341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 28
Текст из файла (страница 28)
8.61. в = 1п(хг + уг). 8.62. я = агсяп у х +у у 2 8.63. и = 8.64. и = ( — 1 8.65. и = хугззСз + Зх — 4У+ 2х — 1+ 1. 8.66. Найти Д(3, 2), фЗ, 2), 7"„" (3, 2), ~"„(3, 2), ~,"„(3, 2), если ~(х, у) = хзу+ хуг — 2х+ Зу — 1. 8.67.
Найти Д(1, 2), ~„'(1, 2), Дя(1, 2), ~", (1, 2), ~,", (1, 2), х2->уг если 7"(х, у) = с ог. т дгз дгх 8.68. Показать, что =... если з = хяп(ах +бу). 8.69. Показать, что =, если я = соз — агссоз —. х х 8.70. Найти Д",.(О, 1), Д'.„(О, 1), Д'„'„(О, 1), ~,",„'л(О, 1), если )(х, у) =- е* я. д~и 1 8.71. Найти, если и = 1п дхдуд(дц' (х ~)г+ (у г1)г' дои 8.72. Найти .—, если и = х' япу+у з1пх. дхз дг 3' дни-пн 8.73.
Найти,, если и = (х — то)" (у — уо)». дхн дуя' В задачах 8.74 — 8.77 проверить теорему Эйлера об однородных функциях. 874 з = гз+гду уз 875 У хз — уз 8.77. и = ~/Рт7 ~- Р' 194 Гл. 8. Диффереяц, исчисление функций нескольких переменных ггдх'12 дх 8.79. Показать, что ( †) + — + х + 2 = О, если х = 4е г" + 1д ) ду + (2т, + 4у — 3)е д — х — 1. ди ди 8.80. Показатть что +— дт, ду = 1п (х' + у + х — 3хуе).
ди ди 8.81. Показать, что — + — + дх ду ди 3 +— , если и = дх х+у+х ди ди х — у — + — =О,еслии= + де д1 ' х — 1 1 — х + у — е 8.82. Показать, что функция и = А а1п Лх соэ аЛ1 удовлетворяет уравнению колебаний струны д2и 2 дги ,~~2 Дх2 (т — хо) 8.83. Показать, что функция и = е ла'г удовлегво- 2а~гЯ ряет уравнению теплопроводности ди дги д1 дхг' 1 8.84. Показать, что функция и— (х — а)' + (у — б)2 + ( — с)2 удовлетворяет уравнению Лапласа д и дги дги —, + — + — = О.
дхг дуг дхг 8.86*. Показать, что функция ху если х +у фО, г г у(х, у) = хг+уг О, если х = у =-О, имеет частные производные Д(х, у) н ~а(х, у) в точке (О, 0), хотя и разрывна в этой точке. 8.86*. Показать, что для функции 2 2 ху,, если х +у у'=О, х — у .г г х, у = ' хг + у2' О, если х = у = О, значение второй смешанной производной в точке (О, 0) зависит от порядка дифференцирования, а именно; )'"„(О, 0) = — 1, Г„",(О, О) =1. Э 1. Основные понятия 4.
Дифференциал функции и его применение. Полным прпраигснисп функции и = у(хг, хг, ..., х„) в точке Р(хг, хэ, ..., хп), соответствующим прирашениям аргументов глхг, глхж..., г'.гамп, называется разность г1и =,((хг + гГхг, хг + гХхэ, ..., хп + гзх„) — гг(хг, хг, ..., хп). Функция и = г" (Р) называется двфференцир усвой в точке (хг, хг,..., х и), если всюду в некоторой окрестности этой точки полное прирашенис функции может быть представлено в виде Ьи = Аг гзхг + АгЬхэ +... + А„Лх„+ о(р), Аг, Аг, ..., А„— числа, не завися где р = шие от гххг, ггхг, ..., глх„.
