341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Ь2 7.455. Найти площадь фигуры, ограниченной параболами у2 = 4х и х2 = 4у. 7.456. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = = х2 + 2х и прямой у = х + 2. 7.457. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми у = 27 х2 и у = —. х2+ 0 7.456. Найти плшцадь фигуры, ограниченной кривыми у2 = 2 4 2рх и у2 (х р)3 (р > 0) р 7.459. Найти площадь фигуры, ограниченной окружностями .2+ 2 2 .2+ 2 2,2 и 7.460. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми у = аэ а2х а +х а +х — у — 2 2 и осью Оу.
7.461. Найти плошадь фигуры, ограниченной осью Оу, параболой (х — а)2 = 2р(у — 5) и касательной н ней в точке с абспнссой х=с (с>а>0, р>0). 7.462. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми у = =е* — 1, у=ее* — 3, х=О. 7.463. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = = 3+ 2х — х2 и осью Ох. 7.464.
Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у = = агсв1пх и прямыми х = О, у = я/2. 7.465. Найти плошадь верхней лунин, ограниченной онружностями хэ+ у2 = а2 и х2+ у2+ 2ау = а2. 3 б. Геоиг трн юскне прилоьтсннл определенного ш~теграла 167 7.466. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (х — 1) х х(у+2) =2 их+у=2. 7.467. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у = !их, касательной к ной в точке х = е и осью Ох. 7.468. Найти плошадь фигуры, ограниченной кривыми у .= = 1и (х + 2), у = 21п х, у =- О.
7.469. Найти плошади пав~дай из двух частей, ня которые круг х~ + ух . 2ах разделен параболой уз = 2их — а~. 7.470. Найти плошадь лунки, ограниченной гиперболой х~— '3 — у = и н паоябоаой у" =- -их. с з 2 7.471. Найти плошадь гиперболического сегмента с высотой л и основанием 2г (действительная полуось гиперболы равна а). 7.472. Найти плошадь фигуры, ограни инной кривой азуз = — и се асимптотой. 2о, — т, 7.473. Найти плошадь фигуры, ограниченной линиями хз— — уз = аз, (хз — аз)зу" = л" н осью О:г (х > О). 7А47.
Найти плошади 1югкдой пз двух частей, на которые круг хз + уз -.' 2ах раадшюп гиперболой 4х~ — Зу~ = аз. 7.475. Найти плошадь эллиптического сегмента с высотой й и основанием 2г (болыпзн полуось эллипса равна ач основание ссгмснга параллельно малой оси). 7.476. Найти плошадь фигуры, ограниченной кривыми у = 2,. О' и-х — — —,, у =- - — и оп ю От.. гг 1д.г: и.з+х' 7.477. Найти плогцадь фигуры, ограниченной кривой уэ = , .4 =- —;,— — и се ясимптогямн. и' г2 7.478. Найти плошадь фигуры, ограниченной встраивай х = = л гав' 1, у =- ив(п й 1 7.479. Найти плошадь пгтлц крнвои х = — 1(3 — г'), у = гз. 3 7.480.
Найти плошадь фигуры., ограниченной одной аркой ци- клоиды г:= 2(1 — яш1), у = 2(1 — соч1) и осью О:г. 7.481. Найти плогцядь петли кривой х = и(;~+ 1), у =- 6(!з — 31). 7.482. Найти плошадь пот:ш кривой х = 21 — г', у =- 2г' — аз. 7.483. Найти площадь фигуры, ограни и:иной кардиоидой ~ = =- а(1+ э1пу). 7.484.
Найти плогпадь одного лепестка кривой ч =- аяш2у. 7.485. Найти плошадь фигуры, ограниченной кривой г = азшбр. 168 Гл. 7. Интт грэ. ~ьяос ис ьислснис функций одной переменной 7.486. Найти плоьцадь фигуры, ограниченной кривыми т = а Ьй ~р аес р, г == 2а соа ~д и полярной осью. 7.487. Найти площадь фигуры, лежащей в первой четверти, а ограниченной кривыми г = а ь8 д, г = — и полярной осью.
