341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 20
Текст из файла (страница 20)
7. Интегральное ис гисленгге функций одной переменной Р1 и (х) Тогда разложение дроби в сумму простейших имеет вид Я„(х) Поэффициснты Ау~, В~~~ и Сбй в этом разложении определяются путем приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях т у многосьчсна ула(х) и многсчлсна, котоРый полУчаетси в числителе пРавой 1эсти (2) после приведения ес к общему знамснатслго (метод неопределенных коэффициентов). Можно также определять эти коэффициенты, полагая в равенстве (2) или ему эквивалентном х равным подходяще подобранным числам (в первую очередь значениям действительных корней знаменателя Я„(х)). (х+ 2)г П р и м с р 2.
Дробь разложить в сумму простейших. х(х — 1)г З Искомое разложение имеет вид (х + 2)г А В С + + х(х — 1)г х х — 1 (х — 1)г Приводя правую часть к общему знаменателю, получаем тождественное равенство хг + 4х + 4 = А(т — 1)г + Вх(х — 1) + Сх. (3) Приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях х дает систезиу уравнений: А+В=1, — 2А — В+С=4, А=4, откуда получаем А = 4, В = — 3, С = 9. Следовательно, искомое разло- жение имеет вид; хг+4х+4 4 3 9 + х(х — Цг х х — 1 (х — 1)г Можно определить коэффициенты А, В, С другим способом, полагая последовательно в тождестве (3) х = О, х = 1 и, например, х = — 1: прп ;г = О находим .4 = 4, при х = 1 получаем С = 9, а при х = — 1 имеем 1А + 20 — С = 1, т.с.
В = — 3. О) !;„(х) А, А„ +...+ Гг„(х) х — о~ (х — а1)л~ А, В ~х+С н + 1 1 (х — оя)н хг+ргх+о1 В~~ С~ ~ 1 + 1 хг + рьх + оь ,1% +... х — оя В~ ~х+ С~ ~ (хг + рлх + д~ )" В,„х+ С,, ОО ~лб +'''+, г . г (, г+,„. +,„)ы ' $2.И 'цщ а ' ' р Фу«р!29 При решении этого примера лучше всего было бы комбинировать оба способа, т.е. найти А = 4 при х = О, С = 9 при х = 1, а В определить из равенства кожрфициентов при хэ в (3), т.е. из равенства А+В = 1. > Формула (2) показывает, что интегрирование произвольной рациональной дроби сводится к интегрированию простейших дробей следуюпшх четырех типов; А Г А 1) . / г!х=А!п~х — а~+С. х — а / х — о А /' А А 1 2) (/с=2,3,...). г!х= —,, +С.
(х — а)ь У (х — гг)ь Й вЂ” 1 (х — а)ь Ах+6 3), р — 44<0. хг+ +, Метод интегрирования дробей этого типа рассмотрим на примере. х — 1 П р и лг е р 3. Найти 2 ~!х у хэ-~х+! О В рассматриваемом случае дгкэ<риминант квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе, отрицателен: р — 49 = ! — 4 = — 3 < О, т. е.
имеем г дробь третьего типа. Так как (хэ + х + 1)' = 2х + 1, то числитель дроби преобразуем следующим образом; 1 3 1 3, 3 х — 1 = — (2х + 1) — — = — (х + х+ 1)' —— 2 2 2 2 (вто преобразование называется выделением в числителе производной квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе). Поэтому --/ т,— 1 1 /' (х'+х+1)' 3 / дх А.-- / хз -!-х 4- 1 2 / хз -!-х -Ь 1 2 У хэ -~ х -!- 1 3 Г Йх = — !п(х + х+ 1) — — / 2 2! хз+х+1 Оставшийся интеграл находится вьшелснием полного квадрата в ква- дратном трехчлене: г!х /' г!х 4 г(х ха + х+ 1 / (х+ 1/2)э+ 3/4 3 / !э (2(х.! 1/2)/ь/3) 2 /' Н(2(х+1/2)/ь/3) 2 2х+1 ь/3 ./ 1 + (2(х 4- 1/2)/ /3) т/3 Л В результате заданный интеграл равен х — 1 1 2х+ 1 г!х = — 1п(ха +х+ 1) — ьу3агс!б + С, с ха+х+1 2 Л 130 Гл.
