341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 21
Текст из файла (страница 21)
с 3 В общем случае интегралы вида 51п хсоя" Х11Х, где т и и— целые числа, вычисляются с помощью рекуррентных формул, которые выводится путем интегрированна по частям. пх Пример 10. Вывести рекуррентную формулу для и с соязвю х Г й: ее помощью найти / ,/ сояз х 2 Имеем: ГГХ / 5!П У. + СОЯ Х ~21-г1 — / — / ' а— ох = гоязь+1 х У соя21+1 х / "- =/' я!и х Г 11х 1, яшх 12Х+ / 25 1 — — / 51пх 21,1 ох+125 ягп х Полагаем и = 51пх, г1е = йх. Тогда Ли = сояхг1х, со52В+1 х 1 , и интегрированием по частим получаем 2Ь с0521 х ' 51ПХ 1 1 ггх 2/ссо521'х 2й/ соя21' 'х или ейпх 12 1 1 12в+1 — 21' + ~ 1 / 12ь 1 2й со521 х ~, 2й / (рекуррентная формула).
3 2. Интегрирование основных классов алементарных функций 135 В частности, при к = 1 имеем 1в =/ = + — / — = + — !и(!Вх+ вест(+С. !> Г дх сйпх 1 Г дх япх 1 / сова:г 2совзх 2 / совх 2соятх 2 Найти интегралы 6) Для интегрирования произведений синусов и косинусов различных аргументов применяются следующие тригонометрические формулы: 1 сов а сов /! =- — (соя (а — !9) + соя (а + !3) ), 2 1 в!паз!п/! = — (сов(а — !1) — сов(а+!3)), 2 1 в!пасов!! = — (в!п(а —,9) + в!п(а+ /3)). 2 7.190. з!пв х йх. 7.192. соя~ х сЬ. 7.194. з!п хсоз~хг!х. г1х 7.196. / —— ,/ з!и~х гт'х 7.199.
в!пв х сова х 7.200., с)х ' соз (х + я/4) яшхсоях 7.202. $5~ х дх. сЬ 7.204. ъ~созхз!п х ,/ т/соз х 7,209. т 3!1г х 3 7'191' / з / -г. 7.193. / соз' — г!х. х 2 7.195. соя~ х я!п х йх. Г в!птх 7.197. / с!х. ,/ совах ~Ь 7.199. з)п' х соя~ х Йх 7.201. совах з х,! х 7.воз. | ( ч — + ч 2 2) 7.205. сояз х дх.
7.207. з!пв 2х сЬ. ~)х 7.209. соз (х/3) зита (х/3) 7.211. сов х сов~ 2х с!х. 136 Гл. 7. Интегральное исчисееяие функций одной переменной Пример 11. Найти соя9хсоя5хй:. з Имеем †.! 1 1, 1 соя 9х соя 5хг1х = — ~ (соя 4х+соя14т) ох = — сйп 4х+ — оп14х+С. Г 8 28 Найти интегралы: в) Интегралы вида Цят х, соя х) Йх, где Л(и, е) — рациональная функция двух переменных, приводятся к интегралам ат рациональной функции нового аргумента г подстановкой х 18 — = и При атом используются формулы 2 21 1 — Гз 2 г11 ях = 1+ гг 1+ 12 1+ 12' ох Пример 12. Найти 4 соя х + 3 гйп т.
+ 5 а Полагаем гц — = и 'Тогда 2 дх 4 соя х+ 3я1п т + 5 гй (4(1 — 1з)/(1+ Гт) + 3 21/(1+ гз) + 5)(1+ 1т) =2 гй У' й 2 2 =2 = — +С=— +С. с. гт+бг+9 / (1+3) 1+3 18(х/2)+3 7.212. яйп Зх соя 5х с)х. 7.214. соя — соя — гЬ. 2 3 7.216. соя х соя~ Зх г)х. 7.213. янн10х я)п15х дх. х 2х 7.215. я|и — соя — с)х. 3 3 7.217. яйп х я1п 2х я)п Зх Пх. 3 2. Интегрирование основных классов злсментариых фу нкций 137 Если под интегралом зщх и соз.т. содерьчатся только в четных степенях, то удобнее использовать подстановку тбт = Ь Ых Пример 13.
Найти ( ,/ 1 — 5яп т, а Разделив числитель и знаменатель на совг т и используя подстановку 13т = 1, получим: 1 — 5з1пгт | 1+тбгт — 513гх | 1 — 41г 1ь 21 1 1+ 213т = — !и + С = — 1п +С. с 4 1 — 21 4 1 — 213т Найти интегралы: г от 7.219. Зсозт+ 2 7.221. 3 1+ япт 7.222., гЬ. 7.223. т ~ ~ ~ | ~ и ~ ~ т созг т — 2 сов т+ 5 7.224. 7.225".... 7.226.
