341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Найти статические моменты относительна осей Ох и Оу всей дуги окружности г = 2а сов у, лежащей выше полярной оси. 180 Гл. 7. Интегральное не численно функций одной переменной х 7.551. Найти центр масс дуги цепной линии р = асЬ вЂ” (О < а <х<а). 7.552. Найти центр масс всей дуги астроиды х = асояз1, у = = аяшя1, расположенной выше оси Ох. 7.553. Найти декартовы координаты пснтра масс дуги кардиоиды г = а(1+ соя ~р) (О < ~р < л). 7.554. Пользуясь теоремой Гульдена, найти центр масс дуги астроиды х = а соя 1, П = а я)п' 1, лежащей в первой четверти.
2. лоизические задачи. Некоторые примснснин определенного интеграла прн решении физических задач иллюстрнруютсн нике в примерах 4-7. П р и м е р 4. Скорость прнмолинсйного движении тела выражаетсн формулой с = 21+ ЗР (л~/с). Найти путь, пройденный телом за 5с от начала движения. З Так как путь, пройденный тслом со скоростью с(1) за отрезок времени [глг1з), выражаетсн интегралом и Я = ~с(1) ое, то имеем; Н = / (21+ Зез) Й = (1~ + 1~) [ = 150 м. С о Пример 5.
Какую работу необходнлю затратить длн того, чтобы тело массы т поднять с поверхности Земли, радиус которой Л, на высоту й? Чему равна работа, если тело удаляется в бесконечность? а Работа переменной силы 7" (х), действуюшей вдоль оси Ох на отрезке [а, Ь[, выраалаетсн интегралом л А = [ у(х) дх. й Согласно закону всемирного тнготснин сила Г, действующан на тело массы т, равна тЛ4 Л' = й —, лл где Л1 — — масса Земли, г — расстояние массы т от центра Земли, й —— гравитационная постонннан. Так как на поверхности Земли, т.с.
прн паЫ г = В, имеем Л' = тд, то моа ем записать гпд = й —. Отсюда находим Лз 182 Гл. 7. Интегральное исчисление функний одной' переменной н кинетическая знергия конуса равна К= — и-~НЯы. с 4 а 20 При мер 7. С какой силой жидкость плотности 7 давит на вертикальную треугольную пластину с основанием а и высотой Ь, погруженную в жидкость вершиной вниз так, что основание находится на ее поверхности? з Согласно закону Паскаля сила Р, с которой жидкость плотности у давит на площадку Я прн глубине погружения Н, равна Вводя систему координат, покаРис.
26 ванную на рис. 25, рассмотрим элементарную прнмоугольную площадку, находящуюся на глубине х н имеющую основание б и высоту с(х. Из подобия треугольников САН и СРЕ имеем Ь Ь вЂ” х о т. е. Ь = — (Ь вЂ” х), а Ь Ь следовательно, а с1Е = Ь дх = — (Ь вЂ” х) с1х, Ь ЙР = удх ЙБ = — (Ь вЂ” х) Нх. 7дах Ь Таким обрааом, сила давления жндвости на всю пластину равна уда ,уда /Ь~ Ьз '1 удай~ Р = ~йР= — ( х(Ь вЂ” х)с(х = — ( — — — ~ = . с Ь / Ь 1,2 3/ 6 7.555.
Скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью оо, без учета сопротивления воздуха равна о = но — д1, где 1 — протекшее время, д — — ускорение свободного падения. На какую максимальную высоту поднимаетсн тело? 7.556.
Точка оси Ох совершает гармонические колебания около начала координат со скоростьи> о = ео соа (ш1 + ~р), где 1 — время, но, ш, <р — постоянные. Найти закон колебания точки и среднее значение абсолютной величины скорости за период колебаний. 7.557. Два тела движутся по одной и той же прямой: первое со скоростью е1 = 312 — 41 (м/с), второе со скоростью е2 = = 4(1+ 3) (м/с). Если в начальный момент они были вместе, то 'З' 7.
Прпломггпия определенного интеграла 183 в какой момент и на каком расстоянии от начала движения опи опять будут вместе? 7.558. Скорость движения точки о =- 0,11с о оэ' (м/г). Найти путь, пройденный точкой от начюш двилсснип до полной остановки (п(Ь) = О). 7.559*. 11акук~ работу надо звтрвтитго чтобы растапуть пру. жину на 5 см, если сила в 1Н растягивает сс нв 1 ем? 7.560. Вычислить работу, которую надо затратить, чтобы насыпать кучу песка конической формы с радиусом основания Л и высотой Н. 1!лотность песка у. 7.561.
Вычислить работу, которую надо затратить, чтобы зыка шть жидкость плотности ч из котла, имеющего форму парвболоида вращении, обращенного вершиной вверх. Радиус основанпл Л, высота Н. 7.562. Вычислить работу, которую надо затратить при постройке пирамиды с квадратшвм основанием. сели высота пирамиды У, сторона основания а,, плотность материала у. 7.563. Вычислить работу, которую надо затратить, чтобы выкачать ягидкость плотности у из резервуара, имегошшо форму конуса, обрашснпого вершиной вверх.
Радиус основанпп Л, высота Н. 7.564. Вычислить работу, которувэ надо затратить, чтобы выкачать жидкость плотности 'у из пистсрны, ограниченной поверхностпмп: йз =- 2рз, .г =-+а, з = р (р > О). 7.565*. Элсктричсскпи зарод ео, сосредоточенный в начале координат, отталкивает зарод е из точки 1а, О) в точку 16, О). Определить 1аботу А силы отталкивания Г. Чему равна работа при удалении парада е ь бссконечн(н ть? 7.566*. Цилиндр с подвижным поршнем заполнен паром объема 1'о = 0,2м' с упругогтью ро = 10330 Н/мз.
