341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Таким образом, д р= )'(х)йх. Аналогично дзр = д(г)'р) = Ун'(х) дхг, дир=д(оы 'у) =Р"'(. )гй ". Найти дифференциалы 2-го порядка указанных функций; 6.303. у = а в(п (Ьх + с). 6.304. у = 3 вшх 6.305. у = —. 6.306. у = ахз + бх + с. 1 6.307. у = . 6.308.
у = ъ71 — хгагсвшх. тт — Зх+ 2 6.309. у = 1п (х + Л + хз). 6.310. у = агсьйп (а зш х). 6.311. Доказать, что второй дифференциал сложной функции г(х) = г(у(х)) выражается формулой г1 г=г„„ду +г„Й у. <~ Для первого дифференциала имеем (см. задачу 6.275) дг = г„'ду, откуда, дифференцируя еще раз (по х, но используя инвариантно сть формы первого дифференциала), получим: дог = д(дг) = д(г,' ду) = г,' д(ду) + ду . д(г,') = г,' дгу + г„", дуг. Этот пример показывает, что дифференцпалгл 2-го порядка (и более высоких порялков) не обладают инварпантностью формы, свойственной дифференциалам 1-го порядка (см.
задачу 6.275). Найти дифференциалы 2-го порядка слсдукзщих неявно заданных функпий у =- у(х): 6.312. ху+ уз = 1. 6.313. (х — а)з + (у — Ь)~ = — Л~. 6.314. хз + уз = у. 6.315. х = у — аз)ну. 33. Теоремы о диффвренцируемьсх функциях.
Формула Тейлора 77 '3 3. Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Тейлора 1. Теоремы а среднем Теорема Ролла. Если функци т'(х) непрерывна на втарезке [а, Ь], диффврвнцирувма при х 6 (а, Ь) и с"(а) = с'(Ь), тв сущевтвуетп по крайней мере одна точка ( 6 (а, Ь) таакая, чтв З'(() = О. Тачки, в которых с'(х) = О, называются етассивнарными тачками функции ) (х). Теорема Лагранжа. Если функция 7'(х) непрервсвна на отрезке [а, Ь] и диффвренцируема ярп х й (а, 6), пш существует па крайней мере одна точка ( е (а, 6) такая, что 7(Ь) — з(а) = з~(() (6 — а) (форясула Лаеранзка). Теорема Коши. Если функции г(х) и д(х) непрврывньс на отрезке [а, 6], диффвренцируемы при т 6 (а, Ь) и д'(х) ф О для всех х 6 (а, Ь), тв еутаеетвуст пв крайней, мере одна точка ( Е (а, Ь) тааклхч чтв ) (6) — с (а) з'(1) (формула Коши).
д(6) — д(а) д'(() 2 6.316. Функция у(х) = имеет на концах отрезка [ — 1, Ц тл равные значения (проверьте!). Ее производная ус(х) равна нулю только в двух точках х = хчтт)О (проверьте!), расположенных за пределами этого отрезка. Каково причина нарушения заключения теоремы Ролла? 6.317. Показать, что функция 2'(тг) = хз — 1 на отрезке [ — 1, Ц удовлетворяет условиям теоремы Ролля.
Найти все стационарные точки этой функции. 6.318. Пусть у(х) = х(х — 1)(х — 2)(х — 3). Доказатгн что все три корня уравнения ) (х) = 0 действительны. 6.319*. Доказать, что уравнение 16х4 — 64х + 31 = 0 не может иметь двух различных действительных корней на интервале (О, 1). 6.320*. Доказать, что уравнение ех ' + х — 2 = О, имеюшее корень х = 1 (проверьте!), не имеет других действительных корней.
6.321*. Доказать, что если функция у(х) непрерывна на отрезке [а, Ь] и дифференцируема на интервале (а, Ь), то функция г"(х) = [у (х) — 2 (а))(6 — а) — (2 (6) — у (а))(х — а) имеет по крайней мере одну стационарную точку на интервале (а, 6). 6.322.
Записав формулу Лагранжа для функции 2'(х) = чтЗхз + + Зх на отрезке [О, Ц,найти на интервале (О, 1) соответствующее значение (. 78 Гл. б. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 6.323. Доказать, что если производнап 1"'(х) тождественно равна нулю на интервале (а, 6), то функция 1'(х) постоянна на этом интервале. 6.324. Доказать, что если 1"(х) > 0 (1'(х) < О) на интервале (аг 6), то фУнкциа 1'(х) монотонно возРастает (монотонно Убывает) на этом интервале. Фунггпил 1(х) удовлетворлет условию Липшипа на интервале (а, 6), если сушествует такое 1< б К, К > О, что ],г (х?) У(х!)] ~ ~К ' ~х? хг[ лля любых хг, х? б (а, 6). 6.325.
