341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 31
Текст из файла (страница 31)
У,'( ., р) = 3. ' — 16х — р+ 16, ('(х, у) = — х+ 2у+ 5, г",",(х, у) = бх — 10, ~,"в(х, р) = — 1, (,"а(х, у) = 2, („",',(х, р) = 6, .г.'(х, р) = р' ) р, („'(х, р) = хр' Д'„(х, р) = у' 1п у, )„", (х, у) = р' '(х1пр+ Ц, 1," (х, р) = х(х — цр™, г",'(2, — Ц = 3; („'(2, -Ц = 1; Г","г(2, -Ц = 2; г",", (2, -Ц = -1; У,"л(2, -Ц = 2; Д",х(2, -Ц = 6. ,(,'(1, Ц =О; („'(1, Ц = 1; (,",(1, Ц= О; )"„(1, Ц=1; („"„(1, Ц = О. 21б Гл. 8. Днфференц, исчисление функций нескольких переменных 2. Экстремум функции. Функция и = 1(Р) имеет максимум (минимргэг) в точке Ро(хд, ..., хд), если сугцествует такая окрестность точки Ро, для всех точек Р(хг, ..., хд) которой, отличных от точки Рд, выполняется неравенство )(Рд) > 1(Р) (соответственно 1(Ро) < )(Р)). Максимум или минимум функции нааывается се аксгпреэгуэгдм. Необходимое условие экстремума.
Если диргргеренггируемал функция )(Р) достигает экстремума в точке Ро, то в этой точке Д,(Рд)=0 длявсех 1=1,2,...,п, (3) или ггу(Рд, Ьхг,..., Ьх„) = О тоагдественно относительно гьхг, ..., гьх„. Точки, в которых выполняются условия (3), называются спгационарныэги'точггами функции и = у (Р). Таким образом, если Ро — точка экстремума функции и = У(Р), та либо Рд — стационарная точка, либо в этой точке функция недифференцируема. Достаточные условия экстремума. Пусть Ро(хд,...,хд)— стационарная точка функции и = 1(Р), причем эта функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки Рд и все ее вторые частные производные непрерывны в точке Ро. Тогда: 1) если второй дифференциал гг'и(Рд, Ьхг, ..., ьгх„) как функция Ьхг, ..., Ьх„имеет постоянный знак при всевозможных наборах значений Ьхг, ..., ьгх„, не равных одновременно нулю, то функция и = У(Р) имеет в точке Рд экстремум, а именно — максимум при гРи(Рд, Ьхг,..., Ьх„) < 0 и минимум при г2~и(Рд, ьгхг,..., Лх„) > О; 8.180.
Разложить у'(х+гг, у+1, э+1) по целым положительным степеням lг, й, 1, осли у(х, у, х) = хз+2уз+Зх~+хр — 2рх+Зх— — у — 4х+ 1. 3.131. Функцию )'(х, 1г, х) = х + р~ + х~ — 2(хр + хх + рх) разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1, — 1, 2). 8.182. Разложить по формуле Маклорена до членов 3-го порядка включительно функцию у(х, у) = е" сов х. 8.183. Разложить по формуле Маклорена до членов 4-го порядка включительно функцию у'(х, 8) = вгпхз)гу. 8.184. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1, 1) до членов 3-го порядка включительно функцию у(х, у) = =И" 8.185.
Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1, 1, О) до членов 2-го порядка включительно функцию у (х, (г, х) = = 1п(ху+ х ). 8.186. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1, 1) до членов 2-го порядка включительно неявную функцию х(х, у), определяемую уравнением хз + Зуд — 4х = О, если х(1, 1) = 1. 3 3. Приложения частных производных 2!7 А = Дт(хо, уо), В = У,'д„(хо, уо), С = Л"„(ха, уо) Р = АС вЂ” Вэ.