Дифференцпалолг 1-го порядка г)и фушгции и = г'(хг, хг, ..., хн) в точке (хг, хг, ..., х„) называется главная часть полного прирашения этой функции в рассматриваемой точке, линейная относительно глхг, ггхэ, ..., гзх„, т.е. гуи = Аг глхг + АэЬха +... + АпЬхп. Дифференциалы независимых переменных по определению принима- ются равными их прирашениям; Дхг = Ьхг, йхэ = Ьхг, ..., гух = ггх Для дифференциала функции и = 1(хг, хэ,..., х„) справедлива фор- мгла ди ди ди г1и = — Дхг + — Йхэ+... + г(хв.
(1) дхг дхг " дх„ Функции и, е несколыгих переменных подчиняются обычным правилам дифференцирования: г((и+о) = Ни+ Де, гг(ие) = ели+ иг(е, ()- из е г(гг — и Де И-)= е ег Пример 8. Найти полное прирашение и дифференциал функции у(х, у) = х'у в точке (х, у). а у(х+ Ьх у+ Ьу) = (с+ Ьх)г(у+ Ьу) Ьу(х, у) = (х+ Ьх) (у+ Ьу) — х у = = 2хуЬх+ хэг."гу + 2хг.'гхЬу + уг.'тх~ + узх Ьу, г(г"(х, у) = 2хуЬх+ х Ьу. с 19б Гл. 8. Днффсренц. ис гисленне функций нескалькик нерсменнык П р и м е р 9. Найти дифференциал функции /'(х Р 2) = гхг+ 2 з 1-й способ.
Имеем д/ (х2 + р2)З/2 ' д/ рг др ( .г +, г) з/г ' д/' 1 дг / 2+рг' По формуле (1) получаем (х + рг)г 1(2 — 2(х1(х+ рс/р) ( 2 + рг)з/2 2-й способ. Применяя правила дифференцирования, имеем: /тг+грг~Ьз 2,11 /хг+рг С(/(Х, 1/, 2)— хг+рг /хг+ ргс(2 — 2(хс/х+ р1/р)/( /тг + рг) 22 + р2 (хг + р )с/2 — 2(х с/х + р 1/гр) ( 2 + рг)з/2 П р и м е р 10. Вычислить приближенно ~44,0п ~- 2,0а . будем рассматривать как значение функции /(х, р) = х = ха + Ьх, р = ро + Ьр, если хо = 4, ра = 3, 0,07. Имеем: /(4, 3) = , 42 + 3 = 5, хнах+ р111/ г~йх, р) = Ф(х, р) = ,,/Р+рг ' Ь/(4 3) — ' ' -008.
5 з Искомое число /хг + рг пр11 гзх = 0,05, Ьгр = При достаточно малом р = для дифференцируемой функции и = /'(Х1, хг, ..., хп) имеют места приближенные равенства 1ли В С/и, /(Х1+ 2ЗХ1, Хг+ 2ЗХ2, ..., Хп+ ЬХп)— ./(Х1~ хг~ ~ Тп) + с(/(Х1~ Хг~ ~ Хп) 3 1. Основные понятия 197 Следовательно, ф4,05)г + (3,07)' в 5 + 0,08 = 5,08. с Диффеуенциалом 2-го ооРлдка сРи фУнкции и = 1"(хс, .'сг, ..., х„) называется дифференциал от ес дифференциала 1-го порядка, расслсатриваемого как функция персьсенньсх тс, хг,..., х„при фиксированных значениях ссхс, сЬг, ..., ссх„: с1ги = с1(сси). Аналогично определяется дифференциал 3-го порядка: ,(зн П(дгн) Вообшц, сс д д д с( и= 1 дхс + с1хг+...+ с1х„~ и, ~ьдхс дхг дх„ (2) которая формально раскрывается по бнномиальному закону.
