341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 32
Текст из файла (страница 32)
При Л = — — огх". < О. Поэтому функция 2 имеет условный максимум в точке Рг(1, 2) и г„,„„= 5. Или иначе: Эг(х р) = хг + уг — 5 ~р,' = 2у, ~р',( — 1, — 2) = — 2, у' =2х, д'„( — 1, — 2) = — 4, У,'„'„=1 при Л=-; ун =О, ха ун хх следовательно, Π— 2 — 4 — 2 1 Π— 4 О 1 = 20 > О, О 2 4 2 — 1 О 4 Π— 1 = — 20 < О, т.е, Рг(1, 2) — точка условного максимума. ~> Найти условные экстремумы функций: 8.201. я = хг + уг — ху + х + р — 4 при х + у + 3 = О. 1 1 8.202. г = — + — при х + р = 2.
у, у т,— у — 4 8.203. х = ,Г2 прит +у =1. 8.204. а = хуг при х+ 2у = 1. 8.205. г = 2х+ у при хг+ рг = 1. 8206 и 2х+у 2г при х2+у2+хг 36 2 2 2 8.207. и = х + у + г при — + — + — = 1. .2 2 2 Х У 16 9 4 8.208. и = хр~г~ при х + 2у + Зг = 12 (х > О, у > О, г > 0). 8.209.
и = хуг при х + у+ г = 4, ху+ ух + хх = 5. 8.210'. Доказать неравенство х~+у~+я х+у+г з > 3 3 еслих>0, у>О, г>0. т, е, функция имеет условный минимум в точке Р1 ( — 1, — 2). Аналогично для точки Рг(1 2) 222 Гл. 8. Дифференц. исчисление функций нескольких переменных 4. Наибольшее н наименьшее значения функции. Если функция у(Р) дифферснцирусма в ограниченной замкнутой области, то она достигает своего наибольшего (наименьшего) значения или в стационарной точке, или в граничной точке области. Пример 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции г = хг + рз — Зху в области О < х < 2, -1 < у < 2.
< Данная область — прямоугольник. 1) Найдем стационарные точки (см. пример 3): Р1(0, 0) и Рг(1, 1). Значения функции в этих точках: гг — — О, гг = — 1. 2) Исследуем функцию на границах области. а) При х = 0 имеем г = р~. Эта функция монотонно возрастает и на концах отрезка ( — 1, 2] принимает значения: г]„- 1 — — — 1, г]„-г = 8. б) При х = 2 имеем г = 8+ уз — бу. Найдем значения этой функции в стационарной точке и на концах отрезка ( — 1, 2].
Имеем г' = Зрг — 6; г' = 0 при у = 2, или, в данной области, при у = ~/2; = 8+ 2чг2 — 6Г2 = 8 — 4чг2; г]„=-г = 13; г]э=-г = 4. в) При у = — 1 имеем г = х — 1+ Зх и ' = Зхг + 3 > О. грункция монотонно возрастает от ]т-о = — 1 до г]х=г = 13. г) При р = 2 имеем г = ха + 8 — бх; г' = Зх — б; г' = 0 при х = чГ2; г], чг = 8 — 4~2; г]в=о = 8; г]в=г = 6. 3) Сравнивая все найденные значения функции, заключаем, что гнаио = 13 в точке (2, — 1); гнаим = — 1 в точках (1, 1) и (О, — 1), с' Пример 6. При каких размерах открытая прямоугольная ванна данной вместимости И имеет наименьшую площадь поверхности.
Найти зту площадь. < Ванна имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Пусть его изме- И рения равны х, у, г. Так как объем И = хуг задан, то г = —. Площадь хц поверхности ванны равна /1 11 5 = Ь'(х, у) = 2(хг+ уг) + хд = 2(х + у) — + хр = 21х ~- + — / + ху. ху Ь х] Задача сводится к нахождению минимума функции Я(х, у), причем по смыслу задачи х > О, р > О. Решая систему уравнений 2Г Я,'(х,р)=- — +у=О, хг 2И Я' (х, у) = - — + х = О, т ~ „г 'з 3.
Приложения частныл. производных 223 находим стдпионаььную то иьу хе = де = лУ2 ь . П1ьоверим выполненью достаточных условий минимума: з'ч(* р) = — 3з 'з'у(Х р) =,,/'д(Х, р) Следовательно, А = Я,",(К2~', К2Ъ') = 2, П = Уь (Я~7, Я~7) = 1 С = 5„"а((72~', ъ72Ъ') = 2, Й = .4С вЂ” Вг = 4 — 1 > О, Л > О Итак, функция Я(г:, р) имеет льинильуль прп х =. у = ь/2И; тогда я К2Т~ лз741 г 2 8.211. Найти наибольшее значение функпии я = х — 28 + 5 в областпх; а) х>0, у >О, х+у < 1; б)х<0, у>0, у — х<1. 8.212.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции х = хг + рг — хр — х — у в области х > О, у > О, х + д < 3. 8.213. Найти наибольшее и наименьшее значения функции я = хр в области хз + уг < 1. 8.214. Найти наибольшее и наименьшее значении функции я = хат в области хг + уг < 1. 8.215. Представить положительное число а в виде произведении четырех положительных сомножителей такз чтобы сумма их обратных величин была наименьшей. 8.216.
Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих данную сумму длин ребер 12а, найти параллелепипед с наибольшим объемом. 8.217. Найти прямоугольный параллелепипед с длиной диагонали д, имеющий наибольший объем. 8.218. Внутри четырехугольника найти точку, сумма квадратов расстояний которой от вершин была бы наименьшей. 8.219.
