341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 37
Текст из файла (страница 37)
45 Рис. 46 Рис. 47 ~р (долгота), 0 (широта) (рис. 46): х = гсоашсоа0, у = гсйпусоа0, г = г гйп0, якобиан которых 1 = гт сов 0. Формула (4) принимает соот- ветственно вид ~(х, у, с) лхсЬс(г — 111~~г сов~~, га1пг', х)гс(гадс(з (5) т, дх ди ду ди дх дх дх дс дш ду ду до дш дх дх г 2. Тройной интеграл 259 Вычислить интегралы, перейдя к цилиндрическим коорди- натам: 9.П8. )у~дхдуда, где область Т ограничена поверхнот стямих +у =аг, 2=0, а=)ь 2 2 2 9.119. г г)х Ыу да, где область Т ограничена поверхностями т х +у =а, а=а. 2 2 Я Я:~2 ~/4-~~-у~ 9.120.
Нх Ну да. (*'4-у~)/2 а/~/2 ~/а~ — у~ (х~ — у~))а "|" |-|' — "' о у о а ~Гаг — хг л 9.122. |и* | и~ | угт+у и*. — а "ай — т Ь(т24 угу)аг 2,/А та 2 9.123. йх ду (хг+ у ) да. г,4 хг (т'4-У~Уг Вычислить интегралы, перейдя к сферическим координатам: 9.124. хг+уг+агохНуда, где область Т вЂ” внутренность шарового сектора с центром в начале координат, радиусом а и углом при вершине 2а (О ( ст ( гг), если ось симметрии сектора принять за ось Оа. 9.125. хувг Их оу да, где область Т ограничена частью сфе- О >О рых+у а = и + + = 1 и координатными плоскостями (х >, у 2>О).
9.126. д где область Т вЂ” сферический слой О П,й р. г г г ог .г+,г+ 2 4ог между поверхностями х + у + а = а, х + у 2 2. Тройной интеграл 261 П р имер 4. Найти координаты центра масс полушара х + р +2 ( 2 2 2 ( !2~, 2 > О, если плотность в каркдой точке пропорциональна расстоянию от точки ло центра. ° л «[*,р, В=в/Р«р«вл., * .
р,р=р= = О. Вычисления проведем а сферических координатах; мрЯ*,Й' «р*«лв*врв рлр:Щ р в вв вввврл т т, 2л л/2 и 1 = й / 4542 2~ аш 6 сов д вво / г4 й. = — йпЛ2, 5 о о м= рЯ«'Р«р«Рв,в«в*=«Я"..вв,вввв= т т, 2л л/2 я = lс вувр спад«!О 2 г сЬ = -ЫН; 3, ! 4. 2 о о Млв 2 3 = — = — Н. й! 5 2 Таким образом, С' О, О, т— й). с ' 5 9.130. Найти объем тела, ограниченного поверхностями х = = хг+ рг 2 2(хг+ рг) 9 = х, рг х. 9.131*. При каком значении а объем тела, ограниченного поверхностями хг + 92 = ах, хг + у = ах, 2 = О, равен данному числу Ъ'? 9.132*. Найти объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью (хг + уг + 22)2 = 2ахух (а > О).
9.133*. Найти обьем тела, ограниченного замкнутой поверхно- 2«Х2 у2 22~ 2 Х2 2 стью 1 — + — + — ~ = — + —. 1,аг 52 сг!) аг 52' 9.134*. Найти объем тела, ограниченного сферой х + р + х ,2 2 2 = 4аг и параболоидом хг + 92 = Зах (внутри параболоида). 9.135'. Найти объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью (хг+ уг+ 22)2 = азе (а > 0). 9.136. Найти массу и среднюю плотность тела, ограниченного поверхностями хг+ 92 — 2~ = а, х = О, 2 = а > О, если плотность г г г 262 Гл.
9. 1(ратные интегралы в каждой точке пропорциональна аппликате х и в плоскости з = е, равна 'уо 9.137. Найти массу и среднюю плотность кругового конуса с радиусом основания Л и вгясотой Н, осли плотность в каясдой точке пропорпионяльня квадрату расстояния от точки до плоскости, проходящей через вершину конуса параллельно плоскости основания, и в центре основания равна уо. 9.138. Найти массу и среднюю плотность тела, ограниченного поверхностями хг — уг = аз, хг+уг = пг, х = 0 (з > 0), если плотность в каждой точке пропорциональна аппликате в, а наибольшее значение плотности уо.
9.139. Найти массу и среднюю плотность сферического слоя между поверхностями тг + уг + хг аг и хг + уг + вг 4а если плотность в каждой точке пропорциональна квадрату расстояния от точки до начала координат, а наибольшее значение плотности уо. 9.140. Найти массу и среднюю плотность сегмента параболоида вращения с радиусом основания Л и высотой Н, если плотность в каждой точке пропорциональна корню квадратному из расстояния от точки до плоскости основания сегмента и в вершине сегмента равна 'уо.
9.141. Найти массу и среднюю плотность шара радиуса Л, если плотность в каждой точке пропорциональна расстоянию от точки до одного из диаметров шара и на окружности большого круга, леп~ащего в плоскости, перпендикулярной к атому диаметру, равна уо.