Например, в случае функции з = 1(х, р) двух независимых переменных х и р для дифференциалов 2-го и 3-го порядков справедливы формулы г дг г дг д х г ссгз = — с(х + 2 Йхс19+ — с19', дх дх др др з дг з дз дз г дз з с( х = — з с(х + 3 г ссхгсср+3 г с(хссй + — з ссй . дхз дхг др дх дрг дскб' (3) (4) П р и и с р 11. Найти К" з, если з = е*з. З Имеем (по правилам дифференцирования) с(з = елвс)(ху) = елв(рйх+ хс19). Дифференцируем вторично, учитывая, что с(х и сгд не зависят от т и р (т.е. считая с(х и Йу постоянными): с( г = е*"с1(ху) (рс(х+хасу) + е*"Й(рйх+ хс1у) = =- е™(ус(г:+ хс19) + е'"2с(хс(р = с'"((ус(х+ хс)р)г+ 2с1хс(р). с с('"и = с((с1'" с и). Дифференциал пмто порядка функции и = у(хс, сег, ..., х„) где хс, хг,..., х„— независимые переменные, выраьчается символической фор- мулой 198 Гл. 8.
Дифференц. ис*7исление фун7сций нескольких переменных 8.87. Найти полное приращение и дифференциал функции х = = хз — ху+ у~, если т, изменяется от 2 до 2,1! а у — от 1 до 1,2. 8.88. Найти полное приращение и дифференциал функции г = = 16(.'+у') . 2д 2,1,.
у-- 1д 0,9. Найти дифференциалы функций: 7/ 18 —. (х,/)'. 8.89. х =!и (у + -8/ х4+ 1/2) 8.90. и = 8.91. х =- 1псоа —. у 8.93. 1(х~2 х02 хз, .т4) = 7с~2 9 1пх4. 8,94. Найти с//'(1, 2, 1), если /" (х, у, г) х2 + уз Вычислить приблил4енно: 8.90. ~2,0!) 8.98. 2/Д,02) .2(2,97~ . 8.97. в1п 28' сов 61'. Найти дифференциалы 1-го и 2-го порядков следующих функций (х, у, х - — независимые переменные): у х 8.101.
х = ха+ Зх~у — уз. 8.102. и = — — —. х 1/ 8 !88. *= 47*2 4 2*9. 8 204. *= у /хз + 7/з 8.105. г = (х + у)е*". 8.106. х = х 1п —. 7/ 8.107. х = агс182 х+у 8.109. и = е'и' 8.108. и = ху+ ух+ хх. 8.98. Цилиндрический стакан имеет внутренние размеры: радиус основания Л = 2,5м, высоту Н = 4м и толщину стенок 1 = 1 дм.
Найти приближенно объем материала, затраченного на изготовление стакана. 8.99. Прямоугольный параллелепипед имеет измерения: а = = 2 м, 8 = 3 м, с = 6 м. Найти приближенно величину изменения длины диагонали параллелепипеда, если а увеличится на 2 см, 6— на 1 см, а с уменьшится на 3 см. 8.100. В усеченном конусе радиусы оснований 11 = 20см, т = = 10см, высота /1 = 30см. 11ак приближенно изменится объем конуса, если Л увеличить на 2 мм, т — на 3 мм и /В уменьшить на 1мм? з 2. Дифференцирование сложных и неявных функций 199 8.110. Найти с(зх, если х = ел зшх. 8.111.
Найти с!зи, если и = ха + уз+ з~ — Зхрг. 8.112. Найти йеи, если и = !п(х+ р+ г). 8.113. Найти И™ц, если н = еохч злы".. та производная сложной функции и = ((р1(!), уз(1), ..., у„(!)) вычи- сляется по формуле ди ди с!х1 ди дхз ди дхгл М дх1 <!! дхз с!! ' ' ' дхя де ' В частности, если ! совпадает, например, с переменной хк то зпол- ная» производная функции и по х, равна с(и ди ди дхз ди дх„ — = — + — — +... + — —. дх1 дх1 дхз дх, ' ' ' дх„Пес ' (2) «!н Пример 1. Найти —, если и = хр, где х = !з + 1, у = 1п1, с!! ' я =ЦС з По формуле (1) имеем ин 1 д! — = дя. 21+ хг-+ хо.
