341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 14
Текст из файла (страница 14)
6.363. 1нп ~ — — с!8 х ~. х-ю/2 1,с!Пх 2созх) ' 2-оо (,хз Раскрытие неопределенностей типа Оо, соо, 1' . Во всех трех случаях имеется в виду вычисление предела выражения (/(х)) о(*) где /(х) есть в первом случае бесконечно малая, во втором случае— бесконечно большая, в третьем случае — функция, имеющая предел, равный единице. Функция же 22(х) в первых двух случаях является бесконечно малой, а в третьем случае — бесконечно большой.
Поступаем следующим образом. Логарифмируя предварительно р = = (/(х)) , получаем равенство о(о! !и р = (о(х) !и /(х) (2) и находим предел 1п у, посла чего находится и предел у. Во всех трех случаях 1п д в силу (2) является неопределенностью типа 0 оо (проверьте!), метод раскрытия которой изложен выше. 2о П ри мер б. Найти 1цп (! + — ) (раскрыть неопределенность ео(, х) типа ! ). 2о У 1'1 <2 Введем обозначение у = 1+ — ), Тогда !пу = 2х!и 1 1+ — ) являх) ется неопределенностью типа оо О. Преобразуя выражение 1п у к виду !и(1+ 1/х) !ау =2в 1/х 6.349. 1цп х(е(/* — 1).
х-1оа 6.351. 11п1 х"е *. х->ао 6.353. 1пп (11 — х) СП вЂ”. х — ~к 2 6.355. 1пп хзе1/* х — ~о 6.357. 1пп х еПп —. х — ~со 6.352. 1!ш х 1пз х. 6.354. !пп (е' + е * — 2) с!д х. 2 — ~0 6.356. 1пп (х — 1) с!8 1г(х — 1). 2 — ~1 6.358. 1пп 1п х 1п (х — 1).
2 — ~1-(-О 93. Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Тейлора 83 находим по правилу Лопиталя-Бернулли (1/(1 + 1/х))(-1/х') 1 1'цп 1п у = 2 1цп =2 1ш1 = 2. х — >-Ьоо хо-Ьоо — 1/хз 1+ 1/х Следовательно, гх 1|ш р= 1ип 1+ -) =е . с х — >-Ьсо хо.Ьоо ~ Х Раскрыть неопределенности типа 00, ооо, 1": 6.364. 1ии х"" *. 6.365. 1ип (агсз(пх)'ах. хоао х-~+О 1 6.366. 11ш (и — 2х)""*. 6.367. 1ип /2-0 ' ' ' * +ОХ~о(с*-1) 6.368. 1ип х'У..
6.369. 11ш (х + 2х)'Ух. хо+со х-о+со 6.376. 1ип (018 х)'/'"'. 6.371. 1ип (18х)гх ". х — ~ -~-0 х-+х/2-0 х 6.372. 1ип х'/(' х). 6.373. 1ип 1 + — ) х-о1 ( р). 6.374. 1ип (сов 2х)З/х 6.375. 1ип (е*+ х)1/х хо о х — ~0 х1~з 2„, / (1+ х)'~*~ 6.376. 1ип (2 — -/ '. 6.377. 1ип х-о~ а хоо ~ е 1 /хо г' з(пх 1 6.378. (ип ~ — ) х~01х) 3. Формула Тейлора. Если функция у = /(х) имеет производные до (и + 1)-го порядка включительно в некоторой окрестности ~Уз(а) = = (х()х — а! ( б) точки а, то для всякого х Е Ссз(а) справедлива формула Тейлора (порядка и) /(х) = /(а) + , (х — а)+ /'(а) /о(а) /1о1(а) + (х — а) + ... + (х — а)" + й„.ы (х), 2! и! где /1и-~-Н (а + оо(х а)) Л„„1(х) = (х-а)"+', 0<В(1 (и+ 1)! (остаточный член в форме Лагранжа).
Таким образом, формула Тейлора порядка и позволяет представить функцию у = /(х) в виде суммы многочлена и-й степени и остаточного члена. 84 Гл.б. Дифференциальное исчисление функций одной переменной В частности, при а = О имеем ( ) / ( О ) / /( ) / ( ) / ( ) / ( ) 1! 2! и.