7. Интегральное исчисление функций одной переменной 4) Ах+ В рг — 4о < О, )с = 2, 3, ... (хг + рх + д)" Метод интегрирования дробей этого типа рассмотрим также на примере. х+2 П р и м е р 4. Найти с(х. (х'+2х+3 ' а Здесь рг — 4д = 4 — 12 = — 8 < О, т.е. имеелг простейшую дробь четвертого типа. Сначала выделяем в числителе производную квадратного трехчлена: х + 2 / (1/2)(хг + 2х + 3)' + 1 с(х — йх— (хг+2х+3)г / (хг+2х+3)г 2(хг + 2х + 3),/ (хг + 2х + 3)г Для вычисления оставшегося интеграла предварительно приведем его к стандартному виду, вылепил полный квадрат в квалратном трех- члене: с1х / с1х 1 /' с1х (хг + 2х + 3)г / ((х + 1)г + 2) 4 / (1 + ((х + 1)/,/2)~) 1 / д((х+ 1)/ч'2) 1 / с1и 2т/2/ (1+И'+1)/Л)г) 2т/2 / (1+и')' -=(*ьцу г Далее используем метод интегрирования по частям: / 1+ иг — иг / с)и / иг пи (1+из)г / (1+из)г / 1+из / (1+из)г 1 и = агсгпи+ — ! ид ~ г) = агсгби+— 2! 1,1+ иг) 21+ из 1 1 / и --агссби+С = — ( агссби+ + С.
2 2 (т 1+ игу Окончательно получаем: х+2 1 пх = — + (хг + 2х+ З)г 2(хг + 2х+ 3) 1 х+1 1 х+1 4~/2 ч/2 4 хг + 2х+ 3 В общем случае к ) 2 рассмотренный в примере 4 прием позволяет свестн вычисление интеграла / (1+ и ) "' с(и к вычислению интеграла б 2. Интегрирование основных классоо элементарных функций 131 1 А Вх+С Рх+Е + + х(хг + 1)' х хг + ! (гг + 1)г Имеем 1 = А(хг + 1)г + Вхг(хг + 1) + Сх(хг -~- 1) -~- Рхг + Ех, Полагая х = О, находим .! = 1. Приравнивая коэффициенты при оди- наковых степенях х, получаем О = А + В, О = С, О = 2А + В + Р, О = С+В, т.е. С=О, Р= — 1 и В=О.
Следовательно, (( ох / (1 х х х(хг + 1)г / ! х хг + 1 (сг + 1)г/ 1, 1 = 1п)х) — — !и (х + 1) + + С. 2 2(хг + 1) 1 Заметим, что разложение цроби г г на простейшие можно по. (.з+1)г лучить и нс применяя метода неопределенных коэффициентов, а именно: (1+ хг) —: ' х(х' Ч-1) (т.'+1)г х 1 х х(х' + 1)' х(хг + 1)' (1 + х') — х' т(хг + 1) +Цг хг+1 ( г+Цг Найти интегралы 7.159. с(х 2хг — 4х+ 5 хдх 7.161, хг — Зх+ 3 7.158.
хг+ 4х — 5 х г1х 7.160. хг — 5х+ 4 (1 + и ) в ы Аи, т.е. дает рекуррснтный метод вычисления интегралов этого типа. Проиллюстрируем метод интегрирования рациональных дробей в целом на слецуюшем примере. дх Пример 5. Найти , (. г+1р 1 з Пробь, г правильная, ее разложение в сумму простейших х(хг + 1)г дробей имеет вид 132 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной с гх Г 4х — 3 7.162. / 7.163, / г с(х.
