341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 17
Текст из файла (страница 17)
6.541. г = 5 сов С 1+ 4вгиС 3+ 21с, С Е [О, 2н]. 6.542, г = (в1СС вЂ” 1)1+ с!с~ С 3+ 31с, С Е К. 2. Дифференцирование вектор-функции. Производной вектор-функции а = а(С) по аргументу С называется новак вектор-функция Па О а, а(С + Ы) — а(С) — 1нп — = !пп й пс- о сзС пс- о с3С Если а(С) = (о,(С), о,(С), и.(С)), то йа Сс с!от(С) сСо„(С) Па„.(С) й (, й ' й ' й сСг Если г = г(С) = (х(С), у(С), з(С)), то производная — есть вектор, й направленный по касательной к годографу вектор-функции г(С) в сторону возрастания аргумента С. сСг Если С вЂ” время, то — = ч есть вектор скорости конца вектора г. й Правила дифференцирования вектор-функции (а = = а(С), Ь = Ь(С)). с(с 1) — = О, где с — постоянный вектор.
й сС да 2) — (аа) = о —, где а — постоянный скаляр. й й' с!а сСЬ 3) — (а ~ Ъ) = — ~ —. й й й Йр с)а 4) — (сра) =- — а -1- р —, где ср = ~р(С) — — скалярная функция от С. й й й' 5) †(а, Ь) = †, Ь + а,— б) — [а,Ь]= —,Ь + а,— сС с)а сСр 7) — а(~р(С)) = — —, где со = со(С) — скалярная функция от С. й йр И' с1а'1 6.543. Доказать что а, — ) = 0 если ]а] = сопя!.
ДС 6.544. Дано уравнение движения г = — ЗС1 — 4С3. Определить траессторию и скорость движения. 102 Гл. б. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 6.545. Дано уравнение движения г = ЗН+(41 — 12)1. Определить траекторию и скорость движения. Построить векторы скорости д,вамоментов1=0, 1=1, 1=2, С=З. 6.546. Дано уравнение движения г = 2(Х вЂ” гйп1)1+ 2(1 — сов1)ь Определить траекторию и скорость движения.
Построить векторы скорости для моментов 1 = и/2, 1 = х. 6.547. Найти единичный касательный вектор годографа вектор- функции г = еж1 — (1+ 8)4Узй при 1 = О. 6.548. Найти единичный касательный вектор годографа вектор- функции г = (Р +1)1+1 1 при 1 = — 1. 6.549. Найти производные вектор-функций: а) г = вш1 1+совт1 З+ в1птсовт 1с; б) г = 1сов| 1+ 1вш1 З+ Ис; в) г = (1 + сов 1) 1 + 11 + ей и 1 1с. 6.550. Найти производные вектор-функций: а) г = е'1+ сов 1 1+ (1 + 1)1с в точке (1, 1, 1); б) г = йз1+ (1+ 1)21+ т/Р + Нс при т = — 2. и' 6.551.
Найти — (а, Ь), если от а = Н вЂ” 1 '+ 1з1, Ь = 1+1'+ 121, о 6.552. Найти — [а, Ь], если а = 1+ 11+ 1~1с, Ь = О+1+ 1~1с. от оа 6.553. Найти — если а = и1+ итй + из1с где и = вш1. ос' Если г = г(1) = (т(1), 9(1), в(1)), то овг оч Если 1 — время, та — = — = чв — вектор ускорения конца вектора г.
81т 41 6.554. Найти вторые производные вектор-функций: а) г = сов1.1+ е~й+ (в~+ 1)1с, б) г = Й+1совб З+1вш1 1с при произвольном ~ и при 1 = О. 6.555. Дано уравнение движении: г = 2(1 — гбп1)1+2(1 — сов1)З. Определить ускорение движения. Построить векторы ускорения длн моментов 1 = л/2, 1 = х. 5.
Вскторныс и комплектные ф) опции дсйствит. переменной 103 у — уо х — хо х — хо 1ху 1),, 1у| 11), ч,1,1,П(,, ' где х, у, г — текущно координаты точки касательной. Уравнение нормальной плоскости в той же точке: г(х й! Й (г — хо) — + (у — уо) — ' + (х — со) — = О. й,, йи, й,, Пример 2. Доказать, гто касательная к винтовой линии г = (а соз О и вш С., ЬГ) образует постоянный угол с осью Ож < Найдем вектор, касательный к годографу вектора г: Пг — = ( — азш О исовг, 5). й Отсюда с(1) б 11 (11~ 'Р+Р' т.е. у = сокам С П р и и е р 3.
Написан уравнения касательной и нормальной плоскости к кривой х = Сс — 1, у = 1+ 1, х = Г~ в точке ЛХо(0, 2, 1). <1 Данной точке соответствует значение параметра 1 = 1. Имеем 1х 1у с1с с — =2Π— =1, — =31. й й ' й Подставляя зка юние 1 = 1, получаем г1х =2, ы Иу й, дх 1, — =3. й с Уравнения касательной; х у — 2 2 6.556*. Дано уравнение движения: г = ЗН+ (41 — 1з)3.
