341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 29
Текст из файла (страница 29)
йх 8.115. Найти —, если х = хв, где х = )п1, у = в)п1. г1 8.116. Найти —, если х = агс18 —, где т, = ег' + 1, у =- ег' — 1. й1' йв Д2 8.117. Найти —, если и = — ', где х = е, у = 1п1, х = 1 — 1. й1 ' дх йх 8.118. Найти —, и —, если х = 1п (ех + еи), где у = -ха + х. дх йх' ' , ' 3 дв йв т+1 8.119. Найти — и —, если х = агсС8, где у = е1*« ~) . дх йх у дх дх г У 8.120. Найти — и —,, если х = иг 1п ю, где и = —, и = хг+уг. дх ду' ' ' х' 8.121.
Найти йх, если и = иго — оги, где и = хашу, и = у сов х. дх дх 2У 8.122. Найти — и †, , если х = ~(и, о)., где и = ' , т = дх ду ' ' х+у' = хг — Зу. г 8.123. Найти —, и —, если и = ~(и, о), где и = )п (х — у ), дх ду у = ху 8.124. Найти йх, если х = у1и, о), где и = сов (ху), и = ха — 7у. х /х 8.125. Найти йх, если х = ~(и, е), где и = в)п —, о = / —. У У 202 Гл. 8. Дифференц, исчисление функций нескольких лереиенных 8.126. Найти 4Ь, если и = )'(х, р, з), где х = зз+гз, р = аз — гз, з = 2ай ди ди 8.127. Найти —, и —, если и = 2 (х1, хз, хз, »4), где хз = дх4 д»2' = 9(х1, Т2),:г4 = п(х1, »2, хз) 8.128.
Показать, что фупкцин з = р ~р(соа (х — р)) удовлстводз дх з рлет уравнению — + — = —. дх ду р 8.129. Показать, что функция з = х~ ( — ~ — х — р удовлетвоУрд 2 2 дз дз 2 ряет уравнению х — + р —, = з — х — у . дх др р 8.136.
Показатго что функция х = 2 2 удовлетворяет у (:гз — У2) 1 дз 1 да уравненгпо + ° 2 ' хдх рдр у2' 1,4 1.3 , 2 8.131. Показать, что функции и = — х — — х' (р+ г) + -х, уг + 12 6 2 + у(у — х, з — х) удовлетворяет уравнению ди ди ди — + —, + —, = тув. дх ду дз дзв дз~ дзг 8.132. Найти †, , †,, сели з = ~(и, о), где и = ху, д»2' дхдр' ду-" ю = »/у. д2и 8.133. Найти —, если и = )'(х, р, я), где и = у(х, р). д» ду' 8.134. Найти все частные производные 2-го порядка от функции и = у (х, хр.
хрз). 8.135. Показать, что функция и =- х~р(х + у) + уФ(х + у) уд4 дзи дзи дзи влетворяет уравнению , — 2 в + , = О. д»2 дх др дуз 8.136, Показать, что функция и = ~р(ху)+ф ( — ~ удовлетворяет ~у/ 2о и зди ди ди уравнению х2 —, — уз —, + х — — у — = О. дхз ' дрз дх др 8.137. Найти о'и, сели и, = Я), где й = х + у + з". 8.138. Найти 4) и, сели и = у(ох, бр, сг). 8.139. Найти 4422, если з .= )'(и, и), где и = х юп р, и = р соя х. З 2. Дифференцирование гложных и неявных функций 203 2. Неявные функции одной и нескольких независимых переменных. Пугть уравнение г(сг, у) = О, где г' -- дифферснцируемая функция переменных х и у, определяет у как функцию х. Первая производная втой неявной функции у = у(х) в точке хо выражается по формуле с(у,г (хо Уо) с(х Ул(хо| Уо) (5) пр у~лавин, что у„'(:го, уо) ф О, где уо = У(хо): У(хо Уо) =- О.
Производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием формулы (5). С(СУ Ссгу Пример 4. Найти — и — ',, если ,Лхг ' 1+ ху — 1п(е'о+ е га) = О. <г Обозначим левую часть данного уравнения через с"(х, у). Тогда 2ус у,(х, у) — у Е~Л+ Сена' у„'(х, у) — т 2хе с'л Ч-е По формуле (5) получаем ду 2уе лл у Ых 2хс лл х Дифферснцируем вторично, учитывая, что у есть функция х: с(гу с1 у у ~ х(с1у)йх) — у у — х( — у/х) 2У ССХ2 ССХ 'с ХС х2 х2 хг' хо о о,о м=м' ~ (хс с (хо хоз хо ио) ~ О г е ио и(Мо) и Е(М, ио) = О.