'/ — бх / х2 2х+6 хЙх /' 3' дх 7.164.. 7,165. х" +бхг+13 1 32' — 4 3'+3 Йх ( 2хг — 1 7.166.. 7.167. з (х — ЗИт+ 4) у хз — 5хг+ бх 7.168. дх. хз 12 ~ х' + Зхз + Зт' 7,169. ах. хз — 4х ,/ ха+ Зхг+Зх+1 Зхг + 2х — 1 (' 2х — 5 ~.ПВ. 1 . ~.П . |,, Ы (х 1)2(х+ 2) ' ' ' / (х2 5х+ 4)з сгх Г 71х 7.172. / 7.173. х(хг ~ 2)' / х4 7.174' .. 7.175*. (,г+цз ' ц( 2+ .+цг Йх ( хг — х+4 7.176.. 7.177. сгх. (х — а) (х — Ь),/ (х + 1) (х — 2) (х — 3) Йх | 5х — 13 7.178.
хз+8 7.179. / (хг — 5х+ 6)2 сЬ. Гх4+1 с(х 7.180. / 4 дх. 7.181. / хл — 1 / х" + 2хг+1 Найти интегралы, не применяя метода неопределенных коэффициентов: с~х ( сЬ 7.182*., 7.183*. 4 ' х4 + а2хг' ,4 4' Йх дх 7.184.. 7.185*. х4 — 422+ 3 .~ х(хе+ 1)2 дх х7 7.186. х7 + хь ' 7.187*. ах. '1 (х4+ 1Пх'-2) х г 2 х' +х з г 7 188 / сЬ ° 7 189 / д ' / (х + 1)' '/,о+,з 2.
Интегрирование тригонометрических и гиперболических функций. а) Интегралы вида Ып х садо х й:. Если хотя бы одно из чисел тя или я — нечетное положительное целое число, то, отделяя от нечетной степени один сомножитель и выражая с 32. Интегрирование основных классов элементарных функций 133 яш у т яш у г1 — соя-з з 2 г Гзл = 51ПУ!1Х = — !2СОЗУ. Яоь х, Яоя у 4!соя У Г 41сояу Г совах 4,~ 4,~ = — ( ' + 1, Псоях = — — мсоязх+ — !!соя!! У+ С. !> „( О'спят „/ 17'соя У. 3 11 Если же т и и — четные неотрицательные числа, то степени пони,жаются посредством перехода к двойному аргументу с помощью тригонометрических формул: 1 — соя 2у 1 взп х =, сбпусоят. = — я!п2у.
2 ' 2 1 у соз2У соя у = 2 Пример 7. Найти сйп усоззуг1у.. з Имеелн Г яш 2У 1+ соя 2У яш хсоя у.с1у = (яшу.сову) соя у.б:г = / Йу = 4 2 1 Г.з 1 Г.з 1 Г1 — соя4у = — / я!в~2У.!4У+ — ( сйп22У соя2У41т = — у1 !зл+ з!п4у я!и 2у + — ! яш22хдя!п2У, = — ' — ' + +С. С 16,/ 16 64 48 Если т+ и = — 214, й 6 14', т. е. т+ и является целым четным отрицательным числом, то целесообразна использовать подстановки 18 у = 1 иссбх=й Пример 8. Найти язп'1~хсоя '~1~хбл.
1 13 з Так как — — — = — 4, то вычисление интеграла сводится к интегри- 3 3 рованию степеней тангенса: /" !2'У я!п'у' асов-ыу' у Ыу = / 18'у и соя4 у =~ б'' '",, =,( 2 !1У ( 1 3 18 ~ (1+ ~8 х) = 1 !б ~ *!218:4 соз2 у. + 1 т!з т.!1 С т = 3 ! 4уз,т, + 3 ! 1о(з У + С 4 10 помощью формулы яуп х + сояз х = 1 оставшуюся четную степень через 2 , дополнительную функцию, приходим к табличному интегралу. яп1 У.
Пример 6. Найти /, гЬ. „I 1УСОЯ У 2 Имселз: 134 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной Длн вычислении интегралов вида су~ х 1гх, ссВ™ х 1гх, где т = = 2, 3, ..., используются тригонометрические формулы СВ2 х = яес2 х — 1, сц2 х = сояес2 х — 1. Пример 9. Вычислить ссВ~хдх. а Имеем: оса хйх = сяд х(сояес х — 1) дх = =-) Ч*..~ке.-) 1. -**-11ь = ссй~ х — + ссдх + х + С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
