341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 34
Текст из файла (страница 34)
до 1 = 1432,5, — = — лгд = 599,74 и — = -ага = 235,5. Примсннн фордг 3 ' дй 3 мулу (1), получаем предельную абсолютную погрешность дв до до — Ь + — Ь + — Ь| = 26 06 см'. г д 7 Прсдельнан относительная погрешность может быть определена из равенства 26,1 б, = — ' = 0,006. 4498 Таким образом, о = 4498 ж 26,1 см~. с Доказать следующие утверждения: 8.289*.
Предельная абсолютная погрешность суммы равна сумме предельных абсолк~тных погрешностей слагаемых. 8.270*. Предельная относительная погрешность произведения равна сумме предельных относительных погрешностсй сомножителей. 8.271*. Прсдельнаа относительная погрешность и-й степени в п раз больше предельной относительной погрешности основания. 8.272*. Предельная относительная погрешность частного равна сумме предельных относительных погрсшностей делимого и делители. 8.273'. Предельнан абсолютнан погрешность Ь„а произведении ио удовлетворнет соотношснию Ь „= Ь„о+ Ь„и. 234 Гл. 8. Днффсренц. начисление функций нсскачьлих персьюнных Произвести указанные действия над приближенными числами, в которых все десятичные знаки являются верными в узком смысле: 8.274.
130,6 + 0,255 + 1,15224 + 41,81 + 11,8216. 8.275. 17,83 + 1,07 + 1,1 10~. 8.276. 153,21 — 81,329. 8.277. 61,32 — 61,31. 8.278. 35,2 1,748. 8.279. 65.,3 78,5. 8.280. 7,6: 2,314 8 281 170.5 8 282 40 5з 8 283 ь/54 71 8.284. При изменении радиуса круга с точностью до 0,5 ем получилось число 12 ем. Найти абсолютную и относительную погрешности площади круга. 8.285. Определить абсолютную погрешность десятичного логарифма положительного прибли'венного числа ж, вычисленного с относительной погрешностью б. 8.286. С какой предельной абсолютной погрешностью следует измерить стороны прямоугольника а 4м и 5 5м, чтобы его площадь Я можно было вычислить с точностью до 0,1 м~? а Имеем д = иб и,ЬЯ = 0,1.
Предполагая рваными слагаемые в формуле (1), получим дн Ь» Ь„ — Ь, = —, откуда двь * =. * =.~д,йл.~ (принцип равных влияний). Поэтому, вычисляя частные произдд „ дд водные — = б = 5 и — = и = 4, найдем, что до дб 0,1 0,1 Ь, = — ', = 0,01, Ь, =- — ' = 0,0125. 2 5 ' ' 2 4 Распределяя число 0,1 в формуле для Ь, между двумя слагаемыми не поровну, в кзк-нибудь иначе, получим другие значения для Ь„п Ьм обсспечивзюшис, однако, все ту жс предельную абсолютную погрешность. с 8.287. С какой абсолютной погрешностью следует измерить сторону ж квадрата, чтобы определить плошадь этого квадрата с точностью до 0.001 мэ, если 2 м ( ж ( 3 м? 8.288.
Вычислить плотность алюминия, если алюминиевый цилиндр диаметром 2 ем и высотой 11 ем имеет массу 93,4 г. Относительная погрешность измерения длин равна 0,01, а относительная погрсптность определения массы равна 0,001. 8.289. С какой точностью следует определить радиус основания Л и высоту тт' цилиндрической банки, чтобы ее вместимость можно было определить с точностью до 1%? Э 4.
Приближенные числа и действии над ними 235 8.290. С какой точностью следует взять приближенное значение угла ч: 25', чтобы найти значение э1пх с четырьмя верными знаками в узком смысле? 8.291. С каким числом верных знаков в широком смысле следует взять значение аргумента х — 2, чтобы получить значение функции 9 = е* с точностью до 0,001? 8.292. С каким числом верных знаков должен бгпть известен свободный член уравнения хэ — 2х+182 = О, чтобы получить корни этого уравнения с четырьмя верными знаками в узком смысле? 8.293.
Требуется измерить с точностью в 1% площадь боковой поверхности усеченного конуса, радиусы оснований которого = 2 м и — 1м, а образующая = 5 м. С какой точностью нужно для этого измерить радиусы и образующую и со сколькими знаками нужно взять число х? Глава 9 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В 1.
Двойной интеграл 1. Свойства двойного интеграла и его вычисление в декартовых првмоугольных координатах. Пусть функция у(х, у) = )(Р) определена и непрерывна на замкнутой ограниченной области С плоскости Оху, о = (йа), Лоэ, ..., )лов) — - некоторос разбиение области бу на элементарные подобласти гное, плошади которых тапки) обозначим через д) оь, а диаметры -- через де, Зафиксируем точни Ре е )лоь, 1) = 1, ..., п.
Вырагаенпе ~а = ~~'„У(Рь) )аое ь=! называетсн интегральной суммой для функции у(Р) по области С. Если сушествует предел последовательности интегральных сумм Яв при шах де — ~ О (при этом и — е со) и если этот предел не зависит ни !йь<л от способа раабиенил области С на элементарные подобласти г1оь, ни от выбора точек Рь б Ьоь, то он называетск двойным интегралом от функции у'(х, у) по области С и обозначаетсп через Д у(х, у) дх ду. с Таким образом, ) Л*,р)воФ~= В т де,)л, ша» ле -) о в е-1 Для двойного интеграла справеллнвы свойства линейности и аддитивности (см. задачу 9.1).
Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению повторных интегралов следуюшим способом. Пусть область С (рпс. 37) ограничена кривыми у = )))) (х), у = )рэ(х), х = а, х = Ь, причем всюду на [а, Ь[ функции )е) (х) и )рэ(х) непрерывны и )р)(х) ()рэ(х). Тогда е е2)л) ~Лс,,)~..Ь =) ).. )" )).,))Ф, и Е))л) 31. Двойной интеграл 237 причем сначала вычислпстсп внутренний интеграл по переменной у (х параметр), а полученный результат инитрпрустсо по х. Заметим при Рнс. 37 Ри 38 у, (х) прп а < х < с, Ю (х)= ьт, ~(х) прп с < х < Ь, то интеграл справа заппсываетсп в виде суммы двух интегралов них) с чг12) ь иг(х) г1х ~ 71х, у) ду.= / дх ~ г(х, у) г)у -Ь / Нх / 7'(х, у) Пу.
и н,1т) т'," ~*) в "'(ы Аналогично, если область С ограничена кривыми х =- уй(у), х = = ув(у), у = с, у = г1, причем вскзду на [с., (([ функции ф~(у) и грт(у) непрерывны и уч(у) < Уфт(у) (рис. 38), то еыг1 Дх, у) дхЙу = / ду / ((х, у) г1х. (2) с Двойной интеграл, представленный в виде (1) птп (2), называется также повторным интегралом. П р пл~ ер 1. Расставить пределы интегрирования двумя способами И.,т и вычислить двойной интеграл 7 = Д вЂ”,, П.г г1у, если область интегриу 1 ровьиип С ограничена линилми у =:г, у = —, х = 2. этом, что если кривап ~р~ (х) (или крнвал да(х)) в промыкуткс а < х < Ь задается разными аналитическими выражениями, например, 23 З 1. Двойной интеграл область С ограничена кривой М%:хз при — 1 < х < О, 1 — х при О<х<1, а снизу — прямой у = О.
Позтому имеем о,Гс- т й | С!*,и!~!=|в | Х!г,и!!!-!|!: |у!*,!!р! — о о о о /! я 9.1. Пользуясь определением двойного интегр., д ег ала доказать слслуюшие его свойства: а) линейность: |!са,р!+а(ь.~))с'о=|/сз,йс*ю~ ||М..ес.о С С и ! ч х ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 ЛУ(х, у) дхс1у = Л У(х, у) с1хс1у (Л Е К); С С б) аддитивностгк если С = Сс ' ' С2, С !!С то | 11х у)с1хс19= 21х, у)дхс1у+ 11х, у)ссхссу. С с ! Св Вычислить повторные интегралы: О асовд — в/2 О ! 9,2.
сЬ (х + у) с1у. о о 3 5 9.4. с1у г в/2 2иму 9.6. с1!р гз й . '2 хЛ 9.3. ссх о х в/2 аП+сов р1 9.5. с1!р г с1г. Гл. 9. Кратные интегралы 240 Для данных повторных интегралов написать уравнения кривых, ограничивающих области интегрирования, и построить вти области 2 х+3 1 2-х 2 9.7. с?х у(х, у) с?у. 9.8. с?х у(х, у) с?у. — ! х2 2 \/4 У 1 ъс2 — х~ 9.9. с?у ~(х, у) с?х. 9.10. с?х Дх, у) 1?у. О 2 — У сх Для указанных ниже областей С записать двойной интеграл Г у(х, у) ссхсту с в виде повторных, взятых в различных порядках: 9.11.
С вЂ” прямоугольник с вершинами А(1, 2), В(о, ), С(5, 4), В(1, 4). 9.12. С вЂ” параллелограмм, ограниченный прямыми у = х, у=х — 3, у=2, у=4. 2 2 2о2 х2 9.13. С вЂ” область, ограниченная кривыми х +у = 2и, х = ау (о > О, у > 0). 9.14. С вЂ” - область, ограниченная кривыми у = ах, хз+ у2 = = 2ах, у = 0 (а > О, у > 0). 9.15. С вЂ” область, ограниченная кривыми х2+ уз = ах, х2 + +у2=2ах, у=О (а>0, у>0). 9.16. По какой переменной взят внешний интеграл в повторном интеграле хз у'(х, у) сну сЬ 1 — сх и какова область интегрирования.
? Изменить порядок интегрирования в следующих повторных интегралах: Е -З-ЬчТз гЬ4 —. ' 1(х, у) 4у 9.17. с?х — 2 — З вЂ” Лг 1.4 -х2 241 з 1. Двоииои интеграл г 4 г/СŠ— хг 1 1-9 , 19 ду /(х ),1,, 9А9. /х 1(х, У) ~У 9,4-г — 1 уг — 1 1 У 3 9.20. сСУ ./(х У) ох+ Р г /9 1 уг/9 2 (хе2)/2 19/3 Сх+2)/2 9.21. (х 1(х, у) '1У+ — 2 О 2,/хг а а+ух -х l г г 9.22. 1х 1( У) Ф. О г/2ах-хг уг /2 9,23. с/У /(х У) ссх. 2 уг — 1 3 9 10 — х 9.24. Йх /(х У) сгу+ 3 9/х 7 9/х а а а 9.25. Показать, что Их,/(х, у) ссу = / У /( с/ /(х, у)дх, и, о о о и пользуясь этой формулой, доказат ф р у ть фо м лу Дирихле х с 1(у) Ь = И вЂ” у)1(у)/у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