Доказать, что если эцр уг(х) = М, то функция 1'(х) на а<к<6 интервале (а, Ь) удовлетворяет условию Липшица с константой К, равной М. 6.326*. Пусть 1'(х) и гр(х) дважды лифференцируемы на интервале (а, 6). Доказать, что если 1' (х) = ьо (х) на (а, 6), то 1(х) и гр(х) отличаются на линейное слагаемое. 6.327. Доказать, что если функция 1(х) удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на [а, 6], то [1(6) — 1'(а)] > т(Ь вЂ” о), где т = 1пу 1 (х). а<к<6 6.328.
Записав формулу Коши для 1(х) = 2хэ+ 5х+ 1 и д(х) = = х? + 4 на отрезке [О, 2], найти значение (. 2. Правило Лопитвля — Бернулли. 1'аскрытне неопределеннос- О сс т е й т и и и — и †. Пусть при х — г а функции 1(х) и гр(х) обе бе ско- О сс печно малые или обе бесконечно большие. Тогда их отношение не определено в точке х = а, и в этом случае говорят, что оно представляет собой О сс неопределенность типа — или соответственно —.
Однако это отношение О сс может иметь предел в точке х = а, конечный или бесконечный. Нахождение этого предела называетсп раскрытием неопределенности. Одним О сс из способов раскрытия неопределенностей типа — и — пвляетсн пра- О сс вила Лопиталп — Бернулли, основанное на следующей теореме, носяшей их имл. Теорема. Пусть в некоторог? окресгпности Гг тонких = а функции г'(х) и чг(х) дифференццруемы всюду, кроме, может бы пь, самой то гки х = а, и пусть 6?'(х) ф О в сг. Если, функции 1(х) и 6?(х) являются одновре.иенно либо бесконечно малыми, либо бесконечно боль- 1'(х) гиимгг при х — г а и при этом сушествует предел отношения ггэг(х) 3 3.
Теоремы о днфференгснруеггых ф якцияж Формула Тейлора 79 их производных при х — ~ о, тпо тогда суи!еетвует также и предел /!х) отпнотеция — синих функций, причем Уз(х) !пп — = 1пп /!х) , /'(х) !1) х -~х ух(Х) х-ха ух'!Х) Правило применимо и в случае, когда а = оо. еэх — 1 Пример 1. Найти 1пп 1т.е, раскрыть неопределенность х-~о агсСб 5х От типа — ) . 0 э Используя формулу !1), получаем; Е2х 2е2х 2 1пп = !пп о агсгд5х * о (1/(1+ 25хэ)) 5 5' поскольку е * -г 1 и -~ 1 при х -+ О.
> 1 + 25хг 0 оо В некоторых случаях раскрытие неопределенностей хина — или— 0 оо может потребовать неоднократного применения правила Лопиталя — Бернулли. !п х Пример 2. Найти 1пп — ' ~т.е. раскрыть неопределенность .з типа — ) . з Применяя дважды формулу (1), получаем: 1п х, 2!пх/х 2, 1пх 2 1/х 1пп ' = 1пп — 1'пп — = — !пп — = О. !> х-х+ х хэ х-и а Зхэ 3 х — ~+хо хэ 3 х-хатха Зхэ На каждом этапе применения правила Лопиталя-Бернулли следует пользоваться упрощающими отношение тоа2дественными преобразованиялги, а также комбинироваж это правило с любыми другими приемами вычисления пределов. Гдх — гйпх г Пример 3.
Найти !пп ~т.е. раскрыть неопределенх-~а хэ От ность типа -). 0) з Используем формулу (1): Се х — ьбп х, (1/ совэ х) — соз х 1, 1 — совэ х !пп = !пп, = — !пп х->о хэ х -~о Зхт 3 х-~о хэ совз х 80 Гл. б. Дифференциальное исчисление фулялий одной переменной Освободим зналгенатель дроби от множителя соя~ х, поскольку он имеет предел 1 лри х ч О. Развернем стоящую в щслптеле разногть кубов и освободил~ числитель от сомножителл 1+ саят+ сояз т,, имс1ощсго лрсдсл 3 при х — > О. После этих упрощений получаем $8 х — ящ х ! — соя х 1пп . = !пп -~о хз т~е тз Применяем снова (1): 18х — я!пх, 1 — соях сйпх 1'пп = !пп = !пп —. г ~о хз *-ча хт ..мо 2х Используя первый замечательный предел, получаем окончательный ответ 1/2, уже не прибегая вновь к правилу Лопиталя — Бернулли.