Пусть уравненсие Г(хс,хг, ...,хи, и) = О, где Е диффсренцируемая функция переменных тс, хт, ..., х„, и, определяет и как функцию независимых переменных хс, хг, ..., хсс Частные производные зтай неявной функции гс = и(хс, тг, ..., х„) в точке М (х,, хз, ..., х„) вы,а о .о о числяются по формулам 204 Гл. 8. Дифференц. ис гисление функций нескольких переменных дР' дГ дг дŠ— дхг + — охг +... + — охв + — оу = 0 дхг дхг дх„ди и выражаем отсюда ои. дх дг Пример 5. Найти — и —, если дх ду' хг + 2уг + хг — Зхух — 2у + 3 = О. <з 1-й способ. Обозначим левую часть данного уравнения через г'(х, р, х). Тогда Г'(х, у, х) = Зтг — Зух, Р'(х, у, х) = буг — Зхх — 2, Г'(х, у, х) = Зхг — Зхр.
По формулам (6) получаем: де Г,'(х, у, х) Зхг — Зух дх Г,'(х, у, х) Зхг — Зху а* гг „Г. *) н' — з..* — г тг — ух ху г буг Зхг 2 ду г" (х, у, г) 3(ху — хг) Ззг — Зху 2- й с и о с о б. Пифференцируем панно е уравнение: Зхг г1х + буг ду+ З.г 4х — Зуег1х — Зхзг1у — Зху г1х — 24у = О. Отсюда выражаем дж 3(хг — уз) Их + (6уг — Зхх — 2) ф дав 3(ху — хг) где дг Сравнивал с формулой дг = — дх + — ду, получаем дх ду д- хг ух дг буг Зтз — 2 с дх ху — ' ' ду 3(хр — гг) с(у 8 140. Найти — ', если хгегц — угег* = О. г(х г(у 8.141. Найти —, если узиих — сов(х — у) = О.
г(» Можно также найти частные производные функпии и слсдуюгцим образом. Вычисляем полный дифференциал функции Е(хы хг,..., х„, гс), приравниваем его нулю: з 2. Дифференцирование сложных и неявных функций 205 Й Йгу 8.142. Найти — ', —,, если т + у = е* ". Йх Йх" Йг, 8.143. Найти —, —,, если х — у+ агсС8 у = О. Йх' Йхг' 8.144. Найти —, —, —,, если хг+ 2ху + Йт,,=1 Йтг ~ =1 Йхз а=1 а=1 у=1 +уг 4г+20 — 2=0 дх дг 8.145. Найти †, и †, в точке (1, — 2, 2), если г~ — 4ху + дх ду +уг — 1 = 0 дх дг ху 8.146.
Найти — и —, если х 1и (х + г) — — = О. д.с ду ' х 8.147. Найти — и —, если Г(х+ у+ х, т + у + х ) = О. дг дг г дх ду' дг дг 8.148. Найти — н †, , если ((ух, ех') = О. дх ду' 8.149. Найти Йн, если уг = агой (хх). 8.150. Найти Йх, если хх — е'уд + хз + уз = О. дг дн д х г г г 8.151. Найти —, —,, если х — 2у +х — 4х+2х — 5 = О. дх' ду' дхду' д~г д~з дгг 8.152.
Найти —,, —, если х + у + г = е'. дхг дх ду дуг 8.153. Найти Йгг, если — + — — —, = 1. аг 5г сг 8.154. Показать, что функция г, опредслнеман уравнением ~р(сх — ах, су — уг) = О, где ~р — — произвольнан дифференцируемая функция двух переменных, удовлетворяет уравнению дх дг а —, + 5 —, = с.
дх ду 8.155. Показать, что функции г, определяемая уравнением 'г (х — а сон сг) +(у — о.з1псг) = ~ ~, где а, сг, т — постоянные, удовлетворяет уравнению — + — =га. 206 Гл. 8. Дифсуеренц. исчисление функций нескольких лерелсеяяых 8.156. Показать, что функция х, определяемая уравнением у = = хср(з) + ф(х), удовлетворяет уравнению дзх ( дал) дз дз дзх дзх ( дал~ дхэ 'л ду/ дхдудхду дуз 'л дх/ 3. Системы неявных и параметрически заданных функций. Ограничимся расслютрением функций двух независимых переменных.
