341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 19
Текст из файла (страница 19)
сов (а+ т) сов(а — х) + яп(а+ т) яп (а — т). 1 з' 7.12. 1 — Зяп22хсов22х. Отыскание неопределенного интеграла с помошью таблицы основных интегралов и тождественных преобразований называют непосредственным интегрированием. Пх Примср 1. Вычислить / /з з=/2 2=/2' Пх /' Пх / 1 — х+хе и- — хз 2' хз11 — хз) У хз(1 — хз) Г4х 7 Пх 1 1 1+х =/ — +/ = — — + — 1п +С.
с ,/ хз / 1 — хз х 2 1 — х Используя таблицу основных интегралов, найти следув>пгие интегралы: 7.15. Зх + 2т+ — ) Пх ,,2 х) 7.17. ьггох ~Ь. з Пт 7.23. 2'(1+ Зхз 2 ') Йх Г 2х+3 7.16. / г)х. х~ (ьуа+ зух) х 7.22. 2*с" г)х. 7.24. (2х+ Зсовх) дх. 118 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной 3 — 2с18гх 7.26. 2 г)х ~ 2 г совг х 2 Х 7.28. тйп — дх. 2 '2 — вшх 7.26., Пх.
в)п х сов 2х 7.27., 2 ~х. совг тв(пгх 7.29*. а) 182 х гЬ; б) 1)з~ х г(х. их 7.30.... 7.31. (агссйп х + агссов х) сЬ. .т сов2х+ипат х хлг дх т.зг. | ( Пг — — ° -'1 зж. т.зз. 1 2 ' 2) / хг+4 глх /' 44х 7. 34. г .2' 7.35. дх2 — 3- ъlхг+3 Г (1+ х)' тт 4 9 ,/ х(1+ хг) 7.38. (х+ а)(х+ 6) Пх. 7.39. (а У~ + хИз) г)х. ' совг х+ Зсовх — 2 7.40.
тЬ. совг.т. 7.41. а) с18~хг(х; б) сл(л~хг)х. 7.42... 7.43. г(х. 2. Метод замены переменной. Существуют следующие два варианта этого лтетода. а) Метод подведения под знак дифференциала. Пусть требуется вычислить интеграл | г(х) дх. Предположим, что существуют дифферснцируемап функция и = лг(х) и функция д(тз) такие, что подынтсгральное выражение г(х) Нх может быть записано в виде у(х) тгх = д(~о(х))ттг (х) т4х = д(и) сЬз У(х) тЬ = / д(зг(х)) <р (х) тгх = / д(и) с1и и=тг(з) (указанное гтреобразованис называется подведением и = дт(х) под знак дифференциала). Тогда 3 1. Основные методы вычнглсннл неопределенного интеграла 11й те .е, вычисление интеграла 11х) Пг; сводится к вычислению интеграла Г д(лл) г1лл (ллоторый ллогнет оказаться процлл. исходного) и послсдуюгцей полстановвс п = у(х).
Пример 2. Вычислить интеграл агпзхсоахг1х. влпг х сов т, Пх = алпз т, л11а1ллх) = гл Бллл х 4 + С = — + С. в=ив х 2х-ь1 Пример 3. Вычислить интеграл 1 Нх. / хг+ а Имеем: 2х+ 1 У л)(хг+х — 3) Г ди ллх = хг+х-3 / тг+т.-З и =1п~ ~) ., +С=1,;г+т — 3)+С с, Операция подведения функции Зг(х) пол знак дифференциала эквивалентна замене переменной х на новунл пе1н'.мснную и == <р(х).
