341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 11
Текст из файла (страница 11)
х = 3 1ойг с181, у = 181+ сф1, 1 Е (О, — ) . 6,177. х = агсяп (1 — 1), у = агссоа —, М Е (О, ~Г2). г 6.178. х = ~/1 — Д, у = ~/1 — И, г Е (1, +со). 6.179. х = а еп1, у = 5 сЫ, 1 Е (О, +оо). Найти у~ в указанных точках: 1п1 6.180. х = 1 1п1, у = —, 1 =- 6.181. х = 1(г соа 1 — 2 яп 1), у и = г(геша+ 2 соаг), Х = —. 4 н 6 6.182. х = е' соа 1, у = е' яп1, 3 ах Зпгг 6.183. х =. — —, у =- - —;,, 1 = 2. 1 ргг' Так как у', = — 2 соя тяпа, ф', = соей то по формуле (8) находим 64 1л, 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3.
Произвошгые высших порядков. Производной 2-го порядка от функции у =- 1(х) называется производная от ее первой производной, т. с. у'(х) = (у (х)) . Вообще производной п-го порядка (или п-й производной) называется производная от производной порядка п — 1, т.е. урй(х) = (ур' О(х)), п = 2, 3, ... дну Для производной виго порядка используется также обозначение —. дх Пример 8. Найти У", если у = 1п(х+ Д+ хз). 1 <~ Имеем у' =,. Следовательно, ь/Г+ хз 1 1 х /1+ г ( (1+ ха)з/г' Найти производные 2-го порядка от следующих функций: 6.184. у = сове х. 6.185. у = агс18х~.
6.186. у = 1ойз ~ъ/1 — хз. 6.187. у = е * . агсейп х э, /х 6.188. у = . 6.189'. у = х / 2 6.190. Найти у'(0), ун(0), ун'(0), если у(х) = ез*в1п3х. 6.191. Найти ув'(2), если у = 1п (х — 1). 6.192. Найти у'~(1), если у = хз 1пх. 6.193. Найти у(0), у'(О), ун(0), если у = 2""* сов (вйпх). Пусть / (и) — дважды дифференцируемая функция. Найти у' и у", если: /1'1 6,194, у = 1 ~ —, ~ . 6.195. у = — 1и/"(е*).
Пусть и(х) и о(х) — дважды дифференцируемые функции. Найти у', у', если: 6.196. у = и" (и > 0). о Имеем 1пу = о1пи. Отсюда находим — = о 1пи+ — и, У У и з 1. Производная б5 !л = у (о 1птл+ — и лт = и' ! п !пи+ — и лл, л //л л'т и 6.196. у = !и —.
производной заданных функций: 6.200. у = а"*, й Е К. 6.202. у = 1и х. 1+х 6.204. у = 1 — х 6.197. у = ~/цг -)- тг. Найти формулу для о-й 6.199. у = х, ги Е И. 6,201*. у = ат пи. 6.203*. у = соаг х. Разлагая в липсйнуто комбинацию более простых функций, найти указанные производные от заданных функций: 2х 6.205. у = —, найти у("). хг — 1 а Преобразуем вырикепие в виду 2х 1 1 ту=, = + хе †х+1 х — 1 Талл как с 1п) = ( — 1) "п! хх1 (хх1)кы (докттлллтлте!), то Оо 1 п л я л ) ю л кип+ у = у ( тл (лл тл + — и ) + у о 1тл и + и + и и , г я лг 'иг 1 6.206.
у =- —,—,—, найти у (5с) хг — Зх + 2' 6.207*. у = , найти у 1+ х, (ге) т/à — х пп и — ои я лг ,г 2и'е' — +тл )лтп . о и 66 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Пусть и(х) и и(х) имеют производные до п-го порядка включительно. Тогда для производной п-го порядка их произведения и(х)о(х) справедлива формула Лейбница (ии)(в) и(~)и ( Пи(в — 1)и~ ) и(~ — 2)и~~ + ( ии(в) и.