'(и + 1)! О < 9 < 1 (формула Маклорена). 6.379. Многочлен 2хз — Зхг + бх + 1 разложить по степеням двучлена х+ 1. 6.380. Для многочлена х" + 4хг — х+ 3 написать формулу Тейлора 2-го порядка в точке а = 1. Записать остаточный член в форме Лагранжа и найти значение О, соответствующее следующим значениям аргумента: а) х = О; б) х = 1; в) х = 2.
6.381. Пусть Р(х) — многочлен 4-й степени, Р(2) = — 1, Р'(2) = = О, Рц(2) = 2, Ри'(2) = — 12, Р('ю(2) = 24. Вычислить Р( — 1), Р'(О) и Р" (1). Для ааданных функций написать формулу Маклорена и-го порядка: 6.382. у = е*. 6.383. у = з1пх. 6.384. р = сов х.
6.385. у = 1п (1+ х). 6.386'. у = агс18 т. 6.387. у = (1 + х)". Используя формулы Маклорена, полученные в задачах 6.382— 6.387, написать первые и, членов формулы Маклорена (без остаточного члена) для следующих функций: .т г г 6.388*. д = е "' Уг. 6.389". р = ейп х. 6.390. 9 = з1п —. 2 6.391. 9 = (п(4+ха). 6.392. 9 = К8+ хг. 6.393.
Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции у = х/(х — 1) в точке а = 2. Построить графики данной функции и ее многочлсна Тейлора 3-й степени. 6.394. Написать формулу Тейлора 2-го порядка для функции у = 18х в точке а = О.
Построить графики данной функции и ее многочлена Тейлора 2-й степени. 6.395. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции у = агсзгпх в точке о = О. Построить графики лапкой функции и ее многочлена Тейлора 3-й степени. 6.396. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции у = 1/~/х в точке и = 1. Построить графини данной функции и ее многочлсна Тейлора 3-й степени. Формула Тейлора широко используется при вычислении значений функции с заданной степенью точности. Пусть, например, требуется вычислить значение функции /(х) в точке хе с абсолютной погрешностью, не превосходящей с, если известно значение этой функции и ее произ- 2 3.
Теоремы о диффсрснцируемых функциях. Формула Тейлора 85 водных в точке а. Из формулы Тейлора следует, что у'(а) /!'кй(а) У(хо) — Да) + †, (то — а) + ... + , (хо — а)"', где но — минимальный нз номеров и, лли которых )Н,еы(хо)~ < .. Пример 7. Вычислить число е с абсолютной погрешностью, не превосходящей 0,001. г Применяя формулу Маклорена к функции у(х) = е', получаем 1 1 1 е~ е=/(1) =1+ — + — +...+ — + ', 0<6<1. 1! 2! и! (и+ 1)! ' е Наименьшее значение пч удовлетворяющее условию < 0,001, (и+ 1)! где 0 < 6 < 1, равно по — — б.
Следовательно, 1 1 1 е 1+ — + — +... + — = 2,718. !> 1! 2! 6! 6.397. Вычислить с абсолютной погрешностью, не превосходящей 0,001, приближенные значении следующих чисел: а) з(п1; б),/е; в) 1п1,05; г) ~(333. 6.398. Выяснить происхождение приближенных равенств: 2 ),/Г+х =1+ -* — -*', )х! 1; 2 8 г б) а/1!х 1! х х2 )т)< 3 9 и найти их предельные абсолютные погрешности. Остаточный член в формуле Тейлора может быть записан в форме Псано 77„~.~(х) = о()х — а)"), использование которой полезно при вычислении пределов. 1 — сова х Пример 8. Найти !!ш— о 5хг + 7хз <~ Так как 1 — сояз х = (1 — сов т)(1+ сов х+совг х), а 5х + 7хз 5хг, то 1 — сова х, 3(1 — сов т) !пп, = !нп о 5хг + 7ха . о 5хг 86 Гл. 6.