Определить ускорение и движения и его тангенциальную со и нормальную ю„составляннние в любой момент 1 и при 1 = О. 2 6.557. дано уравнение движения; г = — 1'1+ — (21 + 1)з123. 2 3 Определить ускорение движения и его тангенпиальную и нормальную составляюшие в лн>бой момент 1 и при 1 = О. 3. Касательная к пространственной кривой и нормальная плоскость. Уравнения касательной к пространственной кривой х = х(г), у = у(1), х = х(1) в точке Лйо(хо, уо, хо), которой соответствует значение параметра 1о имеют вид 104 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Уравнение нормальной плоскости: 2(х — 0) + 1(у — 2) + 3(з — 1) = О, или 2х+ у+ 3з — 5 = 0 с. Для каждой из следующих кривых написать уравнения касательной и уравнение нормальной плоскости в данной точке: 6.558.
х = 4вшг 1, у = 4 в(п1 сов1, х = 2 сонг 1 при 1 = я/4. 1 г 6.559. х = — 1', у = -1з, х = -14 при 1 = 2. 2 ' 3 ' 4 6560. х = асЬ1, у = ав!з1, х = а1 при 1 = О. 6.561. хг+ уг = 10, уз + зг = 25 в точке Мо(1, 3, 4). 6 562 2хг+3уг+хг 9 3хг+уг — хг = О в точке Мо(1, 1 2). 4. Дифференпиальные характеристики плоских кривых. Пусть кривая в плоскости Оху является годографом вектор-функции г = г(в) = = (х(в), у(в)), где в — длина дуги кривой.
Кривизной кривой в точке Мо называется число К= 1нп У и-~ьп Ьэ Здесь ~р — — угол поворота касательной, соответствующий дуге МоМ (рис. 13) данной кривой, а Ьв — длина этой дуги. Величина й = 1/К называется ради() усом кривизны. Кривизна К определяется соотношением дгг К= двг Рнс. 13 Приведем ряд формул для вычисления кривизны кривых: 1) если кривая задана уравнением в явной форме у = г"(х), то уи К= (1 + ~г)з!г й 5. Векторнтлс и комплекгныс функции действит, переменной 105 2) если кривая задана уравнением в неявной форме ') Е(х, р) = О, то ~1т,д ~-,т)зуд 3) если кривая задана параметрическими уравнениями х = х(1), р = уу(1), то х' у' ь ь (Хст .1 рж)3!2 4) если кривая задана в полярных координатах уравнением г = г(Сз), то гт + 2г' — гг" (гг + гж)зуд р(1+у ) рь У=у+ 1+ уу" Эеолкспсой кривой называется линия, описываемая центром кривизны при двидсении точки по кривой.
Формулы для координат центра кривизны определяют параметрические уравнения зволюты. П р им е р 4. Найти уравнение эволюты параболы рз = 2(х + 1). 1 з Имеем 2ру' = 2, т.с. р' = —. После повторного дифференцирования получаем р' + ууь = О, откуда рь = — — = — —. Находим координаты У У 1 ) Здесь кспользуютсл частные проваводкые функции двух перемениых; определение см. в д. 3 'З' 1 гл. 8. Окрржноппью кривизны С,соприкасаюисейся окружностью) кривой в ее точке М называется предельное положение окружности, проведенной через точку М и две другие точки кривой Р и Ц, когда Р -~ М и Я -~ М. Радиус окружности кривизны равен радиусу кривизны в соответствуюгцей точке М, а центр окружности кривизны сценнср кривизны) находится на нормали к кривой, проведенной в точке М в сторону вогнутости кривой. Координаты Х и У центра кривизны равны 106 Гл.
6. Дифференциатьное исчисление функций одной порет иной центра кривизны: у'(1+ у") — ул 1+ у' к=у+ „=у+ у' (1/у)(1 + 1/у') 2 -!/уэ 2' 11+ 1/у з 'У' ' тем самым найдены параметрические уравнения эволюты: Л =-у', 3 2 2 Исключив параметр у, найдем уравнение чволюты в виде 1.2 13 27 Вычислить кривизну данной кривой: 6.563. у = х2 в начале координат и в точке М11, 1). 6.564. х2+ 9у2 = 9 в вершинах эллипса Л(3, О) и В(0, 1). 6.565. х2 — ху + у2 = 1 в точке М(1, 1). 12 6.566. х = 12, у = 1 — — ьз при 1 = 1. 3 1 2 1 3 6.567.
х = — 12, у = — Р в точке М(1/2. 1/3). 2 ' 3 6.568. т = а(1 — соа ьт) в любой точке и при ф =- и. 6.569. г2 = а2 эш 2у при ь2 = и/4. Найти радиусы кривизны (в л1обой точке) данн1их кривых: 2 2 6.570. а) у = з/хд б) — — — = 1.