Тогда: 1) если Р > О, то функция я = Дх, у) имеет в точке Ро(хо, уо) экстремум, а именно — максимум при А < 0 (С < 0) и минимум при А> 0 (С >0); 2) если Р < О, то экстремум в точке Ро(хо, уо) отсутствует; 3) если Р = О, то требуется дополнительное исследование. П р и м е р 3. Исследовать на экстремум функцию х = х + у — Зху. < Найдем частные производные 1-го порядка и составим систему урав- нений вида (3): — =3(х — у) =О, — =3(у — х) =0 дя т дх 2 д. ' ду или х~ — у=О, уэ — х=О. Решая систему, найдем две стационарные точки: Р1(0, 0) и Рт(1, 1).
Найдем частные производные 2-го порядка; дах — = бу. дуэ дэ — = бх, дхэ д х дт ду Затем составим дискриминант Р = АС вЂ” Вэ для каждой стационарной точки. 2) если Уи(Ро, Ьхы ..., Ьх„) является знакопсременной функцией Ьхы..., Ьх„, т, е, принимает как положительные, так и отрицательные значения, то точка Ро не является точкой экстремума функции и = 1(Р); 3) если дэи(Ро, Ьхы ..., Ьх„) > 0 или йэи(Ро, Ьхм..., Ьх„) < О, причем существуют такие наборы значений Ьхы ..., Ьх„, не равных одновременно нулиб для которых значение второго дифференциала обращается в нуль, то функция и = у(Р) в точке Ро может иметь экстремум, но может и не иметь его (в этом случае для выяснения вопроса требуется дополнительное исследование). В частном случае функции двух переменных достаточные условия экстремума можно сформулировать следующим образом.
Пусть Ро(хо, уо) — — стационарная точка функции х = 1 (х, у), причем эта функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки Ро и все ее вторые частные производные непрерывны в точке Ро. Введем обозначения: 218 Гл. 8. Дифференц. исчисление Я нкций нескольких переменных Для точки Р, д г дхг дг В= = — 3, дхду р =О, Р1 д г — О, дуг р Р=-9<0. Следовательно, экстремума в тачке Рг нет. д. ° ° В= = — 3, да а*ау „ аг А= — „=6, дхг р а' С= — =6, ду' Р=36 — 9>О, А>0. Следовательно, в точке Рг функция имеет минимум, равный г,„м = г,, = 1+ 1 — 3 = -1.
и=! Для того чтобы установить тип стационарной точки, нет необходимости использовать излогкенный выше признак, связанный с определением знаков Р и А. Достаточно непосредственно исследовать знак второго дифференциала как квадратичной формы ох и г1у, используя метод выделения полного квадрата. Так, например, для стационарной точки Рг имеем: тг '1 г(Рг, ''1х, г1у) = бах — 3лх лу+ 6Ну = 6 ( сух — Йу) + лу г откуда сразу видно, что при любых Их и гну, нс равных одновременно нулю, о~с > 0 и, следовательно, Рг — точка лгинимума. ~> Найти экстремумы функций двух переменных: 818у г хг+ху+уг Зх 8.188.
г = хуг(1 — х, — у) (х > О, у > 0). тз + Зуг + 49 50 20 8.190. г = ху + — + — (х > О, у > 0). х у 8.191. г = х + уг — 21пх — 18!пу (х > О, у > 0). 8.192. з = хз + Зхуг — 15х — 12у. 8.193. г = 2хз — ху + 5хг + уг. 8 194 г = (2хг+ уг)е ' +у ). 8.195 х = 2 — ~гlхг + уг э 3. Приложения щстн»лх производных Найти экстремумы функций трех переменных: 8198 „хг+(уг+хг 4х+бу 2х 8.197. и = хугхз(1 — х — 2у — Зх) (х > О, у > О, х > 0).
