341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Геометрические приложения определенного интеграла 173 н, далее, « Я,, = 2п / 2а(1+ соя ~р) сйпд 4а соя — гор = Р 2 о « ,,у, р 128 = 64па- ( соя' — яш — йр = — -по . с 2 2 5 0 7.518. Найти площадь поверхности (называемой катеноидом), 1 образованной вращением дуги цепной линии у = — сЬ 2х, О < х < 2 < 3, вокруг оси Ох. 7.519. Найти плошадь поверхности аллипсонда, образованного вращением валился 4:гт + у« = 4 вокруг: я) оги Ох: б) осн Оу.
7.520. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги кривой у = -хз от х = — 1 до х = 1. 3 7.521. Найти площадь поверхности, образованной вращением 1 вокруг оси От дуги кривой у = — „/х(х — 12) между точками ес 6 пересечении с осью О.г.. 7.522. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Оу дуги полукубической параболы 9ау« = 4хз, отсскаемой прямой х = а. 7.523.
Найти площадь поверхности, образованной вращением петли кривой 9ау = х(За — х)т вокруг: а) оси Ох; б) оси Оу. 7.524. Найти площадь поверхности, образованной вращсниеля дуги кривой у = е «7~, О < х < +ос, вокруг оси Ох. 7.525. Найти площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой х = а(3 соя1 — соя 31), у =- а(3 яш1 — я)пЗг), 0 < 1 < —., вокруг: а) оси Ох; б) оси Оу. 7.526.
Найти площадь поверхности, образованной вращением петли кривой х = а(1 .+ 1), у = — (3 — 1 ) вокруг оси Ох. 3 7.527. Найти площадь поверхности, обрааованной вращением одной арки циклоиды х == о.(1 — еЗп1), у = а(1 — соя1) вокруг ее оси симметрии. 7.528. Найти плошадь поверхности, образованной врагцением дуги ввольвснты окружности х = п(1яш1+ соя1), у = а х х(я)пс — 1соя1), О < 1 < н, вокруг оси Ох. 7.529.
Найти площадь поверхности, образованной вращением окружности г = 2а яш ~р вокруг полпрной осп. З 6. Геоьгетрические приложения определенного интеграла 175 1г, =х / (х)г(х, ь )гэ - -2я х(/(х))г1х, а > О. ч (7) Если криволинейный сектор, ограниченный кривой г = г(Д и лучами уо = а, гр = г), вращается вокрут полярной оси, то объем тела вращения равен 1' = — гггг г' ащ~рйр.
2 3! а Вычисление объемов тел значительно проще производится с помощью кратных интегралов. Поэтому мы ограничимся здесь только простейшими задачами. Пример 13. Фигура, ограниченная кривыми у = з/2ррх н у = 2 = — (х — р)эг, вращается вокруг оси Ох. Найти объем тела вращения. р з Найдем точки пересечения кривых: з/2рх = — (х — р)эг", или з/р 2рэх = 4(х — р)э: очевидно, уравнению удовлетворяет значение х = 2 и тот а = 2 т.е, имеем р д р р~ точку пересечения (2р, 2р), — рпг. 23.
Ис- Ркг. 23 комый объем есть разность двух объемов: объема 1гг., полученного вращением криволинейной трапеции, ограниченной параболой р = „/2рх (О < х < йр), и объема Рн полученного вращением криволинейной трапеции, ограни- 2 ченной полукубической параболой у = — (х — р) г- (р < х < 2р). /р Выражение для функции Я(х) достаточно просто получается в случае тел вращения. Так, если криволинейная трапеция, ограниченная кривой у = /(х), а < х < 6, вращается вокруг оси Ох или оси Оу, то объемы тел вращения вычисляются соответственно по формулам: 176 Ил, 7. Интегральное нсчнслсннс с/>уннцлй одной псрсмсшп>й Используя формулу (7), получаем: 2р о р гр гр 4 = тг 2р хс1х — тг.
— ~ (х — р) дх р хг " 4т (х — р)' 2тр 2 о р 4 о = 4трз — тгрз = 3;трз. Пример 14. Фигура, ограниченнал кривой х = асоз1, у =- азш21 (О < 1 < т/2) и осью Ох, вращается вокруг оси Оу. Найти объем тела вращения. < Очевидна, что О < х < а и О < у < а, а также, что у .= О при 1 = О и при г = >г/2, т.е. рассматриваемая фигура пвллстсл криволинейной трапецией. Палее, при 1 = О х = а, при 1 = т/2 х = О. Следовательно> искомый объем выражаетсн формулой (8).
Из>сел>> 1р = 2л / х(1)у(1) с)х = 2л / 0 р72 я>2 3 2 таз зцт О а соз Г а яп 21( — а яп 2) с)1 = с>= — ", о (1 — сов 41) с)1 = у 2 1 г гггаз 1 — — яп 41) ) тга 2 П р и мер 15. Кардиоида т = а(1 — созе>) вращаетсп вокруг полярной оси. Найти объем тела вращения. з 2 з 11 созз>) 8 з У = ->г /1 а'(1 — созср) згпс>>>12> = — тга, = —;та'. Г 3 / 3 4 с 3 с 7.533. Найти объем тела, основание которого —. область плоскости Оху, ограниченная астроидой х = исозз1, у = а ьбпз1, а сечение плоскостью, перпендикулярной оси Ох, есть квадрат. 7.534. Найти объем клина, отсеченного от прямого кругового цилиндра радиуса а, плоскостью, проходнщсй через диаметр основании под углам гт к плоскости основания.
