341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 22
Текст из файла (страница 22)
14 ь пределах от а до Ь и обозначается символом Дх) дх. Таким образом, а ь о У(х) дх = 1нп ~ ~~(Яй,хь. "ь=! Непрерывная на отрезке [о, 6] функция г"(х) интсгрируема на этом отрезке. Геометрически определенный интеграл (Ц представляет собой алгебраическую сумму площадей фигур, ограниченных графиком функции у = ((х), осью Ох и прямыми х = о и х = Ь, причем плошади, расположенные выше оси Ох, входят в зту сумму со знаком плюс, а площади, расположенные ниже оси Ох, — со знаком минус.
2 П р и м ср 1. Вычислить х' дх, рассматривая определенный инте- 1 грал как предел интегральных сумм. з 4. Определенный интеграл н методы его вычисления 145 2 1-й способ. Разделим отрезок интегрирования [1, 2[ на п равных 1 частей длины Ьх = —. Точки деления: и 1 2 и — 1 хо=1, х1=1+ —, х2=1+ — ..
~ хи 1=1+ -, хи=2. п' п' и В качестве точек бь выберем, например, левые концы каждого частичного отрезка. Тогда 1т у(хо) = 1, 2 (х1) = 1+ — ) г 2 Л.,)= 1+-',, Л*.,)= 1+п Следовательно, ~и — 1+ 1+ + 1+ + ° + 1+ 1 = — з(п + (и+1) + (и+ 2) +... + (2п — 1) ) ~ и ~ии2 ~1,~~ ~2 Применяя формулу суммы квадратов целых чисел п(п + 1) (2т1 + 1) 6 Ь=1 находим 1 2'(2п — 1)2п(4п — 1) (п — 1)п(2п — 1) 14п' — 9п+ 1 5и — — [ пз ~, 6 6 бпт откуда 2 14п2 — 9п+ 1 7 х2 12х = Ипз и-~оз 6П2 3' 2-й способ.
Разобьем отрезок [1, 2[ на части так, чтобы абсциссы тачек деления образовали геометрическую прогрессию: 2 2 и — 1 и хо=1, х1=9, х =д, ..., хи 1=о, хи=у =2, 146 Гесс 7. Интегральное ис'гнсленне функций одной переменной где Ч = 211". Точку О1. выберем на левом конце й-го отрезка.
Тогда Дхо) = 1, 2'(х1) = Ч, У(хг) = Ч, ...,,((хее 1) = Ч с.'сх! — — Ч вЂ” 1, Ьхг — — Ч2 — Ч = Ч(Ч вЂ” 1), Саха = Чг(Ч вЂ” 1), ..., Ахи = Чи '(Ч вЂ” 1), Л„ = 1 .(Ч вЂ” 1) + Ч (Ч вЂ” 1) + Ч (Ч вЂ” 1) + .. + Ч !и 1(Ч вЂ” 1) = зи 1 зи = (Ч вЂ” 1П1-ЬЧ'+Ч'+" +Ч"и ") = (Ч вЂ” 1), 22 — 1 7 227и + 217и .! 1 227и ! 217и Следовательно, 2 7 7 х с)х = !11п с -е 22уи -Ь 211и+ 1 3 1 Вычислить определенныс интегралы, рассматривая их как пределы соответствующих интегральных сумм: 5 еее'2 7.320*. (1 + х) с(х.
7.321'. соа х с(х. о о 1О з ! с(х 7.322*. е* с(х. 7.323'. )1 —. '/ .г о 1 2. Вычисление простейших интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница. Если г (х) — одна из первообразных непрерывной на (а, Ь) функции !(х), то справедлива следующая форьсула Ньютона— Лейбница: у(х) с1х =- Е(х) ~ = Р(б) — г'(а). 11х Пример 2. Вычислить ~— ,/ х!пх е З Имеем = !п ! !п х! ~ ' =- 1ц (!п е ) — 1п (!и е) = !в 2 - 0,69. 11х 1 сс(1пх), .
2 х1пх !их е з е4. ОнРелеаенный интегРал и иотоды его вычислении Испольаугс формулу Ньютона — Лейбница, вычислить интегралы: 7.324. х11 с)х. -1 2 7.326. (Зх~ — 2х + 1) с)х 1 Г2+бзгх 7.328. / с)х. .з 1 7.330. аш х с1х. яГ2 2 7.332. е* с1х. 1 Г ссх 7.334. ! 2 ! 7.336. о я!3 7.338. 184 х с1х. яуо 1 ссх 7.340.
4х2 + 4х + 51 ' о Гхз+3 7.342. / дх. ./ х — 2 з и есу* 7.344. / ссх. 1 7.325. 1 7.327. (~!х+ Фхз) дх. о 9 7 329 ъГх — 1 с)х. г о с1х 7.331. ~ ,/ соа2 х — ггу4 з 7.333. 2* сГх. о 2 7.335. 1 гг! 4 7.337. аш2 гр с1гр. о 2 7.339. 9112 х с1х. о 1 сЬ. 7.341. '..г~ 2. ь 2 о х+1 7.343. с1х. — 2 е соа (!их) 7.345. дх. х 1 148 Гл. 7. Интег альное исчисление функций одной переменной и/2 С помощью определенных интегралон найти пределы сумм: п и и 7.353"*.