Нх Пример 4. Вычислить интеграл 1 —. ' У тлллЗ:л,+1)г' О Произведем замену переменной по формуле лл = Зт.+ 1. Тогда л1н = 3 л1х, т. е. 1 Йх = — л1лл 3 / —, = иОг~, ~,+С = Ях+ 1+ С. / л*!лл ЗллГзх+ 1)г 3,/ иг!3 "=-зь ы Выполненное преобразование зквивалентно подведению под знак диффе- ренциала функции и = Зх + 1, с 120 1 л. 7. Интегравьное исчисление функций одной перемене Вычислить интегралы с помощью полхолящей замены: 7.44. Л + х Их. 7.46.
сЬ х яЬ х 4х. 7.48. х1п х яесг х 7.50. с(х. а — бг8х 7. 52. с18 х г1х. 7.54. сов (ах + б) г1х 7.56. вш т/х т/х с1х 7.58. вЬг Зх 7.60. х 5 ' с1х. е — аи 7.62., г1х. , +е-гки с1х 7.64. ,/0хг ах 7. 68. аг + Ьгх 7.70. сЬ х яЬ х дх. 7.72. 18 х г1хь 1дг. 7.74. / —, г1х. :гг 7.45. (3 — 4 я)их)'1~ соя х г(х. Г яесг х 7.47. | 4 дх. ' | 164х 7.51.
соя (х| ь/2) ~1х. 2 — 3 яш (х/ьГ2) 7.53. З~' сЬ. 7.55. я)п (1п х) —. х 7.57. сов (х — л/4) Йх 7.63. ~/5 — Зхг в1п т дх 7.65. ,г'г*тг' х г1х 7.67. ~/х4+ 1 Г вшах 7.69. / дх. ./ сова ах 7.73. с1Ь 4х г1х. 7.75. с1'(хг+ Ц' 122 Гл, 7. Интсгрллаьнос всчислепии функций одной перслюлной б) Метод подстановки.
Пусть требуетсп вычислить интеграл / 1(т) их, где функцин у(х) определена на некотором множестве Х. Ввсдом новую переменную и формулой х= р(х): Гг-лХ, где функция р(и) диффсренцирусма на некотором множестве У и осуществляет взаимно однозначное отображение И на Х, т,с. имеет обратную и = р '(х): Х - И. Подставив х = р(и) в неводное подынтсгральнос выражение, получасы у(х) Пх = г" (<р(и)),р'(и) Пи = д(о) Йи, Палее., справедливо равенство Дх) их = / 1(р(и))~р'(и) ии~ =- / д(и) г(и~ т.
с. вычисление интеграла / Д(х) г(х сводится к вычислению интеграла д(и) Пи (который может оказатьсв проще исходного) и последующей подстановке и = ~р '(:с). 1+и П рилиср 5. Вычислить интеграл / их. ,/ 1+;ух з В рассматриваемом случае область определения подынтегральной функции 1 = (О, +со). Произведем подстановку х = р(и) = и, и С (О, +ос).
(1 + соз 2х)з 7.105. — г(х. сов 2х ~ т вш 2Х 7.107. — Пх. Б~ л'' дх 7.109. с~П ьгЗХ 7.1П. 18д (их + б) г(х. 7.113. ев"' х 18 х всс х глхл а)п 2х л!06. ) 3,... г(х 7.108*. а!п х соз х 7.110. 1)л ах г(х. 7.112. Хд сЦ (хз — 3) с(х. '1. Огновныс методы вычисленкл неопределенного интеграла 123 Тогда Нх = 2и 4и, и = у ' (х) = ~(х, откуда | 1+х Г из+и Г . Г йп — с)х = 2/ Ии = 2 ( (ит — и+ 2) с1и — 4 | 1+ь/х / и+1 / ,/ и+1 — ° ~.) — а.(к-~ С ~с~ з ~,3 2 ь= х = 2 -хзУ2 — — х+2х'12 — 4)п(чГх +1)+С, С ~,3 2 Применяя указанные подстановки, найти интегралы: 7.114. /, х = (1 — Р)1!з 'у *Л:" /' дх 2 7.115.
