341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Поэтому, получив указанным выше методом разделения переменных общий интеграл уравнения, надо проверить, входят ли в его состав (при подходящих числовых значениях параметра С) упомянутые решения. Если входят, то потери решений нет. Если не входят, то в окончательном ответе кроме общего интеграла следует указать и эти решения. П р и м е р 6. Решить уравнение ду — = усбх.
дх а Разделяем переменные: 3 1. Уравнения 1-го порядка 281 Интегрируем: !п(у! = — 1п!созх!+ Си или 1п~усоах! = Сы Для удобства потенцирования полученного равенства представим параметр Сг в логарифмической форме, положив С~ —— 1п ~Сз~, Сз ф 0 (при атом С~ принимает все значения от — со до +сю). Тогда 1п (усозх( = 1п (Сз! и, потенцируя, получаем общий интеграл в виде у соя х = Сз, откуда у = Сз вес х. (3) Заметим теперь, гто исходное дифференциальное уравнение имеет, очевидно, еще решение у = О, которое не входит в запись (3), так как Сз ф О.
Введем новый параметр С, принимающий, в отличие от Сз, также и нулевое значение. Тогда решение у = О войдет в состав общего решения у = Сзесх. с С помощью подстановки и(х) = ах+ Ьу(х) + й к уравнениям с разделяющимися переменными приводятсн и дифференциальные уравнения вида у' = ((ах + Ьу + Н), Ь ф О. Решить дифференциальные уравнения: 10.22. у' = —. 10.23. узу'+ хз = 1. у 10.24. уу'+ х = О. 10.25. ху' = 2у. 10.28.
(х+ 1)у'+ ху = О. 10.27. у'~/à —;сз = 1+ уз. хз(пх 10.28. у' = е '"". 10.29. у'+ = О. усов у 10.30. (1 + уз) х с(х + (1+ хз) г(у = О. 10.31. ху ах + тП вЂ” хз г1у = О. 10.32. уев* с(х — (1+ ез ) йу = О. 10.33. 2е*18уг(х+ (1+ е") зесзус(у = О. 10.34. (1 + у) (ех Йх — езв г1у) — (1 + уз) с(у = О, 10.35. (1 + хз) с(у + уЯ+ хз г1х — ху г(х = О. 10.38. Ыу — 2 /у 1и х с(х = О. 1 10.37. у' = соз (х + у).
10.38. у' = 2х+у Гл. 10. Дифференциальные уравнения 282 10.39. у' = (4х+ у+ 1)~. 10.40. у' = а(п(у —:г — 1). 10,41, у',. 25 = 3 ~- 5. 10.42. В' = К4 - У ~ 1) Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям: 10.43. (1+ у~) Пх — ху Пу = О; у(1) = О.
10.44. (хут+ х) Пу+ (хзу — у) г(х = О; у(1) = 1. 10.45. у'фйх = у; у ( — 1 = 1. ~2/ 4. Однородные уравнения. Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется однородным, если его можно привести к виду (4) или к виду ЛХ(х, у) 4х + М(х, у) Пу = О, (5) где М(х, у) и Ж(х, у) — о0нороуные фрикико одного порядка, т.е. существует такое й Е Ж, что М(сх, ~у) = сьИ(х, у) и И(1х, 1у) = = ~~Я(х, у) тождественно относительно х, у и ~ ~ О. С помощью подстановки у/х = и(х) однородные уравнения (4) и (5) преобразуются в уравнения с разделяющимися переменными. Пример 7. Решить уравнение у у у = — + соа —.
х х у, Ни з Положим — = и, или у = их. Тогда у' = и+ х —, что после подстах ох новки в исходное уравнение дает уравнение с разделяющимися переменными Ии х — = соли. сЬ Разделяем переменные: Пи соли х и интегрируем: Получаем общее решение: и = 2агссбСх — — +2хп, и Е К. 2 З 1.