1пп + +... + «г пг+12 пг+22 пг+пг 7.354. 1пп — (1 + соа — + соз 2 — +... + соа (п — 1) — 1. н-«ее 2п «, 2п 2п 2п~ пч1 7.355. 1пп — ~/1+ — + ~/1+ — +... + ~/1+— ' ««-«ооп~ и и "'' ~/' п/' Вычислить площади фигур, ограниченных линиями: 2 7356.у= — хг, у=О, х=2, х=З.
.«/х, у=О, х=1, х=8. 6 — х — 2х, у=х+2. 2 2 —, у = 2ч/х. 7.357. у = 7.358. у = 7,359. у = «г 7360.у=соах, у=О, х= — —, х= — —. у=О, х=1, х=2. -х е 2 у х 3 —, х х' 7.361. у = 7.362. у = 7.363. у = =О, х=2, х=З. е 4/х 7.346. х(1+!п х) '1 «/з 7.348. сй Зх Йх. о г 7.350. «2««и — 2* 3/4 7.352. 1 х +Зх «гх. +ц( г+ц О 7.347. соаз «т да.
о з Ыу 7.349. у2 2у 8' г Г 2х — 1 7.351. / Нх. ,/ 2х+ 1 о 150 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной поременной Число ь 1(с) = / у(х) дх 1 Г называется средним значением функции у(х) на отрезке [а, 6]. 7) Если у(х) непрерывна, а д(х) интегрируема на [а, 6] и д(т) ~ О, то существует такая точка с б (а, 6), что справедливо равенство ь ь у(х)д(х) дх = 1'(с) д(х) дх л л (обобщенная теорема о среднем). 8) Если уз(х) н дз(х) ннтегрируемы на [а, 6], то (н е р а в е н с т в о 11 о ш и — Б у н я к о в с к о г о) .
9) Интегрирование четных и нечетных функций в симметрич- и а ных пределах. Если функция у'(х) четная, то у'(х) дх = 2 у(х) дх. Если функция 1(х) нечетная, то [ )'(х) дх = О. — и 10) Если функция у'(х) непрерывна на отреаке [а, 6], то инглеерал с переменным верхним пределом Ф(х) = / у"(1) дг л является первообразнон для функпии у (х), т. е.
л Ф'(х) = (/,г"(ь) дг) = у(х), х б [а, 6]. 11) Если функции ))з(х) и )))(х) дифференцируемы в точке х й (а, Ь) и 1(ь) непрерывна при у(а) ( г < )Р(6), то '0*1 ( / у(г) дг) = )[ф(х))и'(х) — у [р(х)))р (х). т1т1 З 4. Определенный интеграл и методы его вычисления 151 12 Пример 4. 1(х) = ( е ' с(й Найти 1'(т). о 2 Используя свойство 11) и учитывая, что ~р(х) = О, т.е. !2 (х) = имеем 1'(х) = е !' ! (21)' = 2хе * .
1> 7.364. Определить знаки интегралов, не вычисляя ити 1 1 1 а)* ах!(х; б) х е" г(х; в) х)пхс(х. -г --1 1,1З 7.365. Не вычисляя интегралов, выяснить, какой из интегралов больше: 2 г 2 1 1 1 1 1 1 2 в) е соз х ох или е сов т г(х. о о 7.366. Найти среднее значение функции на данном отрезке: а) .гз, 0 < х < 1; в) соз т., 0 < х < —; б) фх, 0<х<1; г)совах, 0<х< —. 7.367. Сила переменного тока меняется по закону /2н 1 = 1а в!'и ( — 1+ 1р (,т где Т вЂ” период. Найти среднее значение силы тока за полупериод. т.ЗВН.
О °,м *. р / Д+Р~ — ! 2я 11х 7.369. Оценить интеграл 1 5+ 2агпх о З 4. Определенный интеграл н методы его вычисления 1оЗ 1 /à —. ' Пример 5. Вычислить | 2 г/х. л'2/2 < Применим подстановку х = япа Тогда 4/х = совгй, ъ/2 и и. = агсяп — = — и 12 = агсяп 1 = †. Следовательно, 1— 2 4 2 1 л/2 л/2 | г /и:ьЛР~ г/х = 2 сов101 = .1" яп 1 л/2/2 л/4 л/4 = агсвьч, л/2 1 — яп 1 л/2 11 л гг/ = ( — с18 à — /) ~ = — + 1 +— а1П21 ' л/4 2 4 л/4 Л =1 — —. 1> 4 2 7.379.