2 52 6.571. а) х2Уз + у2/з = а2/з; б) т = осовев, у = баю 6.572. х = а(Р— айпи). у = а(1 — сов 1). 6.573. а) гт = а2 соа 2~р; б) г = а~р. 6.574". Веритнной кривой называется такая ее точка, в которой кривизна имеет максимум или минимум. Найти вершину кривой у=е *.
6.575. Найти вершину кривой у = 1пх. З 5. Векторные и комплексные функции дейстпят. переменной 107 Вычислить координаты центров кривизны и написать уравне- ния окружностей кривизны данных кривых в указанных точках: 'лз 6.576. у =, в точке М(0, а). аг+хг 6.577. у = е * в точке М(0, 1). 6.578. у = хе* в точке М( — 1, — 1/е). 6.579. у = з)цх в точке М(к/2, 1). 6.580. х = а(1 — а(ллз), у = а(1 — сов1) в точке М(ка, 2а).
Найти зволюты кривых: 6.581. а) у = хз. 5) хг луг = аг; в) тг!з+ уз!з агуз а + уугаг у2 6.582. х = а 1ц — ~/аг — уг 6583 а=21 у гг 2 5. Дифференциальные характеристики пространственных кривых. Во всякой неособой точке М(т,, у, г) пространственной кривой г = г(л) можно построить три взаимно перпендикулярных вектора: дг Т = — (направляющий вектор касаглельной), дс [дг дгг1 В = ~ —, — ~ (направляющий вектор бинормали), ~дг ллг~ М = [В, Т] (направляющий вектор главкой нормали) или соответ- ствующие им основные единичные векторы: Т В )ч т= —, ~3= —, и= —, ]Т] ' ]В] ' ]ли] ' которые моално вы плодить также по формулало дг Йт(дв т= —, и=, 13=[т,и].
дв ' [дт/дв] ' Трехгранник с вершиной в точке Мо, ребрами которого служат касатель- ная, главная нормаль и бинормаль, называется естественным трех- гранника,м (триэдром) пространственной кривой. Гранями его явля- ются плоскости: соприкасающаяся (проходит через векторы Т и 1л1), нормальнал (проходит через векторы 1К) и В), спрямляющал (проходит через векторы В и Т). Уравнения главной нормали имеют вил хо У Уо г — го лул йГь Х, где х, у, г - — текущие координаты точки главной нормали, Х„Хи, лу,— координаты вектора )ч. 108 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Уравнения бинормали: х-:го у-уо х-го В,, В„В, Уравнение соприкасаюлцейся плоскости: В (х — хо) + Ва(у — уо) + В,(х — хо) = О.
Уравнение спрямляющей плоскости: )У. !х — хо) + Ма!У вЂ” Уо) + Хл(х — хо) = О. г = !1 — а!пС)!+ сов!.,) + !!с Пг — = — соаг. л — а!п1,) + Й, б! сРг — = а!и! 1 — спас,). щ2 При 1 = 0 получим сРг лст с!г Т= — = — л+1с, с!! 1 — 1 0 0 — 1 'и 1 =!+1с, 0 1с 0 1 0 1 М = [В, Т) =- 1 — 1 Следовательно, — !+И ч'2 ~!2 Таккакпри1=0имсемх=1, у=1, а=О,то: у — 1 0 у — 1 1 у 0 -- уравнения касательной; — уравнения главной нормали; 0 0 х — 1 — уравнения бинормали. Пример 5. Найти основные единичные векторы т, и и ~3 кривой х = 1 — япс, у = соей х = ! в точке ЛХ, которой соответствует значение параметра ! = О.
Написать уравнения касательной, главной нормали и бинормали в атой точке. к! Имеем й 5, Векторные и комплексные функции действит. переменной 109 Если пространственная кривая задана как пересечение двух поверх- ностей с уз(х, у, г) = О, С(х, р, х) = О, с1г с('г то удобнее вместо векторов — и — рассматривать векторы ог с(1 й1т = (их, ну, Йх) и срг = (о х, с1ту, п -), причем можно считать одну из переменных х, у, = независимой и ее второй дифференциал равным нулю.
Пример 6. Написать уравнения соприкасающейся, нормальной и спрямляющей плоскостей кривой хт + ут + зз — 6 .2 2+ 2 дхз + Нуе+ уооу+ ~)хе+ го-» = 0 с~ха — Дуз — у с~ту + яхт + г Рг = О. Прих=1, у=1, х=2имеем: 1 дг=--Нх, <Ру=О, 2 Из= — — дх. 2 3 3 8 ду = О, Следовательно, с1г = цх, О, — — с1х), Н~г = ( О, О, — -дх~ . Заме- ним зти векторы векторами, им коллинеарными, (2, О, — 1) и (О, О, — 1), откуда Т = (2, О, — 1), 1с 2 0 — 1 0 0 — 1 1с 0 2 0 =2( 1 — 21с).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