Дифференциальное исчисление фуикций одной переменной хя Заменяя соя х его разложением по формуле Маклорена соя х = 1 — — + 2! + о(х~), получаем 1 — сояз х 3 х'/2+ о(х') 3 хт/2 й|и = — 1'пп = — 1пп - с 5хе + 7хз 5 * с хт 5 * е хт хя поскольку — + о(х ) — при х — ! О. Окончательно 2! 2 1 — сояэ х 3 1пп — !> с 5хт + 7хэ 10 1 — яп (2х — 2) х— Пример 9. найти 1пп к-~1 Х— а По формуле Тейлора 1 + яп (Зх — 3) ' 2(х — 1) — 1) = + о(!х — 1~), 3(х — 1) + о((х — 1!). яш (2х — 2) — яш 2(х яп(Зх — 3) = Следовательно, х — 1 — яп (2х — 2) — (х — 1) — о(!х — 1!) 1пп = !пп и-ч1 х — 1 + яш (Зх — 3) х-~1 4(х — 1) + о(!х — Ц) Отбрасывая бесконечно малые высших порядков, т.
с. переходя в числи- теле и в знаменателе к эквивалентным бесконечно малым при х — ь О, получаем х — 1 — яп (2х — 2), — (х — 1) 1 Пш =1пп = — —. с к- ! х — 1+ яш (Зх — 3) к-» 4(х — 1) 4 9 4. Исследование функций и построение графиков 1. Возрастание и убывание функции.
Зкстремум. Функция у = /(х) называстсл аоарастающей (убывающей) в интервале (о, 5), сели из неравенства х1 < хя, где хя,хя е (а, 5), следует неравенство /(х1) < /(хя) (соответственно /(х1) > /(хя)). 6.399. Показать, что разложение по формуле Маклорена для функций япх, г9т, агсяпх, агссбх, е* — 1 и 1п(1+ х) можно записать в виде х + о(!х!) и что при х — > О все эти функции эквивалентны бесконечна малой О(х) = х (и, следовательно, эквивалентны между собой). 6.400. Используя разложение по формуле Маклорена, вычислить пределы: чу+ т — ~/1 — х, 1 — соях, гбх — япх а) Пш; б) 1пп, .; в) 1пп х — ~о т х-~о ха+ха ' х — >о хз+х" З 4.
Исслсдованис функций н востр<н нис графиков т — 2 — прп:г Е ( — оо, 0) < < (О, 1), . 3 2 — т, при т. Е (1, -Лоо). < (7<) Приравнивая се нулю, получаем х = 2. Таким образом, критическими точками (с учетом тех точек, гдс производная на существует) являютсн: х< = О, хт = 1, хз = 2. Они разбивают область определения <'(х) на четыре интгрвзлв монотонности: ( — оо, 0), (О, 1), (1, 2) ц (2, +оо). Так как г"'(х) > 0 прн т Е ( — сю, 0) лэ' (!.
2) н <о(<г) < 0 прц х Е (О, 1) лэ' 1З (2, +ссц то <'(<г) возраста<ч нв <ппсрввшгг (-ск, 0) и (1, 2), убывзст Если функпця ) (э) дпфф<рснпирусмз на шыгрвалг (о. Ь) и эг'(г<) > О пРи всгх:<. Е (ов Ь), то фУш<цин У(э<) возР;и таю нв (ав Ь); если зи. )п(г) < < 0 при в<юх х Е (а, Ь), то ) (г) убывает нз эмщ шпирввле. В простсйших случаях облж гь оврсдслснил функдии у = у" (х) можно разбить на консчнос число иювераалоа л<апапнтпоспт.
Каждый из ш:— тервалов монотонности огрзнш<сн к<1<пни<о<«кпзш пн« кплн<, г которыл. у'(х) =- 0 нли у'(э) нс гугцсству<ч Если сушествуст такая окрсстность О<а(э<о) точки хо, что ддя всцкой точки х ф ха этой окрсгтпостп выполнявтся неравенство у(х) > > У(хо) (нли у(х) < у(ха)), то то па го наз<лвастся тапкой минп.- мума (максимугп<) функции у = 1(х)< а число 1(<го) - — минимума.,и (макси„пумам) этой функции. '1очки лпшимума и максил<ума функцш: называются сс шапками эксп ремума. Необходимое условие зкстрсмума. Если хо — — точка экстремума функшш < (т), то у'(<го) = 0 пли 1'(хо) нс гушгствует< т.с. ха — - критнчсская точка атой функции. Обратное, вообще говори, неверна. Достаточные условия экстремума нспргрывной ф у н и ц и и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