(п — 1) 1 2 та С„и(" )и( ), в=о где и(") = и и(о) = и и Сг— п(п — 1)...(п — к + 1) п! 1. 2 ... й Ы(11 — й)! биномиальиые козффициенты (по определению О! = 1). Применяя формулу Лейбница, найти производные указанных порядков от заданных функций: 6.208. у = (хг+ х+ 1) япх, найти у('ь). 6.209. у = (хг — х)е*, найти у(го). 6.210. у = япх е *, найти у(в). 6.211. у = х 1одг х, найти у((о). 6.212.
у =. ха)1х, найти у()оо). 6.213*. Показать, что (е'* сов бх)(") = т"е'*сов (Ьх+ пр), где Ь, Ь /ог+(г 1 „, ап а т е1/х 6.214. Доказать, что (х" 'екав)(") = ( — 1)" —. , пз1' 6.215. Вычислить значение и-й производной функции у = Зх+2 в точке х = О. хг — 2:г+ 5 з По условию имеем у(х)(хг — 2х+ 5) = Зх+ 2. Продиффереицируем вто тождество п раз, применяя формулу Лейбница. Тогда (для п > 2) получим у(")(х)(хг — 2х+ 5) + пу(" ')(2х — 2) + — у(" 2)(х) 2 = О, откуда при х = 0 5у(")(0) — 2пу(" ')(0) + п(п — 1)у(" 2)(0) = О, или (в)(0) (а-!)(0) п(п ) (н-2)(0) 5 5 3 1.
Производная Мы получили рекуррентную формулу для определения и-й производной в точке х = 0 (и 3 2). Значения у(0) и у'(0) найдем непосредственно: г , -Зхг — 4х + 19~ 19 у(0) = —, у'(О) = 5' (х' — 2х+5)г ~ 25 Затем, полагая последовательно и = 2, 3, 4, ..., с помощью рекуррснтной формулы получим значения производных высших поряшюв. Например, 2 19 2 1 2 56 у"(О) = - г — —— 5 25 5 5 125' 2 56 3 2 19 234 у"'(О) = — 3. — — — — = — —. > 5 125 5 25 625 Применяя метод, описанный в задаче 6.215, найти производную 4-го порядка в точке х = О от заданной функции: ах+6 хг+ х+ 1 6.216. у =, с ф О.
6.217. у = ох+а' ' ' ' ' хг — х+1' 6.216. Показать, что функция у = агсв1пх удовлетворяет дифференциальному уравнению (1 — х )ув = ху'. 6.219. Показать, что функция у = Сге~*+ Сгхегх + е' удовлетворяет дифференциальному уравнению ув — 4у' + 4У = е*. 6.220. Показать, что функция у = е г сов х удовлетворяет дифференциальному уравнению уОю + 4у = О. 6.221.
Показать, что функция у = х" (сов (1пх) +вш(1пх)) удовлетворяет дифференциальному уравнению хгул + (1 — 2н)ху' + + (1+ нг)у = О. В задачах 6.222 — 6.226 найти производные 2-го порядка от функций, заданных неявно: 6.222. /хг г+ уг = а~с'х~х х, а ) О, З Дифференцируя уравнение, определяющее функдшо у(х), получаем х+УУ „кях Ух — У У г — У /хг+уг гг+уг уг г+ г Отсюда х+ уу' = ху' — у (9) 08 Гл. б.
Дифференциальное исчисление функций одной переменной и, следовательно, т. + у у х — у (10) Дифференцируя (9) и используя найденное для у' выражение (10), по- 2(х' + ггз) лучаему" = - '.. с (х — у)з 6.223. уз = 2рх. 6.224. у = 1+ хе". 6.225. у — — 18(х+ у).