Можно ли интеграл | ху 1 — х дх вычислить с помо- 322 о 7 380 * Зх 2 гг ! 1+ л/3х — 2 1 1и 8 7.381. /, ел + 1 = 1 . г 1/ел+ 1 1и 3 ив 1 Г.ЗВ2. | лЛР~14 0 л/2 г/х 7.383. 18 — = 1. 3+ 2соах' 2 о л/4 41х 7.384., 48х =1. ,/ 1+ 2вш2 х о 1 7 385 3 — 2х — хгдх, х+ 1 = 2а1п/. -1 щью подстановки х = аш1? Вычислить интегралы с помощью указанных подстановок: б 154 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной Вычислить интегралы с помощью замены переменной: сЬ г(х 7.386.. 7.387.
.* ег-з' ' '.з,'*ьзз-Еяез!г 2/ з/3 — 2 1/Л Л р г2 — 4 Г 41т 7.388. / 4Ь. 7.389. / х ' / (1 „12)3' ч 3/3 2 ох /' 7/Х 7.390.. 7.391. (4+,г,,+Д2х 1 -2 1 ! 1 ь(х х г(х 7.392.. 7.393. хД + 4хг,! 3/5 — 4х 1,14 '1 1п Е 3 г ех~/е~ з.ззз. / е*. 7.зяз. | * /з — *'з* е'+ 2 1и 2 о ез 2 14Х / Е* 7.396. Показать, что / = / — дх. ./ 1пт,/ х е 1 и/2 дх /' соах 7.397. Показать, что /, = / з/х. ахсазп х ./ х 1/ за зз/4 2 Г Зх — 2х +х' — х Д 5 3 7.398. Убедиться в томз что / .! .4 + 3.2 + 1 4Ь = О. -г 5. Интегрирование по частям. Если функции и = и(х), в = в(х) их производные и'(х) и и'(х) непрерывны нв отрезке [а, 6), то ь ь з. = .)'- | „з а и (формулв интегрирования по частям).
3 4. Олределенный интеграл и ьгетоды его вычисления 155 е Пример 6. Вычислить !пхг!х. 1 ох е! Положим и =!их, г/и = г!и, тогда г!и = —, и = х. Имеем е е ггх !о х г!х = х 1п х ~ — / х — = е — х ~ = е — е + 1 = 1. Г> / ', П 1 ! Вычислить интегралы методом интегрирования по частям: 1 1 / агса!пх 7.399. хе* г!х. 7.400. / г!х. ьг1+ х о о гг/3 е 7.401.. 7.402. 1п2 х г/х. соа х я/6 я/4 2ъ'3 ' ь/х2+ 4 7.403. ез* аьп 4х гЬ. 7.404.
гЬ. г о 2 е 1 7.405. х!и х г!х. 7.406. х агс1ц х г!х. 1 о гг/4 гг/2 7.407. х2 соа 2х г!х. 7.408. ех соа х г!х. о о 7.409. Покааать,что для интеграла /г гг/2 с их!х, о о п — 1 ВЕРНа РЕКУРРЕНтиаи фОРМУЛа 1и = У„2. ВЫЧИСЛИТЬ ~2 И ~6. п 7.410.
Показать, что для интеграла 1 /„= х е ггх, пЕ!г1, о 1 верна рекуррентная формула 1и = — — + п/„р Вычислить 14. 156 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной 2 5. Несобственные интегралы 1. Интегралы с бесконечными пределами. Если функция у(х) непрерывна прн а < х < +со, то по определению -~-сс ь у(х) с(х = 1цп у(х) г1х. (1) Ь вЂ” ~-ьоо / а с Если существует конечный предел в правой части формулы (1), то несобственный интеграл называется сходлщимсл, если этот предел нс существует, то — расходяигимсл.
Геометрически несобственный интеграл (1) в случае у(х) > О есть площадь фигуры, ограниченной графиком функции д = у(х), прямой х = а и осью Ох (асимптотой). ь Аналогично определяется интеграл / у(х) 0х. далее, по определению +со с .~-оо (2) где с, — со < с < +со, — произвольно, причем интеграл в левой части равенства (2) считается сходящимся, если сходятсн оба интеграла в правой части.
Призна ки сходимости и расходимости приведелс только длн интегралов вида (1). 1) Если х'(х) — первообразная для у (х) и существует конечный предел 1пп г (х) = Г(+ос), то интеграл (1) сходится и равен о-+-~-со у(х) с(х = 1г(+ос) — г"(а); если не 1цп 1г(х) не существует,.то интеграл (1) расходитсн. с — >Чсо 2) Пусть прн а ( х < +ос О ( у(х) < д(х). Если / д(х) с(х схоо -- - *--" 1 К*)сп С - У П')ЬГ УС(о' '- с о о -~-оо +ос у(х) с(х расходится, то расходится и ~ д(х) ах (признаки сраво о пения). 3 5. Несобственные интегралы 157 3) Если при и < х < +со /(х) > О, д(х) > 0 и существует конеч/(х) ный предел )пп — ф О, то интегралы /(х) дх и д(х) дх *-~+ д(х) о а сходятся или расходятся одновременно (предельный признак сравнения).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