у х 2 8.198. и = х + — ' + — + —. х у Найти экстремумы функций з, заданных нелвно: 8.199". хг+ уг + хг + 4х — 2у — 4х — 7 = О. 8.200. 2хг+ 2уг+ хг + 8у — х+ 8 = О. 3. Условнъ»й экстремум. г1эункц»лл и = 1(Р) = У(хы ..., т„) имеет усвовныйг,максимум (условный,мятимум) в топе Ро(твом ..., хо), если существует такал окрестность точки Ро, длл всех точек 1' которой (Р ~ Ро), удовлетворлющих уравнениям связи 'Р».(Р) = ~Р»(хы ..., хв) = 0 (У = 1, 2, ...., т; т < л), выполнлетсл неравенство у(Ро) > у(Р) (соответственно у(Ро) < у(Р)). Задача нахожденил условного экстремума сводится к исследованию на обычный экстремум»))ункп»»и я1аэранж»» я1 Ь(хы ..., хв, Лд, ..., Ля,) = У(хы ..., хв) + ~ Л»~Р».(хы ..., хв); ду.(Р) =0 (1=1,2,...,л), дх, »я».(Р) = 0 (Л = 1, 2, ..., т), (4) иа которой могут быть найдены неизвестные хы ..., хя, Лы ..., Лял о о о о где хм ..., хн — — координаты точки, в которой возможен условный экс.о .о тремум .
Достаточные условии условного экстремул»а связаны с изу»енпем знака 2-го дифференциала функции Лагранжа длл каждой системы значений хо„..., хо, Ло, ..., Л",„, полученной пз (4) при условии, что дхы Дхэ, ..., »1х„удовлетворлют уравненилм дх =0 (9=1,'2, ...,и») (5) дэг»(х"„ ..., хв) я=» дху Л» (в = 1, 2, ..., т) называютсл множителями Лагранжа. Необходимые условия условного экстремума выражаютсл системой п + т уравнений 220 Гл.
8. Дифференц. исчисление функций нескольких переменных при дх1 + дхэ~ +... + г)х~~ ф О. А именно, функция У(Р) имеет условный максимум в точке Ро(хы..., х„), если для всевозможных значений о о пхы..., г1хн, удовлетворяюших условиям (5) и не равных одновременно нулю, выполняется неравенство лэ С(*дом ..., хо, Ло, ..., Ло„, 1.„..., 1.„) < 0 и условный минимум, если при этих условиях дэС(хооы ..., хо, Л'„..., Л", д. „..., г1х.) > О.
В случае функции э = у(х, у) при уравнении свнзи 1о(х, у) = 0 функция Лагранжа имеет вид С(х, у, Л) = У(х, у) + Лээ(х, у). Система (4) состоит из трех уравнений: д.С дŠ— =О, — =О, ~р(х, у) =О. дх ' ду Пусть Ро(хо, уо), Ло — любое из решений этой системы и О ~р',(Ро) р'„(Ро) р' (Ро) й" (Ро, Ло) С"„(Ро, Ло) р'„(Ро) У.,"„( „Л,) С'„'„(Р„Л,) Если й < О, то функция х = у(х, у) имеет в точке Ро(хо, уо) условный максимум; если й > О, — то условный минимум. Пример 4. Найти условный экстремум функции х = х + 2у при :го+уз =5. 0 Составим функцию Лагранжа: Цх, у, Л) = х+2у+ Л(ха+ уз — 5).
дЬ дЬ Имеем — = 1+ 2Лх, — = 2+ 2Лу. дх ' ду Система уравнений (4) принимает вид 1+2Лх=О, 2+2Лу = О, ха+уз = 5. 1 — ха=1, Система имеет два решения; х1 —— — 1, у| — — — 2, Л1 1 дэл дэс уэ — — 2, Лэ — — — —. Так как — = О, — = 2Л, то 2 дхду ' дуэ о'Ь = 2Л(дхэ + г(уэ). з 3. Приложения частных производных 221 г При Л = — я~А > О. Поэтому функция имеет условный минимум в 2 1 точке Р1 ( — 1, — 2) и г;„= — 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