9Л42. Найти координаты центра масс однородного тела, ограг г ниченного поверхностями з = — — (у — х ), з .=- О, у = а, у = 0 аг (а > О, а > 0). 9.143. Найти координаты центра масс однородного тела, ограб г У~ ниченного поверхностями у = — хг, х = — (б — у), х = 0 (а > О, „г Ь>О, Л>О). 9.144. Найти координаты центра масс однородного тела, огра- Н г г ниченного поверхностями з = — (т, + у ) з = Н.
Лг 9.145. Найти координаты центра масс однородного тела, оград г г ниченного поверхностями з = — „lх~+уг, х = Н (Н > О, Л > 0). 9.146. Найти координаты центра масс полушара хг+ уг+ зг < ( Лг, з > О, если плотность в каждой точке пропорциональна расстоянию от точки до начала координат. 3 3. Нссобстш,нные.
кратные интегралы 203 9,147. Найти момент инерции относительно оси Ох однород- 6 ного тела плотности у, ограниченного поверхностями у = —,х, 2 6 х = О, х = -(Ь вЂ” у) (а > О, Ь > О, 6 > 0). 9.148. Найти момент инерции однородного сегмента параболоида вращения плотности у с радиусом основания Л и высотой Н относительно его оси вращения.
9.149. Найти момент инерции шара радиуса Л относительно его диаметра, если плотность в каждой точке пропорциональна расстоянию от точки до центра шара, а на поверхности шара равна уо. 9.150**. Найти ньн)тонов потенпиал У однородного тела плотт2 + 2 г2 ности у, ограниченного вллипсоидом вращения + — = 1, 2 )2 в его центре !6 > а). 9.151"'. Найти силу притяжения, оказываемого однородным конусом плотности у, высоты Н и радиуса основания Л на материальную точку, расположенную в его вершине и содержащую единицу массы. 9.152. Найти момент инерции относительно оси Ох однород- 6 ного тела плотности у, ограниченного поверхностями х = — х а2 х(у — ха), х = О, у = ха. 9.153.
Найти момент инерции однородного кругового конуса плотности у с радиусом основания Л и высотой Н относительно его оси. 3 3. Несобственные кратные интегралы 1. Интеграл па бесконечной области. Если функция Дх, у) непрерывна в бесконечной области С, то, по определению, / Дх, у) Йхду = !пп Дх, у) с)хну, ,П О,С// где Р— конечная область, целиком лежащая в области С, причем Р— ~ С означает, что область Р расширяется произвольным образом так, чтобы в нее вошла и осталась в ней любая точка области С (исчерпывающее расширение).
Если существует конечный предел (1), не зависящий от выбора подобласти Р и способа расшврення Р -+ С, то нссобстоенныб интезрая О Дх, у) дхду называется сходящимся, в противном а случае — расходящимся, Гл. 9. 1братные интегралы 264 Аналогично определяется тройной интеграл по бесконечной области.
Если Дх, у) > О, то для сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно, чтобы предел !1) сушествовал хотя бы для одного исчерпываюшего расширения области С. П р и м е р 1. Вычислить несобственный инте- грал где С вЂ” область, определяемая неравенствами х>1, у>хг. Рис. 48 г Подобласть Р (рис. 48) зададим неравенствами 1 < х < а, хг < у < б, где а -ч +со, Ь -ч +ос. Тогда: х4-Ьуг о-~а х4+уз а Ь й 5 !пп ! с!х),, = !нп / ~ — агап — ~!с!х з у ) х'+уг и и ) ~,хг хг,г ь-~ч.сс г ~2 ь — ~.ьсо ! О /' 1 !нп а->+сч / хг 1 а 1 — 1пп ! — — ) = —.
!> 4ач+ 1, х ) 4 Вычислить несобственные интегралы: 1Г с!хну 9.154. ~ (, где С вЂ” область, определяемая неравенства// хз 3' мих>1, ху>1. /' Г с!х с!у 9.155. ~ г г з, где С вЂ” область, определяемая неравен- 1/ схг+уг)з ством х + у > 1 (внешность круга). /'/' дх ду с!х 9.156. г г г г, где Т вЂ” область, определяемая ~ .г 4., г+ г)г Р' неравенством х + у + х > 1 !внешность шара). З 3. Несобственные кратные интегралы 2бб 9.157.
с!х с!у е ! '+" "') «)х. о о о Исследовать сходимость несобственных интегралов: 9.158. в)п(х~ + у2) Пхс!у, где С вЂ” область, определяемая с неравенствами х > О, у > О. с!х Ну 9.159. «« ., — ', где С вЂ” область, определяемая не- (1 ! г2 + 2)а ' равенством х + у > 1 (внешность круга). 2. Интеграл ат разрывной функции. Пусть функция у!х, у) непрерывна в ограниченной замкнутой области С всюду, за исключением точки Ро(хо, уе) (или линии»").
Если существует конечный предел !!т ! ! Дх, у) дхду, « — »о / / где С, — область, получаемая из С путем удаления произвольной окрестности точки Рс с диаметром, меньшим е (соответственно произвольной окрестности линии Л с «шириной», меньшей е), то этот предел называется несобственным интегралом от функции Дх, у) по области С и обозначается через ~~ 1!х, у) дхду, т, е. с (2) Интеграл (2) в этом случае называется сходящимся. Если гас !!ш Дх, у) Йхс!у не существует или равен оо, то »Ч у(т,, у) дхду «-»о / / с, н называется расходящимся.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