/, х = —. хту4 х2' 2 7.116. (, х=1. х +,/х Г ртт 7.П7. / с)х, х = )п1. ех+1 Применяя подходящие подстановки, найти интегралы: /' ез* 7.118. х(5х — 1) га ях. 7.119. I с)х. ./ ьу1 — е' Г х+2 х 7.120. / сЬ. 7.121. /, с)х. /,Й+1+1 ' ./ (3- )' Йх /' ох 7.122.. 7.123. ~/3+ е* У х~/х~ + 1 3. Метод интегрирования по частям.
Если и(х) и о(х) — дифференцируемые функции, то справедлива следующая формула интегрирования по частялс и(х)и'(х)ох = и(х)о(х) — и(х)и'(х)ох, или в краткой записи (2) ипо = ис — о пи. Эта формула используется в тех случаях, когда подынтегральное выражение Дх) Их можно так представить в виде и Но, что стоящий в правой части (2) интеграл при надлежащем выборе выражений и и Й~ может !24 Гл. 7. Интегрцтьное исчисление функций одной переменной оказаться проша исходного интеграла. При атом за и удобно принимать мноаяцтельь который упрощается при дифференцировании.
Например, если под знаком интеграла стоит произведение многочлсна на тригонометрическую или показательную функцию, то к и следует отнести многочлсн, а оставшееся выражение —. к йщ При ятом формула (2) может применяться неоднократно. Пример 6. Найти х" сояхйх. з Полагаем и = хт и йи = соя х с1х. Тогда с1и = 2х йх и е = соя т. йх, =- = яшх (постоянную С здесь полагаем равной нулю, т.е. в качестве с берем одну из первообразных). По формуле (2) имеем ~~ снях йх = хз гбпх — я~ 2хяшхйх, К стоящему справа интегралу снова применяем формулу интегрирования по частям, причем к и снова относига многочлен (т.е.
2т). Имеем; и = = 2х, йо = гбпх йх. Отсюда йи = 2йх и о = яшхйх = — соях. Применяя формулу (2), получаем окончательно: Ь = .' Ю„. — (-Ьь„г — ~(- ° г*)2,Ь) = 3 х =- х'яшх+ 2хсоях — 2сбп:с+ С. Если подьпггегральная функция содержит сомножителем логарифмическую или обратную тригонометрическую функции, то их следует принимать за и, так как в результате дпфференцированил зги функпии упрощаются. П р и м с р 7.
Найти / !п х йх. йх а Полагаем и = 1пх, йн = йх. Тогда йи = — и е = / йх = х. Подставив в формулу (2), находим /.= у йх 1и х йх = .т 1п х — йг х — = х !п х — х + С. Иногда после двукратного применешш формулы интегрирования по частям приходим в правой части к выражению, содержащему исходный интеграл, т.е. получаем уравнение с искомым интегралом в качестве неизвестного. 1. Основные методы вычисления неопределенного инте рал г а 125 Пример 8. Найти / еа*яп бтрах.
1 .д Полагаем и = е"*, Ию = яп Ьх дх. Тогда йи = ое" йх, и = —, — сов 6х. Подставив в (2), имеем еах ат Ьх 4х = — -е сов Ьх + — е ' сов бх Их. 1 „, ах ь/ Теперь полагаем и = е'*, дю = соаЬхйх. Тогда ди = аеахНх, и = 1 = — япЬх и Ь =-г 1 е 'аш х х= — -е Ь г1 = — -е *совЬх+ — ( — 31пбх — — ( е *вгпЬхйх ь(,ь ь,/ В итоге получено уравнение опаоснтслыао псиавсстпого интеграла еах яп Ьхдх. Решал вто уравнение, находим с от' г „, „,аяпЬх — ЬсовЬх 1+ — ) / еах япЬхдх = еах + Сы или еах(ояпбх — ЬсовЬх) еах яп Ьх дх = о2+62 +С.