Уравнения 1-го порлдка 283 Возвращапсь к функции у, находим: у = х (2агстбСх — — + 27гп), и. 6 У. 2 / 7Г При делении на сопи л7огли быть поте1шны решении у = х ( — + л17~7, 72 б 6 К. Но для б = 2и — 1 онп входят в обшсс рсшеппс (при С' = О). Слсдователь77о, окончательно получаем; у = х (2 агота С7г + — + т: 7277 — 1) ) и у = х ( — + 2тта); и 6 У,. > 2 l (2 Дифференциальные уравнении вида а,т:+ 6|у+ с7 71' =1 о2х + 62у + с2 7'6) т,=и+т, у=о+и., где т и и находятся из системы уравнений а77п + 67п+г7 = О, атт+ Ьтп+ от =- О.
Поскольку здесь 71х = 7177, 7177 = 71о, то уравнение 76) преобразуетсн к виду 74) относительно функции о7и): ао (а777+ Ь7о+ о,т+ 6777+ с771 7)и ),ати+ Ьто+ аттй+ Ьтп+ с271 (ати+ 67 о'7 (й~ + 67777/77) 77 1о) ~ =Р(- ати+ Ьто ~772+ 627о(77) а 772 62 Если в уравнсшш 76) = = = = Л и, следовательно, а х + Ьту = а7 67 = Л1а7х + 67у), то оно примет вид Пр ( а7х+ 67у+ с7 — = 721а7х+ Ь7у). 71х )Х Л(а7х + 67 у) + с2,71 Подстановкой 771х) = а7х+ 6777(х) это уравнение прсобразуетсп и уравнению с разделяющимися переменными.
Решить дифференциальные уравнения: у:г, р у 10.46. у = — + —. 10.47. у = — +апт —. Х 7/ Х Х йт 62 в случае — ~ — прпводятсо к однородным уравнснипм г помощью йт 67 замены переменных 284 Гл. 10. Дифференциальные уравнения 10.49. (хг + ху)у' = х~/хг — рг + хр + р . 10.50. (х — у) г(х+хг(у = О.
10.51. р~г(х+хгг(у = хрйр. 10.52. х(у'+ сига) = у. 10.53. хг(у — усов 1п — ох = О. 10.54. ху' = у+ хЦ вЂ”. 10.55. ху' — у =;/Р— уг. 10.56. (хг + уг) г1у — 2хуйх = О. 10 57 3х4рг г(у = (4хь' уо) дх 10.58. (2т — у+ 1) г(х+ (2у — х — 1) Йу = О. 10.59. (р+ 2) г(х — (2х+ у — 4) Лу = О. 10.60. (х+ у+ 1) 0х+ (2х+ 2у — 1) ду = О. 10.61. (х+ у — 1)гг(р = 2(у+ 2)гг1х.
у — 2х у+2 10.62. у' — 18 ' х+1 х+1 у+х р+х у+х х+3 х+3 х+3 Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие донным начальным условиям: 10.64. ху' = у 1п —; у(1) = 1. 10.65. ( Iхр — х) ну+ уйх = О; у(1) = 1. 10 66 (р +, /хг + у~) Ы вЂ” и г1у = О у(1) = О 5. Линейные уравнения. Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется линейнъиц если оно содержит р и у' в первой степени, т.е. имеет вид (7) р' = Р(х)р + сз(: ). При Я(х) ив в 0 уравнение (7) принимает вил р' = Р(х)р и называется лвнсйным одяороднььв. Оно является уравнением с разде- ляющимися переменными, и его общее решение имеет вид р = СеУ (8) где С вЂ” произвольная постоянная, а / Р(х)г1х — одна из первообраз- ных функции Р(х).
Гл. 10. Дифференциальные уравнения 286 Пример 8. Решить уравнение у' = усьдх + а1пх. а Применим метод вариации постоянной. Рассмотрим сначала соответствующее однородное линейное уравнение у' = у ссд х. Его общее решение у = С зш х. Следовательно, общее решение исходного уравнения ищем в виде у = С(х) з1п х. Подставллем у и у' = С'(х) зш х + + С(х) сов х в данное уравнение: Сг(х)ашх+ С(х) созх = ссбх С(х) а1пх+ашх, откуда С'(х) = 1, и тогда С(х) = х+ С.