1япт+ 4)(япт — 1) 7.227. япгт+ 8зштсозт+ 12созгт Г Ыт 3 — 2япт+ солт Г от 4 япг т — 7 созг т Г зш 2т 1+ 4созг т 1+ с18т 1 — сзд т 1 зЬ.т. сЬх = — зЬ 2т, 2 вЬ т = -(сЬ2х — 1), г 2 г ссЬ х — 1 — —. ,1 г сЬ х — зЬ т=1, сЬ т = — (с!г2т+1), г г 1 — тЬ и=— сЬ т г) Интегрирование гиперболических функций производится аналогично интегрированию тригонометрических функций, причем используются следующие формулы: 138 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной Найти интегралы: 3. Интегрирование некоторых иррациональных фушсций.
а) Интегралы вида гле СС(х, р, х,...) — рациональная функция своих аргументов, тс, пс, тз, нз..... — целые числа, вычисляются с помощью подстановки аз+ С! ' зп! псе = С', где а — общий знаменатель дробей —, —,... сх+ сС л! пз сСх Пример 14. Найти '(' — ". — ),— х —. <С Производим подстановку т+ 3 = С~. Тогда сСх = 4СзсСС, и, следовательно, сСх сз,сс =4 (4сх+ з — 1)чсх+ 3,/ (с — 1)сз = 4 / — = 4 / !СС = 4(С+ 1и !С вЂ” 1/) + С = Г СсСС Г(С вЂ” 1)+1 ,/ с-1 = 4(4'х + 3 + Рл ! ьсх + 3 — Ц) + С.
!> Найти интегралы 7.239. х с)х ьзс2х — 3 7.241., с1х. (т+ п)(1+ зс'х+ с!) 7.238. (5 + х) чсТ+ х сСх з 7.228. сЬ~ Зх с)х. 7.230. вЬтхсЬ хсСх сСх у вЬ~х сЬ~х 7.234". 7.236. сСЬа х с)х. 7.229. айа 2х ссг. 7.231. сйз х с1х, сСх 7.233*. 2 х ~ ~ а аЬ~ х — 4 сЬа х 7.233, чссЬх+ 1с)х. 7 237 сЬ4 я 2. Интегрирование основных классов элементарных функций 139 з х+1 7.242. Ч х — 1 (х — 1)з ( та(х х+ 4),/х 7.243. р з ~ — 1) Ф*з' У 1 /.х-1 7.245, / — ~/ с)х. l .1х+ б) Вычисление интегралов вида я(г, АР +7* + я ~', ат ~/х~ — овЮх = о~ ~яйтсс)1 = — (сЬ21 — 1) сн = 2,/ от !яЬ21 '1 а' = — ~ — — 1/ + С = — (яйссЬ1 — 1) + С = 2 ~, 2 ) 2 2 = — х/х~ — ав — — 1и ~х + х/хт — ав~ + С.
с 2 2 где Л вЂ” рациональная функция двух аргументов, производится с по- мощью тригонометрических подстановок следующим образом. Выделе- нием полного квадрата в квадратном трехчлене и последующей заменой б переменной и = х + — исходный интеграл приводится к интегралу 2а одного из следующих трех типов; о/я[,З: чь, в/вк,,л Г, )ь, е /вь, сз — Р)~ . Последние интегралы тригонометрической или гиперболической подста- новкой соответственно 1) и =1я1п1 или и =1СЬ1, 2) и = 1гбт или гя = 1яЬ1, 3) и = 1яесс или и = 1сЫ ---. --'---/" "-""- /"" "" Пример 15.
Найти / ьУхт — от й:. 0 Производим подстановку х = асЬЬ Тогда Нх = аяЫ й, тlхв — ат = = аяЫ, и далее 140 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной пх Пр .,рр.нлл (* р р*р р) 0 Выделил полный квадрат в квадратном трехчлене, имеем й: ( с(и где и=х+2. ррлзрр рс р ~дРрр1 /3 Производи теперь подстановку и = з/Зф1, Ни = п(1, л/кэ+ 3 = соээ Ь = з/Заест, получаем: / - =I а,т У,/3 ртг = —, соа 1 р11 = ррр грр.рр)' р Фр 3 р 1, 1 и 1 х+2 = — япг+ С =— -л С.