11акукз работу надо затратнтго чтобы при постоянной температуре (изотсрмичсский пропссс) г.бъсм пара уменьшить в 2 раза? 7.567*. Определить работу, произведенную при адиабатическом сжатпп воздуха, имекппего начальные объем го =- 8 м' и давление з ро = — 10000 Н/мэ до объехи 1~~ =-. 2 м'. 7.568. Найти кинегпческую энергию однородного шара радиуса Л и плотности у, вращающегося с угловой скоростьн> ы вокруг своего диаметра. 7.569. Найти кинетическую энергию пластинки, имеющей форму параболического сегмента и врашаюшейсп вокруг осп параболы с постоянной угловой скоростьн~ ы.
Основание сегмента а, высота Ь, толщина пластинки с1, плотность материала у. 7.570. Найти кинетпческун~ энергию треугольной пластинки, врашающсйся вокруг основании с угловой скоростью ы. Основание пластинки и. вылета 1к толшпнз 1, плотность у. 184 Гл. 7. Интег!лениное исчисление функций одной переменной 7.571. 11айти кинетическую энергии) однородного кругового цилиндре плотности? с радиусом основяниа Л и высотой О, вращв1ошегося с угловой скоростьн> ол вокруг своей оси. 7.572.
С какой силой жидкость плотности 7 двгьит иа вертикальную треугольную плвстинку с основвнием а и высотой Б., погруженную в нее так, что вершина находится нв поверхности, в основание паряллельно поверхности? 7.573. Конец трубы, погруженной в жидкость плотности 7, закрыт круглой заслонкой. Определить силу давления нв заслонку, если сс радиус Л, а центр няходитсл на глубине О. 7.574. Найти силу, с которой жидкость плотности 7 давит на всртиквльную стенку, имеющую форму полуэллипса, большая ось которого находится ня поверхности жидкости.
Ьольшвя полуось эллинов оч малов !л. 7.575. Нвйти силу давлении жидкости плотности у, заполняющей круговой цилиндр, нв боковые стенки цилиндре, если радиус основании Л, высота Н. 7.576. Найти массу стержни длины 1 = 5м, если линейнан плотность стержня мениетса по закону у = 1 + 0,1тэ (кг/м), где т — рвсстонние от одного из концов стержня.
7.577'. Няйти количество тепла, выделяемое переменным током 1 = 1о сокол! в течение периоде 2п/ол в проводнике с сопротивлением Л. 7.578*. За какое времи вода, няцолншощан цилиндрический сосуд с площвдью основания Я = 100смл и высотой Н = 20см, вытечет через отверстие нв дне площвдью Яо = 1 ем~? 7.579*". При установившемся лвминарном (струйном) течении жидкости через трубу круглого сечения радиусе а скорость течении е в точке, находящейся на рвсстоянии г от оси трубы, даетсн Р формулой о =- (а — г ), р — ркзность дявлений жидкости нв 4!л! люнпвх трубы, !л — вязкость в1идкости, ! — — длина трубы. Определить расход жидкости Ц, т.е. объем жидкости, протекающей через поперечнос сечение трубы в единицу времени.
7.580'. С какой силой полукольцо радиуса Л и массы М притягивает мвтериальную точку гп, находлщуюсп в его центре? 7.581. За какое времн иода вытечет из конической воронки, имеющей высоту Н = 50см, рвдиус верхнего основания Л = 5 см, радиус нижнего основании г = 0,2 см? 7.582. Определить рвсход жидкости через водослив прямоугольного сечения. Высота водосливв Ь, ширина о, вязкость жидкости !л.
Глава 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ В 1. Основные понятия 1. Понятия функции нескольких переменных. Всякий упорядоченный набор из п действительных чисел хы ..., хо обозначаеття (хы ...., х„) или Р(х,, ..., х„) и называется точкой п-э1ерного арифметического пространства К", числа хо,..., хо называютгя координатами точки Р = Р(х,,..., хл). Расстояние между точками Р(хы ..., х„) и Р'(х',, ..., х'„) определяется формулой р(Р, 1") = Пусть ьу С К" — произвольное множество точек и-мерного арифметического пространства. Если кавшой точке Р(хы ..., х„) ч 1У поставлено в соответствие некоторое вполне определенное действительное число у(Р) = у(хы ..., хо), то говорят, что на множгютве 0 задана числовая функция у; К" -у К от и перемевныт хы ..., х„. Мне'вегтво Р называется областыа определения. а множество Е = (н к К/ и = у"(Р), Р е О) — областью значений функции и = „Г(Р).
В частном случае п = 2 функция двух переменных а = у(х, у) может рассматриваться как функция точек плоскости в трехмерном геометрическом пространстве с фиксированной системой коордшшт Олух. Графиком этой функции называется множество точек 1' = ((х, у, г) Е К ~ е = У(х, у) ), представляк~шее собой, вообше говоря, некоторую поверхность в Кэ. Пример 1.
Найти область определения функции у г = агсв1п —. х О бэункция определена при — 1« 1, хфО. 186 1'л. 8. Диффересгц. нс пссжнне функций нескольких переменю.к Слековательно, — т < у < х при х ) О н х < у < — х при х < О. Область опредс ленин функции пзобрагкена на риг. 26 (солергкит границы, за исключением начала координат). С> х' — ут Пример 2. Пусть /(х, у) = ху /1 Найти /(3, — 2), /(у, х) / ( ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