В полушар радиуса К вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема. 8.220. В прямой круговой конус с радиусом основания П и высотой Н вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема. 8.221. Из ессх треугольников с основанием а и углом и при вершине найти треу. ол..ььььк с ьыибольнкьй ььлоьаадыьь. 224 Гл. 8. Дифференц. исчисление функций нескольких пергменнык 8.222*. На эллипсе ж2+ 9у2 = 9 найти точки, наиболее и наименее удаленные от прямой 4т + 9у = 16. 8.223*. На эллипсе жэ + 4уэ = 4 даны две точки А( — ъ 3, О,бг) и Б(1, чг3гг2). На том же эллипсе найти такую третью точку С' чмгбы треугольник АВС имел наибольшую плошадь. 8.224. Определить наружные размеры закрытого ящика с заданной толщиной стенок е и емкостью (внутренней) г' так, чтобы на его изготовление было затрачено наименьшее количество материала. 8.225.
На плоскости даны и материальных точек Рг(хг, уг) !'2(ж2, у2), ..., 1о„(ж„, у„) с массами, соответственно равными тг, гп2, ..., гп„, При каком положении точки Р(х, у) момент инерции системы относительно точки Р будет наименьшим? 8.226". Точки А и В расположены в различных оптических средах, отделенных одна от другой плоскостью АгВг (рис. 27). Скорость распространения света в первой среде равна пг, во второй — п2.
Пользуясь принципом Ферма, согласно которому световой луч распространяется вдоль той линии АМВ, для прохождения которой требуется минимум времени, вывести закон преломления светового луча. Рис. 27 Рис. 28 8.227. Пользуясь принципом Ферма, вывести закон отражения светового луча от плоскости в однородной среде (рис. 28).
8.228*. Если в электрической цепи, имеющей сопротивление К, течет ток 1, то количество тепла, выделяющегося в единицу времени, пропорционально 1 Л. Определить, как следует развствить ток 1 на токи 1г, 12, ..., 1„при помощи и проводов, сопротивления которых Лг, 1?2, ..., й„, чтобы выделение тепла было наименьшим. 5. 1еометрические приложения частных производных. Кнеьгпельной. плогкоегпыо к поверхности в ее точке Ме (точка касания) называется плоскость, содержащая в себе все касательные к кривым, проведенным нз поверхности через эту точку. в 3. Приложения частных производных 225 Нормалью к поверхности называется прямая, перпендикуллрная к касательной плоскости и проходящая через точку касания. Если уравнение поверхности имеет вид Г(х, у, з) = О, то уравнсние касательной плоскости в тачке Ма(ха, уо, ха) есть рл(ха УО 0)(х хо) + су(хо~ УО ха)(у УО) + + ~Г(хо, уа, ха)(х — хо) = О (6) Уравнения нормали: х — ха у уа з ха (7) т,(хо Уо за) тт(хо, УО, за) т,(хо УО, зо) В случае задания поверхности в ланой форме а=у(х,у) уравнение касательной плоскости в точке Ма(ха, уо, хо) имеет вид х — хо = Х.'(хо, Уо)(х — ха) + 1„'(хо, Уо)(У вЂ” Уа), а уравнении нормали— хо У УО х за У.'(хо, Уо) УО(ха, Уа) — 1 П ример 7.
Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности хз + 2ут — Ззз + ху + ух — 2хх + 16 = О в точке М(1, 2, 3). З Обозначив через Р(х, у, з) левую часть уравнения поверхности, найдем частные производные и их значения в точке М: Е,'(х, у, г) = 2х+ у — 20, ~Г(1, 2, 3) = — 2; Г„'(х, у, х) = 4У + х + х, Е„'(1, 2, 3) = 12; Г,'(х, у, х) = — ба+ у — 2х, Р (1, 2, 3) = — 18. По формулам (6) и (7) имеем — 2(х — 1) + 12(у — 2) — 18(з — 3) = О, или х — бу + 9з — 16 = О -- уравнение касательной плоскости, х — 1 у — 2 г — 3 х — 1 у — 2 х — 3 — — или -2 12 -18 ' 1 — 6 9 — уравнения нормали.
С. 226 Гл, 8. Дифференц. исчисление функций нескольких перела;нных Особой точкой плоской кривой Дх, у) = 0 называется точка М(хо, уо), координаты которой удовлетворяют системе трех уравнений: У(хо, уо) = О, У,,'(хо, уо) = О, У„'(хо, уо) = О (8) Пусть выполнены условия (8), числа А = 1,,'',,(хо, уо), В = 1.'',(хо, уо), С = 1п'„(хо, уо) пе все равны нулю и Ь = з1С вЂ” Вз. Тогда: а) если Ь > О, то М -- изолироваянал точка (рис. 29); б) если дс < О, то М вЂ” узел 1двойния точка) (рис.
30); в) если дх = О, то М вЂ” — либо точка возврата 1-го рода (рис. 31) или 2-го рода (рис. 32), либо изолированная точка, либо точка самопрпкосновения (рис. 33). 1'вс. 29 Рвс. 30 Рис. 31 Угловой коэффициент й = у' касательной к кривой в особой точке находится из уравнения А + 2В/с + Скз = О. В случае изолированной точки касательной нет, в узле — две различные касательные; в точке возврата и точке самоприкосновения — одна обшая касательная к двум ветвям кривой. Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