7.535. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями 2у = хз и 2х + 2у — 3 = О. з 7. Приложения опредегеяного интеграла 7.536. Найти объем тела, образованного вращением вокруг осп Ох фигуры, ограниченной линиями у = е тд — 1, у —. г х = О. 7.537. Найти объем тела, образованного вращением вокруг ося Оу фигуры, ограниченной линиями у = х, у =- х + гбп х (О ...
'.х<п). 7.538. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси г Оу фигуры, ограниченной линиями у = — + 2х + 2 и у = 2. 2 7.539. Найти объем тела, образованного вращением параболического сегмента с основанием 2а и высотой Ь вокруг высоты. 7.540. Найти объемы тел, образованных вращением фш.уры, ограниченной кривой х = аР, у = а!п1 (а ) О) и осями координат, вокруг: а) оси Ох; б) оси Оу. 7.541. 11айтп объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривой х = асоз1, у = азш21 и осьп| Оп (0<х<а).
7.542. Найти объем тела, образованного вращением астропдгп х = асов 1, у = аз(п 1 вокруг прямой х = а. 7.543. Найти объем тела, образованного вращением кривой г =- = азш ср вокруг полярной осп. 7.544. Найти объем тела, образованного врапгггнисм эгсьгггискаты гт = а~ сов 2ср вокруг полярной оси. 7.545". Найти объем тела, образованного вращением вокруг ось з(их Ох фигуры, ограниченной кривой у = — и осью Ох.
х 3 7. Приложения определенного интеграла и решению некоторых задач механики и физики 1. Моменты и центры масс плоских кривых. Если дуга припой золяна уравненном у = у(х), а ( х ( б, и имеет плотность г) р .=- р(х), статические моменты этой дуги ЛХ, и Ыд относительно коордппатпы. осей Ох и Оу соответственно равны ЛУ, — — / р(х) у(х)1(1+ (у'(х)) Йх, и ьь=~ ьнгг++(гьэ'ь, а ) Всюду и эадачэх, где плотность не ундээна, продпопдгасгсн, что пашню однородна н р = 1.
178 Гл. 7..Интегральное исчисление функций одной переменной моменты инеРции 1, и Уа относительно тех ьче осей Ох и ОР вычислн- ютса по формулам а=)а)*)1))))~+)г)г))*а, а=~~)*) /~+Ъо))'а* а поординаты центра масс х и у — по формулам М„1 1 х = —" = — / р(х)х 1+ (У'(х)) дх, 1 1/ а ЛУа 1 1 2 у = — '"' = — / р(х)Дх))/1+ ()а(х)) )1х, а 2 где1-- масса дУги, т.с. 1= з~Р(х) 1+ (Уа)(х)) )1х. а Пример 1.
Найти статические моменты и моменты инерции относительно осей Ох и Ор дуги цепной линии р = сЬх при О < х < 1. а2 Имеелн р' = зйх, ~/1+ (р')2 = ~/1+ яЬ2 х = сЬх. Следовательно, ! 1 1 и. = у1 сЬ2 1 = - Р+ Ь2 ) Ь =- - ~. + - яЬ 2 ~ ~ = -(2+ з1 2), о 1 1 1 1 М,=)ч ~ а =)ча)~к)=с Ь*),-1 ) о о о 1 = з!1 1 — сЬ х ~ = зй 1 — сЬ 1 + 1, 1 1 з 1, з 1, =- ( сй,сс12 = ( (1+яЬ х)сЬхдх = ~яЬ,г+ —,( = яЬ1+ — яЬ 1, 3(о 3 0 о 1 1 1 1 = ~ х сЬх11х = ~ х Й(яйх) = х зйх~ — 2 / хяйхдх = о о о 1 1 1 ) 1 — ~) ~)аз) =- ~! — 2( ! ) -1 а..а:) = о о =- яЬ 1 — 2)и 1 -1 2 яЬ 1 = 3 яЬ 1 — 2 сй 1. С з 7. Приложения определенного интеграла 179 Пример 2. Найти координаты центра масс дуги окружности х = = асозг, у = аяп1, расположенной в первой четверти.
па гг З Имеем: 1 = —, 0 ( г ( —, хг = — аяп1, у, = асов/, 2' 2' «%г «(«г' = ««л г'г+"* Отсюда получаем: л/2 савей = а яп/~ = а, л/2 2 о л/2 в1п/41 = — " .1~;"= а', о а 2а на/'2 к ' М,=а Мо — — а 2 аг 2а у= — = —. с ха/2 Мв х = В приложениях часто оказывается полезной следующая Теорема Гульдена.
Площадь поверхносгпи, образованной вращением дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости дуги и ее не пересекающей, равна произведению длины дуги но длину окружности, описываемой ее центром масс. П ример 3. Найти координаты центра масс полуокружности у = — /аг т2 а Вследствие симметрии х = О. При вращении полуокружностн вокруг оси Ох получается сфера, площадь поверхности которой равна 4иа2, а длина полуокружности равна ха. По теореме Гульдена имеем 4на = на.2ну. 2а / 2а1 Отсюда у = —, т. е.
центр масс С имеет координаты С ( О, — ) . с 7.546. Найти статический момент синусоиды у = а1пх (О < < х < к) относительно оси Ох. 7.547. Найти статический момент и момент инерции относительно оси Ох дуги кривой у = е* (О < х < 1). 7.548. Найти статический момент и момент инерции относительно оси Ох одной арки циклоиды х = а(1 — в1п1), у = = а(1 — сов 1). 7.549. Найти статический момент и момент инерции полу- окружности радиуса а относительно ее диаметра. 7.550.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