р рр рр рп.ррр рр При вычислении интегралов вида тх+ и ,старр.р ° ' следует предварительно выделить в числителе производную квадратного трехчлена. х — 1 пр. пр рр. и. - р' р — 4.— . а Имеем х — 1 /' ( — 1/2)( — 2х — 4) — 3 рух = йх = 1 ~ (1 — 4х — хэ)Р Г п(х — Нх — 3 — р р р — рч — ч р,р — (.-~ рп х+2 л/5 — 1 — 4х — х' — 3 агссйп — + С, Заметилц что в этом примере нет необходилпасти производить тригонометрическую подстановку, так кек выделение полного квадрата сразу приводит к табличному интегралу.
о. ох Интегралы вида (г = 1, 2) своу (тх+ и)рз/ахе + бх+ с дятел к рассмотренным выше интегралам с помошью подстановки 1 тх+ и = —. 142 Гл, 7. Интегральное исчисление функций одной перебненной х2 7.267. /, 41х. 1 ъ'хт — ие 7.269. (хт — 1) а 41х. Г чих~+ 5 7.266.
/ т бтх. хт дх 7.268. .1,уг(Р+ 9) а '33. Смешанные задачи на интегрирование Найти интегралы: Йх 7. 284. ч/х — чбУх + 1 яшх 7.286. /, с(х. 2 1 — ашх соа х 7.288. /, с(х. / (1 — япх)4 с1х 7.290. 3 — 4аш х т+3 7.270., 41х. хт+2х+4 дх 7. 272. (х — 2)4(х + 3) 7.274. 1пхдх 7.276. ~б-~ 42; — 2 2228. | 8Р-44 .. 7.280.
хт + 4х + 5 Дх х 41х 7.282. ъбх~ + 16 ,з . /', ,2 хт — х — 1 7.273. * пх 7.276. '424 42 7.277. /Ф48 '.4 7.279. х хт + 4х — 5 Ых. 41х 7.281. (хт + 9) Л6 — хт ~Ь. 7.283. /(хт + 4)а 1 1+х 7.285. — . 4 дх. (1+х)т Ч 1 — х х 41х 7.287. 1+ сон х Ых 7.289. 2+ соя х 7.291. / бтх. ! 3. Смешанные задачи на интегрирование 143 х ,/ я|ох+ 5 ггх гЬ: 7. 294. 7.295. / яп х сове х ' сове т, 7.296. | Нх 7.297.
х е4п х соя 2х дх. Бгн х Йх с~х 7.298. 7.299. аЬхсЬх з еЬ х + сЬ х 1 сЬ|/Г+ х 7.300. йЬ~ х йх. 7.301. / г~х. ч'1+ х 7.302. 7.303. йп~ (1п х) г~х. ,/ сЬ~ х -хз 7.304. хе~* Нх. 7.305. хе * 4х. 7.308 м"'"* д 7.309. ~/е* — 1 дх. Г агсе4пх 1+ ха 1 агсяп е* 7.310. Ых. 7.311. / хз /1 — хз | еи 7.312. дх. 7.313. х(1 + х~) агсГ8 х Ых. 7.314. - Йх. 7.315. х 1п (4+ х~) Йх. (1 + х)~ Т.316.| ~~г+1! '*г — 1~.. х х 7.317. 1п гЬ. Д вЂ” хз ~/à — хз агсг8 ех/2 7.318. х*(1 + 1п х) дх. 7.319.
гЬ. 144 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной В 4. Определенный интеграл и методы его вычисления 1. Определенный интеграл иак предел интегральной суммы. Если функция г"(х) определена на отрезке о < х < Ь и а =.:со < хь < < хз « ... х„ь < х„= 6 — произвольное разбиение этого отрезка на и частей (рис.
14), то интегральной суммой функции ((х) на [о, 6] называется сумма вида 5 = ~ Псь)йхь ь=г гце хь ь < Сь < хэ, ь1хь = хь — хь и й = 1, 2, 3, ..., п. Геометрически Я„есть алгебраическая сумма площадей прямоугольников, имеющих основания ьзхь и высоты Яь). Если определенная на отрезке у-Лт> [о, Ь] функция )(х) такова, что существует конечный предел последовательности интегральных сукам 5„ при условии, что наибольшая из разностей ьзхь стремится к нулю, причем этот предел нс аависит ни от способа разбиснил отрезка [а, 6] на отрезки [хь м хь], ни ат выбора точек бь на этих отрезках, О хохь хт х„,х„т то функция ((х) называется инте$„ грирусмой на отрезке [а, 6], а сам предел называется оярсдеаеннсчм иняьегролом от функции 1(х) в Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