соа ьо 7.488. Найти площадь фигуры, ограниченной двумя последовательными витками логарифмической спирали г = с~, начиная с д = О. 7.489. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми гз =- =- 2 ~ ь 2ьо. г =-- ! (~,. 1). 7.490. Найти площадь фигуры, ограниченной кривь й г = асовЗ~р. 7.491. Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли ьд = о~ в(п 2чт.
7.492. Найти ппощадь фигуры, ограниченной оыруькностьиь г = = ~!3 виппер и кардиоидой ь = 1 — сов ~р (вне кардиоиды). 2. Длина дуги кривой. Если гладкая кривая задана уравнением д = = т' (х), то длина ( се луги равна ь где и и Ь вЂ” абсциссы концов дупс Если ке кривая задана параметрическими уравнениями х = х(ь), 9 = 9(Г) (1ь < 1 < ьо), то ~ = l /Б?Р+ЬЛ'18 и Аналогично вырах астся длина дуги пространственной кривой, заданной параметрическими грани<пнями х =- х(,'), д = П(ей х = (Ь), "ь~~ьв. и ~ = ~,у(х.',)т+ (д,)в+ (=')ей. Если задано полярное уравнение гладкой кривой г = г(ьт), о < < д ь', ~3, то д 1 = / ь/~-+(г') ь6,с.
О Ц 6. Нсоистри и скис гцоиложснил опуидслсииого иитспралл 169 р=т,',7/ = — х — а1т ~,!,!2 4 9 4 2 ( 9 )/1+ тех = — — ~ 1+ — т) = — (10~/г10 ц 4 9 31, 4) о Пример 7. Найти длину астроилы х =- асоаа1, 9 = иаш 0 Имеем; х', = — Засов'1вш1 1Ь = Загбп 1 соей иут 1 1 о 1" Г соат 1 61 =- г/2 л!2 сбп 1 За За 2 2 = За а1пгсоа|аг о откуда 1 = ба, с П р и и с р 8. Найти длину кардиопды г = а(1 — соа д) (а > 0).
° о Имеем: г .= аешь, = а ь~2(1 — сов;а) г1л .= 2а ~ а1п — Ар = 4а, — — д ,/ 2 0 о откупа 1 = 8а. с 7.493. Найти длину дуги параболы у = та от х = 0 до:г =- 1. ! 7.494. Найти длину дуги кривой 9 = — (3 —:г) ь(х между точками 3 ее пересечения с осью Ох.
8 7.496. Найти длину дуги полукубической параболы П = — х 27р х (х — р)~, лежащей внутри параболы дй = 2рх. 7.496. Найти длину дуги кривой 9 = а1п(ат — х2) (и . 1), лежащей вьппе оси Ох. П р им е р б. Найти длину дуги полукубпческой параболы уа = ха ат начала координат до точки (4, 8). 4 Имеем: 170 Гл. 7. Интегральное исчисхгнио фуяьпий одной туро:,ниной 7.497. Найти длину замкнутой кривой 8аауз = хх(из — хз). 7.498*. Найти периметр лунки, образованной окружностями: хг. + уз = 2ах и хз + уз = 258 (а > 5 > О).
1 7.499. Найти длину дуги цепной линии у = — с?г 2х от х == О до х = 3. 2 хх 1 7.500. Найти длину дуги кривой у = — ?паш — от т, х 2 2 3 до х = — . 2 г 7.501. Найти длину дуги полукубпчсской параболы у = — х г р х (х — р), отгекяемой прямой х .= 2р (р > О). 7.502. Найти длину дуги кривой:с =- о(Зсояе — соя 31), у = =- а(3 яш? — вш',И) от 1 = О до Е =- — (и > О). 2 7.503. Найти длину дуги кривой х = ес соя1, у =- < яш1 от 1= 0до1=1. /1 7.504. Найти дчпну петли кривой х =- 1~, у =- 1 ~ — — А. (,,3 ! 16 на Т.505. Найти длину луги кривой х = —, у = 2 -- — между 6'" 4 точками ес перегечешш с огпмп координат. и 7.506. Найти длину петли кривой х =- а(1в +! ), у ==;-(1 — 31) 3 (а > О).
