341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Уравнения в полных дифференциалах. Дифференциальное уравнение 1-го порядьа вида Р(х, у) ггх + сг'(х, у) пу = 0 (15) называется уравнением в полных диууууеренаиолих, если его леван часть является полным дифференциалом некоторой функции (7(х, у), т. с. дог д17 Р(т., у) = —, Я(х, у) = —. дх' ' ду' Для того ггобы уравнение (15) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Если уравнение (15) есть уравнение в полных дифференциалах, то оно может быть записано в виде Жу(х, у) = О.
Общий интеграл злого уравнения: (7(х, у) = С, гчс С . — произвольная постоянная. <!)ункпия 17(х, у) может быть найдена следующим образом. Интед!7 грируя равенство — = Р(х, у) по х при фиксированном у и замечая, дх гго произвольная постоянная в эхом случае может зависеть от у, имеем (7(х, у) = ( Р(т., у) Йх+ у(у).
(17) Затем пз равенства — ~ Р( , у) г(х + 4 (у) = Я(х, у) д ду находим функцшо у(у), подставив которую в (17), получим функцию и(х., у). Очевидно, гго искомая функция (7(х, у) определена с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Для записи общего интеграла исходного уравнения достаточно выбрать одну из функций получаемого семейства, Гл.
10. Дифференциальные уравнения 290 Другой метод отыскания функции (с (х, у) состоит в вычислении криволинейного интеграла 2-го рода: 1ж у) сс'(х, у) = / Р(х, у) с(х+ сЗ(х, у) с!у = (оо ао) о в а о Р(х, уо) с!х+ О(х, у) с!у = 1;)(хо, у) с!у+ Р(х, у) с1х, во где точпи Мо(хо, уо) и Л1(х, у) и путь интегрирования лежат в области непрерывности функций Р(х, у) и ссс(х, у) н их частных производных, причем ЛХо(хо, уо) — некоторая фиксированная точка. П р и м е р 12. Решить уравнение — с!х + (у + 1п х) с(у = О, дР д сух ! да д — = — ( — ! = —, — = — (у + 1пх) = —.
ду ду (х) х' дх дх х' Условие (16) выполнено, следовательно, заданное уравнение есть уравнение в полных лифференциалах. Найдем функцию с)(х, у). Первый способ. Интегрирун по х при постоянном у равенство — =Р(х, у) = —, дт. ',г ' получим (У(х, у) = ! — с1х+ у(у) = у!пи+ св(у). ! У у х (18) Заметим, что при вычислении первообразной мы здесь пишем 1пх, а не !и )х(, так как исходное уравнение содержит 1п х и, следовательно, имеет смысл лишь при х > О. Подставляя (18) в равенство з — = сос(х, у) = у +!пх, ду имеем 1пх+ сл (у) = у +1пх, предварительно убедившись, что это есть уравнение в полных дифференциалах. з Проверим условие (16); а 1. Уравпелил 1-гО порлдка откуда р(у) =-Ч'+С.
Положив, например, С1 = О, находим из (18) и (19) 4 С)(х, р) = у1пх+ -р . 4 Следовательно, общий интеграл заданного уравнения имеет вид р )п х + -у = С. 1 л 4 Второй способ: (т, т) 1)(*, р) = ~ - )* + (р' + 1 *) Ф. (~о,т0) Положим, например, хо = 1, ро — — О. Тогда Р(х, уо) = О и ь)(х, у) = ~1 (у + 1п х) г)р = — р + р 1п х. о. 3 1 4 4 о Решить дифференциальные уравнения, предварительно убедившись, что они являются уравнениями в полных дифферен- циалах 10.96. (2х + у) дх + (х + 2у) ду = О. 10.97. (10ху — 8у+ 1) г(х + (5х~ — 8х + 3) ф = О.
10.98. (Зхт + бху — 2у~) г(х+ (Зх~ — 4ху — Зув) Йр = О 10.99. у+ — их+ х — — з г(у = О. Зхв+ р 2х + ху+ 2У' У=О. К ' у2 уз 10.101. + у дх + , + 2 Ду = О. / 2 2 У2 ьУхз Уз( 10.102. (2х — уе *) г(х + е * г(у = О. х1 10.103. (2х + е*)") г(х + 1 1 — — ~ е*)" Иу = О.
у 1л. 10. Дттт)гт)>среттцнлльньтт уупгвнт >тн>т 292 10 104. 2тсоаз у>1 с+ (2у — ха яп2у) т/у == О 10.105. кщу — узшх+ — ) т(х> Р < хсозу х созх — — ~ дг1 = О. < д =;р(х, С)., 0 = тр',>(х, С) Ф(„д, С) =О, Ф',>(х, у, С) = О. Найденнуго такилг путем функпикг следует подставить в данное дифференциальное уравнение и убсдптьсп, гто она являетсл гюо решением. Прггыср 13. Найти область. в которой уравнение у = хз/à — ~гз имеет единственное решение.