Пусть система двух уравнений Р(х,у,и,о) =О, С(х, у, и, о) = О (7) имеет решение х = хо у = уо и — — ио и о = оо, причем функции Р и С илсеют в окрестности точки Ро(хо, уо, ио, оо) непрерывные частные производные первого порядка и якобиан ди до дС дС В(Р, С) 1.с(и, о) и(хо, уо) = ио, о(хо, уо) = оо. Дифференциалы этих функций с1и и с1о (а значит, и частные производные) можно найти из системы уравнений дР дР дР дР— сЬ+ — с1у+ — ди+ — с1о = О, дх ду ди до дС дС дС дС вЂ” ссх+ — ссу+ — сси+ — ссо = О.
дх ' ду ди до П р имер 6. Функции и и о независимых переменных х и у заданы неявно системой уравнений и+о=х, и — уо=О. Найти с1и, 4о, сРи, сРо. В(Р, С) 1 1 а Якобиан системы ' = 1 — — — у — 1 отличен от нуля при Р(и, о) 1 — у у ф — 1. Дифференпированием находим два уравнения, связывающие дифференпиалы всех четырех переменных: сси+ с1о = сЬ, с1и — усЬ вЂ” ос1у = О. отличен от нуля в точке Ро. Тогда в некоторой окрестности точки Ро си- стема (7) определяет елинственную пару непрерывных функций и(х, у) и о(х, у), имеющих непрерывные частные производные и удовлетворяю- щих условиям з 2. Дифференцирование сложных н неявных функций 207 Решая эту систему относительно йи и йо при у з! — 1, получим ус!х+ оду йх — с>с!у йи= ', с!о= 1+У ! гу Дифференцируелс повторно: (йх. йу + сЬ йу)(1 + у) йу(у йх + о йу) (1+ у)' (йхйу+ (йх — ойу)сс(1+ у) с(у)(1+ у) — с!У(ус!х+ ойу) (1+ у)г (1+ у) йт йу + с!х йу — и йуг — У йх йу — о йуг 2(йх йу — йуг) (1+ у)г (1 + у)г — сЬ йу(1 + у) — йу(с!х — о йу) й о— (1 + у)' — (йх — оду)/(1+ у) йу(1+ (1+ у) — !хйу+ ой г — йхйу+о ! ' (! + У)г + ! г 2(о йуг — йх йу) — йп, с (1+ су)г Пусть функция г независимых переменных х и у задана параметрически уравнениями х=х(п,о), у=у(п,о), гс х(о,о) дх дх сг(х У) ди до 27(и, о) ду ду ди до фО дх — йи+ ди ду — йи+ до дх — йи+ дп дх — сЬ, до ду — йо, д дг — с!о.
до в окрестности точки Р(ио, оо). Тогда дифференциал йг зтой функции (а значит, н ее частные производные) в окрестности точки Р могкно найти из системы уравнений 208 Гл. 8. Дифферелц. исчисление функгслй нескольких пс ременных дх дх Пример 7. Найти — н —, если дх ду' х = исози, у = изили, х = си. о Имеем Р(х, у) соз и — и сйп и =иф0 прн ифО. Р(и, и) зспи исози Дифференцированием находим трн уравнения, свлзывасошнс дифферен- циалы всех пати переменных: с)х = совись — изспис)и, сСу= зсписСи+ исозисСи, сСз = ссйс Из первых двух уравнений найдем сси: соз и сну — з|п и сгх с1и = и Подставим найденное значение с1и в третье уравнение: с ссх = (соз и ссу — зсп и ссх). и Отсюда дв сзсп и дз с сов и с> дх и ду и 8.157. Функции у и х неаависимой переменной х заданы системой уравнений 7хг + уг З,г 1 4х' + 2у' — Зхг = О ссу с1х сс'у ссгх Найти —, —, —, прих=1, у=-2, х=2.
дх' с)х' с1хг' с1хг 8.158. Функции у и х независимой переменной х авданы системой уравнений хг + уг — хг = О, хг + 2у' + Зхг = 1. Найти сну, сЬ, сну, сага. 8.159. Функции и и и независимых переменных х и у заданы нелвно системой уравнений хи+ус = 1, х+у+ и+и = О. Найти Йи, с4и, псги, с1ги. ди ди ди 8.160. Показать, что х — +у — +х — = О, если ии = Зх — 2у+х, дх ду дх ог = хг+ г+хг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