о. 0 со Раскрыть неопределенности типа — или —: 0 оо 1п соя 2х х — кгсЦ х 6.329. 1!ш 6.330. 1шг— *-чо сйп 2х т..чо ха тт аьч 6.331. 1пп, т ~ п, а ~ О. х — ~а хя ап' а' — Ь* 6.332. 11ш, а ф Ь, с ф а. х- о с' — г)х' 1п я1п ах е" — 1 6.333. !пп 6.334. Гн х-чо !пя!пЬх о щсюпЗх 3гх !псояах 6.335.
1пп 6.336. Пш Я Г гб г-~о !п соя бх е' — е "— 2х л. — 2агс18х 6.337. 1пп, . 6.338. 1ип х-чо х — я!и х сзуг — 1 х — яшх 6.339. 1пп 6.340. 1пп х-~о х — 18х ' г-чо 1п (1 + х) е ~ — Зх — 1 с18 х — 1 6.341. Пш .. 6.342. ! пп х-чо я1п 5х ,ч яш 4х хз — 4хз + 5х — 2 1п.г 6.343. 1пп, .
6.344. !пп, тп ) О. х-ч1 ха — 5хз+ 7х — 3 х-,ео хгл ' !п х 18 (лх/2) 6. 345. 1пп 6.346. 1ш ео 1+ 21пя!пх , — !-о !п(1 †.г) соях 1п(х — 3) 6.347. 1пп т-чз+о 1п (ех — ез) 6.348. 1пп 1п(1 — х) + 18(лх/2) *-~1 — о с!8 лх 3 3. Теоремы о дифферсицирусмых функциях. Фг«рагу«га Тейлора 8! ггх яп (х — 1) соа (х — 1) !нп яп(х — 1) !д — = 1пп =!нп х ! 2 х-«! с!и(ях/2) х ! — (х/2)(1/япз (ях/2)) 2 ,ях 2 = — — 1гп! соз (х — Ц ашз — = — —.
а х — «1 2 л Для вычисления !нп (/(х) — «р(х)), где /(х) и сс(х) — бесконечно х-«а большие прн х — ~ а (раскрытие неопределенности типа оо — оо) «следует р( )!! преобразовать разность к виду /(х) 1 — — /!, затем раскрыть нсопрс/(т) ) ,(х) оо,(х) деленность — типа —. Если 1нп — ф 1, то 1нп (/Г«х) — «р(х)) = /(х) со * — «а /(х) ' х-«а р(х) = оо.
Если же !нп — = 1, то получаем неопределенность типа ос О х-«а /(Х) рассмотренную выше. Пример 5. Найти !Ьп (х — )и~х) (раскрыть неопределенность типа оо — со). с! Имеем: 1п х'! 1нп (х — !и х) =- 1пп х ~1 — — !. ?-«.!-оо ? — «Ч-ос х ) Так как 3!п х (1/х) 1пзх 1нп = 3 1гш х — «!-со 1 х-«-!-со Х !и х (1/х) 1п х 1/х 1 = 6 1'пп — = 6 !нп — = 6 1нп — = О, 1 х-«.ьсо х х-«-!-ас 1 ? — «-гсо х 1п т, 1нп ?-«ч-со х 2 =3 1пп х-«-Ьсо то 1!п! (х — 1п х) =+ос.
г> х — «-!-со Раскрытие неопределенностей типа О оо и со — оо. Для вычисления 1нп /(х)«р(х), где /(х) — бесконечно малая, а чс(х) — босх — «а конечно большая при х -~ а (раскрытие неопределенности типа О со), /(х) следует преобразовать произведение к виду — (нсоп!«сделанность 1/ (х) 01 (х) оо '! типа -г! или к виду (неопределенность типа — ) и далее иссо пользовать правило Лопиталя-Бернулли. Пример 4. Найти !нп вш(х — 1) !а — (раскрыть нсопредслен- 2 ность типа О со). з Имеем: 82 Гл.
б. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Раскрыть неопределенности типа О сс или сс — сс: 11 6.350. 1пп сцПх — — ). х — эе 1 х) /1 х'! / 1 11 6.359. 1ш1 1 — — — ~. 6.360. 1пп ~ — — ) . 2 — ~(,-о 1,1пх 1пх) * о ~,агсс8х х) 1 1 6.361. 1пп †)1 1 2(1 — /х) 3(1 — '/х) / х 6.362. 1пп ~ — ~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