7.507. На циклопде х = и(К, — вша), у = а(1 — сгж1) найти точку, которая делит длину первой ярки пнклоиды в отношении 1:3, считая от начала коордшгат (и > О). 7.508. Найти длину дуги логарифмической спирали г = г"'"', находшпейся внутри окружности г .= 1 (н > О). 7.509. Найти длину дуги гщрдпоиды г =-. 2(1 — сов р), паходящеугсгг внутри окружности г =- 1. 7.510 . Найти длину всей кривой г --= асов' .,— (а > О), * зМ 3 7.511.
Найти длину дуги сгшрзли Архимеда г = бр, находящейся внутри окружности г = 10х. Т.в12. Найти длину всей кривой г =- ивш — (о > 0), г ! чо 4 Найти длины дуг пространственных кривых: 7.513. х = аР. у = а 1+ — ?з), г =- п ~~1 —;-1х) от 1 = О до 3) ~ 3) 1=- '3 3(и О) з б. Геометрические приложения определенного интеграла 171 7.514. х = е' сов 1, у = е' с4п1, х = е' между плоскостями г = 0 на=а 1а>0). 7.515. хз = 4у, 9зз = 16ху между плоскостями х = 0 и х = 4. 7.516. х = аДсов1, у = аДвш1, г = а1 от 1 = 0 до произвольного 1 > 0 1а > 0). 7.517.
х = 1 — аш1, у = 1 — соа1, х = 4 сов — между двумя точками пересечения кривой с плоскостью Охх. 3. Площадь поверхности вращения. Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги кривой, заданной функпией у = Дх), а < х < б, вычисляется по формуле Если дуга задана параметрическими уравнениями х = х(г), у = = У1г), 1( (1 ( 1ж то И О,=2 ~рфф*Я~ +(у'(~(( /е Если дуга задана в полярных координатах г = т((р), о < (р < (3, то Если дуга кривой вращается вокруг произвольной оси, то площадь поверхности вращения выражается интегралом 1З = 2х/ ЛсИ, где Л вЂ” расстояние от точки на кривой до оси вращения, /У вЂ” дифференпиал дуги, А и  — — пределы интегрирования, соответствующие концам дуги.
При атом В и (11 должны быть выражены через переменную интегрирования. П р и м е р 9. Найти площадь поверхности, образованной вращением астроиды хауз + утуз = ат/з вокруг оси Ох. 172 Гл. 7. Интегразьнос исчисление функций одной переменной < Имеезл: ( аг/з л/з)з/г (аг/з л/з 1/г, -1/з 3 ,, / 2 ' (а /3 т2/з)1/2 а2/3 22/3 а1/3 1+ х2/3 )х!1/3 ' Следовательно, д = 2 2л ~ (аг/1 — хг/з)з/г г(х = ' х1/3 о = 4 а(/3 /( ( г/з,г/з)3/г, -1/з л, а )З Ф * 2 3 'аг/3 — хг/3)з/г Г2 = — 41га / — = — ка . С.
2 5/2 о 5 П р и и е р 10. Найти площадь поверхности, образованной вращением одной арки циклопды х = а(1 — яш/), р = а(1 — соя!) вокруг оси Ох. сз Имеем: х', = а(1 — соя1), рг' = аяп1, 2(1- К) = 2 2 Отсюда гч Я, = 2к / п(1 — соя1) 2аяп — (11 = 2 о гз = 8)га ) яп — ((1 = 8з.а ) ~1 — соя — /1 яп — г/г = 2 /(,2)2 о О 2 / 1 сояз (1/2) 1 ' 64 = -16лаг (соя —— ) = — ла. 1> 2 3 ) о 3 П р и м с р 11. Найти площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды г = 2а(1 + соя(р) вокруг полирной оси. а Имеем: г' = — 2ая)п(р, = 4асоя —, (р 2' я 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