6.226. е* "= ху. 6.22г. Вывести формулу для второй производной функции, обратной к заданной функции у = у" (х). 6.228. Доказать, что если (а+бх)елг* = х, то хзул = (ху' — у)з. Найти производные 2-го порядка следующих функций, заданных параметрически: 6.229. х = 1п1, у = 1з, 1 Е (О, +со). а Имеем чУ(1) Ф'(г) Ф" (1)ФМ вЂ” рлЯф'(1) рл(1) Ф'(1) У 6.230. х = вес1, у = 181, 1 Е (О, — ). 6.231. х = агсв(п1, у = 1и (1 — г'), 1 Е ( — 1, 1). 6.232. х = агсс81, у = 1п(1+ гз), 1 Е ( — оо, +со). 6.233. х = а сова 1, у = а ейп 1, 1 Е (О, — ).
6.234. Показать, что функция у(х), заданная параметрически уравнениями х = ейп1, у = асгоз + бе ~чз, 1 Е ( — и/2, и/2), при любых постоянных а и б удовлетворяет дифференциальному уравнению (1 — хз)у" — ху' = 2у. Заметим, что в данном случае параметр г легко исключить из заданных уравнений, полагая Г = е*. Следовательно, выражение для у,", как функции от т. имеет вид у". = 9ез". с В общем случае, если х = х(1), у = ф(1), то у,", вычисляется по формуле э 1. Производная 4. Геометрические и механические приложения производной. Значение производной у'(хс) функции у = у(х) в точке хо равно угловому коэффициенту й = Фб~р касательной ТТ' к графику этой функции, проведенной через точку Мс(хо, рс), где уо = у(хс) (рис. 3) (геометрический смысл производной).
Уравнение касательной ТТ' к графику функции у = Дх) н его точке Мо(хо, ро) имамат вид р — ро = Г(хо)(х —:сс). Прямая ХХ', проходясцая через точку Рис. 3 касания Мо перпендикулярно к касательной, называется нормалью к графику функции р = З (х) в этой точке. Уравнение нормали (х — хс) + ('(хс)(р — ро) = 0 Написать уравнения касательной и нормали к графику функции у = у(х) в данной точке, если: 6.235. Р = хз — 5х + 4, хо = -1.
6 236 ц = хз + 2хэ — 4х — 3, хо = -2. '6237 у=~/х, хо=4. ,.Л6. р = 16 2х, хо = О. 6.239. у = Риз;, хо = 1. 6.240. 9 = с' л, хо = — 1. 6.241. Написать уравнения касательной и нормали в точке 1+1 3 1 Мо(2, 2) к кривой х =, 9 = —, + —, 1 ф О. 13 ' ' 212 2с' 6.242. Написать уравнения касательных к кривой х =1соэ1, 9 =1э)п1, 1С ( — со, +со), в начале координат и в точке 1 = к/4. 6.243. Написать уравнения касательной и нормали к кривой хз + рз + 2х — 6 = О в точке с орцинатой уо = 3.
6.244. Написать уравнение касательной к кривой ха+уз — 2ху = = О в точке Мо(1, 1). 6.245. Вод каким углом график функции 9 = с*Уз пересекает прямую х = 2? 6.246. В какой точке Мо кривой у = 2хз касательная перпендикулярна к прямой 4х — Зу + 2 = О? 6.247. Найти коэффициенты 5 и с в уравнении параболы у = = х + Ьх + с, касающейся прямой 9 = х в точке Мо(1, 1). 70 Гл. б. Дифференциальное исчисление функций одной переменной х — 4 6.248. Показать, что касательные к гиперболе у = в точх — 2 ках ее пересечения с осями координат параллельны между собой. 6.249. Составить уравнение нормали к графику функции у = =- — ч7х+ 2 в точке пеРесечениЯ с биссектРисой пеРвого кооРдинатного угла, 6.250. Составить уравнение такой нормали к параболе у = х~— — бх+б, которая перпендикулярна к прямой, соединяющей начало координат с вершиной параболы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
