 2 2/ 7.14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
