341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 15
Текст из файла (страница 15)
1) Пусть функции у ( г) дпффгрснцирусма в некоторой окрсс <- ности (х<, — б, хо+а) критической то п<и .со, за псклкл<спиел<, быть может, самой атой точки. Если при атом в интервалах (ха — б, ха) и <хо, хо+6) производная у'(<с) ил<ест противоположныг знаки, то ха — топ<а экстремума, причем. если у'(х) > 0 прн:г, Е (то — б, ха) и <'(т) < О при х Е (хо, эа + б), то хо — точка максимума, а осли Г<(х) < 0 прп х Е (хо — 6, хо) и <" (х) > 0 прп х Е (хо, то + б), то э:а точка минимума. Если жс э"'(х) при х Е (хо — б, хо + б), х ф хо, сохрзннгт знак, то точка ха не является точкой экстремума.
2) Пусть функция у (х) дважды диффсрснцирусма в критической точке го и в нскоторой ее окрестности. Е<лц <"п(то) < О, то га — точка максимума функции у(.с), если )п(ха) > О, то .го - — точка минимума. Если жс <"п(ха) = О, то трсбуютсн дополнительные исслсдованпя. П р и м е р 1. Найти интервалы монотонности и точки зкстрсл<ума (х — 1( функцци у(х) = хт <3 Находим производную: 88 Гд. 6. Дифг)гсрсцциальное исчиспение фуякций одной переменной на пнтг реалах (О, 1) и (2, +со), в точке хп — — 2 достигает максимума (у(2) = 1/4), а в точке хг — — 1 — минимума (г"(1) = О). Полученные результаты удобно свести в следующую таблицу: Таблица 4.1 Заметим, что в рассматриваемом прилгере первое достаточное условие позволяет определить характер кагадой из критических точек данной г(гундлив. В то дге время второе достаточное условие неприменимо в точке хг, так как в этой точке не существует первая пропзводная.
С 6.401*. Доказать следующее обобщение второго достаточного условия экстремума. Пусть хо — критическая точка функции 2 (х), и первая из не равных нулю производных этой функции в точке хо имеет порядок гс. Коли 1с — четное число, то то является точкой экстремума, причем точкой максимума, сели у~в)(хо) < О, и точкой минимума, если 2'(")(хо) ) О. Если ьче 1' — нечетное число, то экстремума в точко хо нет. 6.402. Исслсловать на экстремум в точке хо функцию )'(х) = = (х — хо) 'гр(х), где Й Е 1"( и дг(х) непрерывна в точке хо, причем р(::,) у'= о. 6.403*. Пусть гу .г ~е г~, х~О, (О, х=О, д() 0 =О хе гд, х~О, Дгдгазать, что фунгщия 2(х) имеет в точке хо = 0 минимум, а фуню[ия д(х) не имеет в точас хо экстремума, хотя у( 1(0) = д1 1(0) = О, Ус б И. Для указанных функций найти интервалы возрастания и убывания и точки экстремума: 6.404.
у = ХЛ- хз. х 6.405. у = . 6.406. у = —. х" 1пх 6.407. у = х — 2 зш х. 6.408. у =- х — 2 1п х. з 4. Иссзссдование функций и ггостроеяие графиков 6.409. у = 1пх — агсЦх. 6.410. у = ез сов х. 6.411. у = х". 6.412. у =- с)гз х + 1. Нвибвльисее (наиьченииее) значение непрерывной функции /(х) ца данном отрезке [а, 6) достигается или в критических точках, пвн нн концах этого отрезка.
Определить наибольшее И и наименьшее гп значсшгш следующих функций на указанных отрезках (а если отрезок нг. ую зяц, то во всей области определения): 6.413. у = — Зхл+бхг; [ — 2, 2[. 6.414. у =:г+ 2х/х; [О, 4). х — 1 1 — х+х г 6.415. у =; [О, 4). 6.416. у =,; [О, 1]. х+1' ' ' 1+х — тг' 6417 у =,з/х+),згх 1 [О Ц 1 — х 6.418. у = агссб; [О, Ц. 1+х х — 1 .г — зз г 6 419 у = 6 420 у = хе * гг г+ 1' Доказать следунзщие неравенства .г 6.422.
сов х > 1 — —, х у': О. 2' 6.421*. е' > 1 + х, х ф 0 ,х + „—.с г 6.423. — > 1 + —, х ф О. 2 2' 6.424. а)их + 16 х > 2х, х Е (О, х/2). 6.425. Два тела движутся с постоянными скоростями сй м/с и ог м/с. Движение происходит по двум прямым, образующим угол зг/2, в направлении к вершине этого угла, от которой в начале движения первое тело находилось на расстоянии ам, а второе — на расстоянии б м.
Через сколько секунд после начала движения расстояние между телами будет наименьшим? л В 6.426. Для доставки продук- 500 ки ции завода Ж в город А (рис. 6) строится шоссе ИР, соединяю- Рпс. 6 щее завод с железной дорогой АРз, проходящей через город А. Стоимость перевозок по шоссе вдвое больше, чем по железной дороге. К какому пункту Р нужно провести шоссе, чтобы общая стоимость перевозок продукции заводя И в город А по шоссе и по железной дороге была наименьшей! '7 90 Гл.