< Здесь у(х, и) =:г>~(1 — гу>з —. функция, нспрсрывнап прп (у~ < 1; ху частнан производнао у,',(тс. у) = — ' ограничена прп (х/ ". >1Х и ~д( < а < 1. Оледовательпо, данное уравнение имеет единственное решение в любом прпмоугольншге Р = <(:с.
у) г ~х( < Л1, (д( < а < 1). С 8. Теорема о существовании и единственности решении. Особые решенин. Задачей. Коши для дифференциального уравнения у' = у(х, у) называетсн задача об оть«канин юстного решг нпп етого уравнении, удовлетворпющсго заданному гшчальному условию у(хо) = уо. Те о р ем а К о ш и. Если в дифтдгу>снтггтальтгт>лг уравнении д' =- = )(х, у) трдггкгггьз т'(лц у) нсггрерывна в иекьторт>й обласпги Р плоскоспт Оху и илтссш в этот> облаглли, ограни >е«ную ттас»тгтг>то производндю У,"(х, У), тпв длл любой то ткгт (:со, до) и Р в псгсолтРолг интервале хо — 6 < х < хо + 1> суигесптвуюп и прин>ом едина>«««нос реиьенис у(х) этпоео г>равиенг л, удовлстпворлюгцес на пгльномд условию у(хо) = г>о.
Геометр>>'гссггтг зто означает, что через «аьчдуго точку ЛУ области Р проходит одна и талыш одна интегральная криван уравнении у' = = 1(х, у). Точ«и области Р, в которых нарушаетсн единственность рсшенил задачи Коши, называютсп особыми тачками дифференциального уравнении. Решение (интегральная «ривап) уравнении у' = 1(х, у), в каюдой точке которого нарушастсл единственность решенно задачи Коши, называется особылг рписнисм (особой интсзральаои >Оливой) етого уравнении. Особое решение не могкет быть получено пз общего ни при кюгих значентшх С (включап и С = хсо).
Огибающая семейства интегральньгх кривых, определяемых общим решением у = Зт(х, С) илн общим ннтегралолг Ф(т, у, С) = О, пвлпется особой интегральной кривой. Она паха«итси путем исключения, если зто возмогкнот параметра С из системы двух уравнений В 1. Уравнения 1-го порядки 293 Пример 10 Найти огобыс ргшсшш уравнении зная его оошсе решение у = аггл (г, + С), )х+ С! < я/2.
З Составим систему уравнений у=-зш(х+С), я 1г+ С) '. —. О = соз(.г. + С), " 2' Исключая С, найдем две функцгш у = х1, которьп, очевидно, являются решениями данного уравнения и не получаготся из общего решения пи прп каких значениях С. Слсдоваттгльгго, у = х1 -" огобыс рсшюпля. с Найти области существования и единственности решения для дифференциальных уравнений: 10.106. у' =- хт — у . 10.107.
у' = у — х 10.108. у' = 1+ьяу. 10.109. у' = хе+ „/х — ут. Найти особые решения следующих дифференциальных уравнений, зная общие решения (там, где это указано). 10.110. у' = —. 2 у 10.111. У' =- 4хлггр — 1; У = (хт + С) + 1. 10.112. ху' + 2ху' — у = О; (у — С) = 4Сх. г 10.113. у = у' —:гу' + —; у = — + Сх + Ст. 2' 2 9. Уравнения, нс разрешенные относительно произподной. Пусть дифференциальное уравнение 1г(х, у, у') = О разрешимо лиоо относительно искомой функции, т.е.
имеет впд у =.г'(х у'), (20) либо относительно аргумента, т.г. зависыввстся в впдс х = 1(у, д'). (21) Тогда оно интегрируется путем ввсдецпя параметра р =.= у . Уравнения (20) и (21) переходят в алгсбраичссклп.' уравнения, дифференцируя глоторыс соответственно по х или по у, получим системы уравнснглй гг = 1(х, р), ~ '= 1(9.1л). д У дУ' г1р илп 1 дУ д~ г1р р= —,+ — — ~ — = —,.+— дх др г1х ~ р ду др Йгг' Из атих систем находится соотвстгтвснно обшсс рсшснпг ураны ння (20) или (2~) в явном плп параметричсг'ком виде.
Гл. 10. Дифференциальные уравнения 294 Пример 15. 1'сшить уравнение у=у +ху а Введем параметр р = у'. Тогда г + х(„ (22) Дифференцируя это равенство по х, получим ф ор р=2р — +р — 1+х —, Ых сЬ' или с~р 1 дх 2р+ х Запишем последнее уравнение в форме Пх — = т+ 2р. с)р Зто линейное уравнение, его общее решение: х = Сев — 2(р+ 1).
Подставляя выраа<енис (23) в формулу (22), получим (23) у = Сея(р — 1) — рг + 2. (24) х = Се" — 2(р+1), у = Сев(р — 1) — р +2, с Пример 16. Решить уравнение гг У х= у + —,. У а Полагая р = у', имеем х=р + —. У р Дифференцируем это равенство по у: 1 пр 1 У <1р — = 2р — + — — — —, г яу' или 2р г — — О. Система соотношений (23) и (24) определяет общее решение исходного уравнения в параметрической форме: 2 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