Следовательно, общее решение уравнения есть у = (х+ С) ыпх. > У Пример 9. Решить уравнение у' = 2ху+ 3 <~ Перепишем уравнение в виде дх и заметим, что оно линейно относительно х и †. Решим его методом г(у подстановки. Положим х = ио и приведем уравнение к виду (12) и выбирая из его общего решения и = уг + С одно частное решение, например, иг(1г) = у .
Подставляя иг(у) в уравнение (12), получим: Общее решение этого уравнения: 1 о(у, С) = С вЂ” —. ,з' общее решение данного урав- Пх 2х 3 г с1у у у' Найдем функцию и1(у), решая уравнение Уо 2и — — — =0 Иу у гЬг 3 — у — — =О, или 1у Перемножая иг(у) и с(у, С), получаем пения; г х = Су у сЬ 3 у4 ' 287 3 1. Уравпснвл 1-го порядка Решить дифференциальные уравнения: 10.67. у'+ 2ху = хе * . Зу 1 10.68. у' = — '+ х.
10.69. у'+ у1,8х = — —. х соз х 10 70 (1+ хгУ = 2ху+ (1+ хг)г 1071 у +2у еза 10.72. у' + — ' = 2 1п х + 1. 10.73. у' = ' + е.*(х+ 1)г. 10.74'". у' = 2у, г,, у х+1 х+уз 10.75. (1 + уг) г1х =- (агс18 у — х) г)у. 10.76. ху' = у + хг соз х. 10.77. ту' = е' + ху. 10 78. ху' + хг + ху = у. 10 79. у + у 1п у = (х + 21п у)у'. 10.80. у — у' = уг + ху/. 10.81. (х + 2уз)у' = у. 10.82*.
у' + 18 у =— сов у Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие заданным начальным условиям: 1 10.83. у' + у 18 х = —; у(О) = О. сов х 1 10.84. у' = 2у + е' — х; у(0) = —. 4 10.85. у' =-; у(1) = 1. 2у1пу+ у — х' 6.
Уравнение Бернулли. Урвенекнел Бернулли называется дифференциальное уравнение 1-го порядка вида (13) у' = Р(х) у+ С)(х) уп', где т ф О, гп ф 1 (прп ш = О уравнение (13) является линейным, а при т = 1 — — уравнением с разделяющимися перемсннымп). Так жс как и линейное, уравнение Бернулли можно проинтегрировать с помощью подстановки у = ие илп свсгти к лпнейному гравнению с помощью подстановки . = у' .
Следует уюгть, что при ш > 1 может быть потеряно решение у = О. П р и м е р 10. Решить уравнение ..г у = — +— х с Полагая у = ие, приводим уравнение к виду Гл. 10. Дифференциальные уравнения 288 Пз общего решения и = Сх уравнения 4и и — — — =О с!х х выбираем частное решение, например, иг = х ~Ь Подставляя иг в уравнение (14), получаем новое уравнение — х— ях „г ое 1 — = О, или — = —.
Его общий интеграл ог = 2х+ С, откуда :го Йх о и = х~/2х+ С. Перемножая иг и о, получаем, что все решения исходного уравнения определяются формулой у = хх~/2х + С. !> Пример 11. Решить уравнение р Ц 2х 29 0 Это уравнение Ьернулли с т = — 1. Поэтому полагаем г = дг и приводим уравнение к виду г г = — — 1. х Это уравнение является линейным. Решая однородное уравнение г' = = г/х, накопим г = Сх. Отсюда методом вариации постоянной, т.е.
полагая г = хС(х), получаем общее решение линейного уравнения в виде С г=х1п —, х нлн, окончательно, С у =х!и —. > х Решить дифференциальные уравнения: 10.86. у'+ 4ху = 2хе * /д. 10.87. с(у = (уге* — у) дх. ,з 10.88. у' = у(уз сов х+ 18х). 10.89.
у' = ус18х —, +а 2х хг соа р + аш 2у 2у(хг — 1) 10.92. хУ'+ У = 2хгу !ц У У'. 10.98. У'х~ е!ггУ + 2У = ху'. Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие заданным начальным условиям: 10.94. Зс(у = — (1+ Зуз)уь4пхдх; у ! — ! = 1. ~2/ З 1. Уравнения 1-го порлдка 289 10.95. дг1х+ х — -т!у) с(р = 0; у ~ — ) = 1. 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