6. Дис)н)нрснцинлынт нгна ленин функций однон турстсеннои 6.427. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом (рис. 7). Задан периметр р этой фигуры. При каких размерах х и 9 окно будет пропускать наибольшее количество света? 6.428. Из трех досок одинаковой ширины сколачивас*.тся желоб для подачи воды. При каком угле сг наклона боковых стенок к днищу желоба площадь поперечного сечения желоба будет наибольшей? 6.429. В треугольник с основанием а и высотой й вписан прямоугольник, основание которого лежит на основании треугольника, а две вершины — нн боковых сторонах. Найти наибольшую плошадь Рнс.
7 вписанного прямоугольника. 6.430. Периметр осевого сечения цилиндра равен ба. Найти наибольший обьем такого цилиндра. 6.431. Цилиндр вписан в конус с высотой й н радиусом основания г. Найти наибольший объем вписанного цилиндра.
6.432. Найти наименьший объем конуса, описанного около шара радиуса г. 6.433. Найти наибольший объем конуса при заданной длине 1 его образующей. 6.434. Определить наибольшую площадь прямоугольника, вписанного в круг радиуса г. 6.436. На параболе р = хэ найти точку М, наименее удаленную от прямой 9 = 2х — 4. 6.436.
В полукруг радиуса 11 вписан прямоугольник с наибольшей площадью. Определить его основание х и высоту у. 6.437. Отрезок длины а разделить на две части так, чтобы сумма площадей квадратов, построенных на этих частях, была и С наименьшей. 6.438. Коническая воронка, радиус основания которой Л, а высота 11, наполнена водой. В воронку погружается шар. Каким должен быть радиус шара г, чтобы объем воды, вытесненный из воронки погруженной частью шара, был наибольшим? 6.439.
Определить наименьшую высоту й =)ОВ) двери вертикальной башни АВСВ, чтобы через,эту л дверь в башню моокпо было внести жесткий стер- рнс. 3 жень Л1% длины 1, конец которого М скользит вдоль горизонтальной прямой АВ. П(ирина башни )ЛВ~ = с) ( 1 (рис. 8).
2. Направление выпуклости. Тачки перегиба. График дпффсренцирусмой функции 9 = 1(х) называется оынуклыи вниз (илн воэндтыи вверх) на интервале (а, Ь), если дуга кривой на этом промежутке расно- Э 4. Исследование функций и построение графиков 91 ложена выше касательной, проведенной к графику функции у = у(х) в любой точке х б (а, 6).
Если же на интервале (а, 6) всякая касательная располагается выше дуги кривой, то график дифференцируемой функции на этом интервале называется аьтуклым вверх (или вогнутым вниз) (на рис. 9 график функции у = у(х) является выпуклым вниз на интервале (а, хо) и выпуклым вверх на интервале (хо, Ь)). Если функция дважды дифференцируема на (а, 6) и ув(х) ) 0 (уп(х) ( 0), то ее график является выпуклым вниз (вверх) на этом интервале. В простейших случаях область определения функции у(х) моа но разбить на конечное число интервалов с постоянным направлением выпуклости. Каждый из этих интервалов ограничен точками, в которых Рис.
9 у"(х) = О, либо ув(х) не существует. Точка (хо, у(хо)), в которой направление выпуклости графика функции меняется на противоположное, называется точкой перегиба (см. рис. 9). Достаточное условие точки перегиба. Пусть функция у(х) дважды дифференцируема в некоторой окрестности Уо(хо) точки хо, в которой (в(хо) = 0 или Ув(хо) нс существует. Если при этом в интервалах (хо — б, хо) и (хо, хо+ 6) производная у'в(х) имеет противоположные знаки, то хо — точка перегиба. Пример 2. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика )х — Ц функции у = г <1 Находим вторую производную: в Ђ”х б (-со, 0) 0 (О, 1), 2(3 — х) 2(х — 3) х б (1, +оо).
Следовательно, критическими точками первой производной являются точки х1 —— О, хт = 1, хэ = 3. При этом в точках х| и хт вторая производная не существует (в частности, у" (1) = 4, а Д'(1) = — 4), а в точке хэ она равна нулю. 92 Нл. б. Дифференциальное исчисление функций одной персмеяяои Получаем четыре интервала выпуклости: (-сю, 0), (О, 1), (1, 3), (3, +ос). Исследуя знак второй производной в каждом из этих интервалов, выводим, гго график функции является выпуклым вниз на интервалах ( — со, 0), (О, 1), (3, +ос) и выпуклым вверх на интервале (1, 3).
Следовательно, точки ха и ха являются точками перегиба графика функции, а х1 не является. Полученные результаты удобно свести в следующую таблицу: Таблица 4.2 Найти интервалы выпуклости графика функции 0 = ) (х), точки перегиба и угловыс коэффициенты й касательных в точках перегиба: 6.440. 1у = хт+ 7х + 1.
р — х4 + бхз аааа е =,'1,-аГ ~-а. а.иа. а =,*Хт — 4,:Ч. 6.444. у = 44 +!) '- '/Г -т) ЯА45. у = -';1. 6.446. у = х 1п ~х(. 6.447. ц = ха 1пх+ 1. 6.448. При каких значениях а и Ь тока (1, 3) является точкой перегиба кривой у = ахз + Ьх~? 6.449. При каком выборе параметра А привал ееролщностп Ь лава у= — е х, Ь>0, а/и имеет точки перегиба с абсциссами х = хб? х+1 6.450. Показать, что кривая у = ', имеет три точки пере- х~+1 гиба, лежащие на одной прямой. 6.451".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