с. Применяя формулу интегрирования по частям, найти инте- гралы: 7.124. агссоа х Пх. 7.128. х )п х Пх. 7.128. (х~ — х + 1) 1п х Пх. 7.130. х е пх. 7 132а хде х Дх 7.134. т атеей х с(х. 7.136. еа* соа Ьх дх. 7.125. х сов х Их. Г 1пх з 7.129. х~ яп х с(х. 7.131. х е* Йх. Г 1п~х 7.133. / — с(х. / хг Г хяпт, 3 ,/ соа3 " 12б Гл. 7. Интегральное исчисление фуяьций одной переменной !.!38. ) ! о-! Д+*)и.*. !.!39.
) * ! ! 7.140. хЗх г)х. 7.141. (х — 2х + 3) соз х г1х. 7.142. 7.143. соз ()п х) г!х. / созг х Применяя различныс методы, найти интегралы: 7.144*. еч х дх 7.145. х(агсЦ х) ох. , 2 7.146. ох. 7.147. х сааб~ х ох. хг 2 7.149*. с!х. 7.150**. Вывести репуррентную формулу для интеграла ала 1 дх . Найти 1г и Хз. ( (Хг + аг)п Найти интегралы; х2 !.!5!". ) !l* -! .! .. !.!5!"'. ! ог 2 1 )п()пх) 7.153. х агсзш х Нх. 7.154.
/ г)х. х 1 агссйп ~/х 7.155. хг атеей:г дх. 7.156. ~ ох. ъ!1 — х !.!5!'. / !/ 3 2. Интегрирование основных классов элементарных функций 1. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование произ- вольной рациональной дроби мигх тельными коэффициентами в обшем случае производится следуюшим Р (х) Е слит п, т...
>, т.е. исходная дробь неправильная, то следует Я„(х) предварительно выделить в этой дроби целую чася!ь, т.е. представить 2. Инжгпрированис основных классон эломентарньгх функций 127 ее в виде где г«г,„ „(х) и гсг,(х) — многочлены степеней т — и > 0 и т соответ- Л„(х) отвеина, п1ничем т ( и, т.е. дробь " ирипияьная. Я„(х) Выделение целой части в дроби '" производится делением чи- -(х) слителя на знаменатель «уголком». Пример 1.
Выделить целую часть дроби Р (х) ( ' + 1)' Ц„(х) х(хв — 2х + 1) з Дробь неправильная, так как тя = 6 > и = 3. Для выделения целой части записываем числитель и знаменатель в каноническом виде: (х +1) =ха+Зх +Зхв+1, х(хт — 2х + 1) = хз — 2х~ + х, и далее, выполння деление «уголком» первого многочлена на второй, получаем в частном х + 2х~ + бх + 10, а в остатке 17х — 10х + 1. Следовательно, (хт + 1)з з .
т 17х~ — 10х + 1 = хз + 2х~ + бх + 10+— х(х' — 2х+ 1) хз — 2хт + х и выделение целой части закончено. Г Как показывает формула (1), операция выделения целой части сводглт интегрирование произвольной рациональной дроби к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби. Для того чтобы проинтегрировать правильную рациональную дробь Р„„(х) , ги ( и, следует предварительно разложить ее в суь«»«у так па«з„(х)' зываемых простойшпх дробей.
Это разложение осуществляется следуюшим образом. Пусть знаменатель Я„(х) = а„х" +... + о «х + ао имеет действительные корни ог, ..., аг кратностей аг, ..., аг и комплексно- сопряженные пары корней ггг, »З„, гг», гз» кратностей 1»,..., 1» соответственно (аг+...+а«+211+...+21» = и), т. е. справедливо разложение ян(х) = а„(х — аг)"... (т — аг)" (хв -, 'р,х + ~уг)"... (хе + р»х + щ)г», где х + р„.гг т «Г„— —; — Гг„)1» - 3,), н = 1...., т. ! 28 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