асс ! = (!в+1) Са! = 2! !и ! !е1+ — + (!з + 1) !п1аесз й д д» Пример 2. Найти — и —, если = р', где р = ~р(х). дх дх дз з Имеем —, = рЯ !и у. По формуле (2) получим дх — = р'!пр+хрх ' р (х). С их 8 2. Дифференцирование сложных и неявных функций 1. Сложные функции одной и нескольких независимых переменных. Если и = ~(хм хз, ..., х„) — дифференпирусмая функция переменных хс, хз,..., х„, которые сами являются дифферснцируемыми функциями независимой переменной й 200 Гл.
8. Дифферснц. исчисление функций нескольких переменных Пусть и — у(х1~ хг, ... хп) где х1: 121(11 !2 ... 1~д) хг !рэ(!1 !2 . 1 нп) ) хп !!2п(11~ 12 . 1щ) (!! !2~ ...1 !зп нс" зависимые переменные). Частные производные функции и по !1, !2, ..., 1,„выраа!аются следую!цнм образом: ди дхт ди дхп — — +...+ — —, дх2 дс! дХп д!1 ди ди дх! — — + д11 дх! д!1 д ддх, + ди дхг ди дхп дхт д! дхп д!2 (3) д!2 дх! д!2 ди ди дх! ди дхт ди дх„ — — + +... + — —. д!т дх, д! дхэ д! ' ' ' дх„д! При этом выражение (1) из Э 1 для дифференциала 1-го порядка сохраняет свой вид (свойство инввриантностп формы первого дифференциала) ди ди ди ди = !1Х! + с(хг+...
+ — 1(х„. Х! дхг хп Вырал!ения для дифференциалов высших порядков сложной функции, вообще говоря, отличаются от выражения вида (2) из Э 1. Например, дифференциал 2-го порядка выражается формулой / д д д д и = ( их!+ их!+ «+ дтп и+ (,дх, дхе "' д „ ди 2 ди 2 ди + — д'х! + — 11 Х2 +... + — д хп (4) дх1 дх2 дх !12 = Д(х Йх — у ду) + )'„'(1д Йх + х !1у) = (х('„' + уу„',) дх + (ху„' — уД) с(у. Лифферснцируем вторично: Йг = д((,',) !1и+ Д П(ди) ч- д(~,',) до+ Д. д(до)— (уп~ пи ! уп ди)ди ! Г д2и ! (уп д +уп де) 1 +у~ 12 Пример 3. Найти дг и дтг, если 2 = !(и, о), где и = (хэ — у )/2, О = ХУ.
2 Имеем дг = г"„'до + Д де, где !1и = хдв! — уду, де = удх + хду. Следовательно, г 2. Дифференцирование сложных и неявных функций 201 где йги = йхг — йуг, йгт = 2 г1х йу. Следовательно, й в = (~,",„(хйх — рйу)+~,",„(уйх+хйу))(хйх — рйр)+Д(йх — ~1р )+ + (~„"„(х йх — у йу) + 1'„"„(р йх + х йу)) (у йх + х йр) + Д 2 йх йр = = 1,'„(х йх — у йу) + ~„"„19 йх + х йу) (х йт — у йу) + ~,'(4~х — йуг) + + ~,",„Стйх — уйу)(уйх+ хор) + Д'„(уйх+ хйу)г + 2Д <1хйр = = У~ (хг йтг — 2хуйтйу + угйрг) + 2~ ~ (хр(а~хе — йуг) + (хг уг)йхйу) «т (ргй.г «2т йхйр«хгйуг)+ 1 (йхг й г) « «-2 1,", йх йр = (тгу,",„+ 2хуу„"„+ угу„", + 1,',) йхг+ 2(худ,",„+ (хг — рг)у„",— — ху/и + ~') йх йу + (рван — 2ху);"в + х Д'„— ~,',) йу . с йх 8.114. Найти —, если х = ег* а", где х = $81, у = 1г — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
