341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Показать, что функция у = С~е~'*, С,, С/ й Р, яа ш ется решением дифференциального уравнения ууа = у' . 0 Имеем: Гггь 10. Дифгугерснциальные уравнения 306 Путем исшпочснил параметров вывести диффсрснциальшлс уравнении семейств следующих линий: 10.207. Прямых нл плоскости, нс параллельных осп Оу. 10.208.
Окружностей постоннного радиуса Л, 10.209. Синусоид у = А вш (х + гт), где А и ск -- параметры. 10.210. Парабол с осью, параллельной оси Оу. 2. Уравнении, допускающие понижение порлдка. Ниже приводлтсл некоторые виды дифференциальных уравнений и-го порядка, допускаю- щих понижение порядка. а) Уравнение пипа убй = 1(х). Общее решение получается пу- тем и-кратного интегрировании у == / Пх / Нх., .
) 1(гк) гьт 1 Р„г(х), где Р„к (т) = Сг х'" ' + Сзто ~ +... + С„г х + Сч, или по фоРмУле 1 у = —, /)(1)(Х вЂ” 1)о-' 11+ Р„,(Х). (и — 1)! у хгг 1 П р и лг с р 3. Найти общее решение уравнения ул = — и его соят х кггх 1п2 истное Решение, удовлетворяющее начальным условиям у ~ — ) =- —, 14) 2' (4) с Ицтегрирул первый раз, получаем у' = кбх + Сг.
Повторпогг интегрирование дает у =- — 1и ! совгк(+ Сгх + Сз. Это и есп, общее решение. Подставив теперь в полученное обшсс рсшг:нис и в выражение длл первой и 1п 2 производной а; = — и соответственно у =- — — и у' — — 1, получим систему 4 ' 2 двух уравыений с неь;шегтными Сг и Ст, Регцив зту систсьгу, найдем значении параметров Сг — — О и Сз =- О, соопк.гствующие искомому частному решеншо, кшпрое, сгчсдовггтезьно, имеет ьид у = — )п ~ соз х~. г> б) Ура оценил вида Г(х, у~"'г, ..., убй) = О, т,е. уравнении, не содсржюцпе лвно искомой функции и г:е производных до порлдка й — 1 вклкгчви льне. С шпгошыо замены у1гн =- р(х) порлдок уравцснпл поипжаекгл из б едгшиц: Г(х, р, р', ..., рщ ьг) =- О.
Прсдполо жпм, гго длл полученнснг уравненпл мы могггем найти общее решение р(з ) = гр(:г, Сг, .... С„ь], Тогда ископал функцил у(х) получается путем У-кратного гкнктч1ирооанил функции гк(гг, С„..., С„г,.). ПРимеР 4. Найти частное Рещение УРавгчгчкггл х~ргл + 2хзУ" = 1, 1, 1 удвогв творца.шее нв юлг.ным условилм у(1) =- —, у (1) =-;, у (1) = — 1.
2' 2'' .ч Даиное уравчегше нс солера:ит у и у . Полол:им у =- р, тогда у о =- —, ,!, и ., т 4~ г1х , гор „, г1р 2 1 г ур«вкег; гршггмзг юг .к'---+ 2кзгг =-1, изи — + — р = —. Эко гк ' дх к к4 з 2. Ди44сре»ьцвальные уравнсния высших порядков 307 С линейное уравнение первого порндка. Его обшсе решение р = — — + —. тт х2 ' Используя начальное условие рп(1) = р(1) =- — 1, получаем С» = О. 1, 1 Следовательно, уп = — —, откуда у' = + С2.
Начальное условие хэ ' 2хэ р'(1) = 1/2 позволнет опрсделить С = О. Интегрируя сше раз, получаем 1 у = — — + Сз, а нз услоющ»»(1) !у'» г.в ау<»! !»с С! — — 1. Итак, 2х 1 искомое частное решение есть р = 1 — — (равносторонннн гипербола). с> 2х в) Уравнения вида г(у, у», ..., убй) = О, не содержащие явно независимой переменной.
Подстановкой д = р(р), р = р —, рп! = и Г»р п! с»р = р — + рт —, и т.д. порндок уравнении понижаетсп на единицу. (х 1р,) (р" Пример 5. Найти общий интеграл уравненин у'уп! — Зуп» = О. 2 О Полов!им р = р(у), у = р —, р = р» — ) -ь р . Тогда уравне! н г»р п! 4» тс» р р' ~() ние преобразуется к виду р р — ' -Ьр' — ", — Орт —" =О. Приведи подобные члены и сократив на рт (при этом мы теряем решение р = О, или у = С), получим 2 Нр 22 р »12 Положив здесь — = 2, — = 2 —, придем к уравнению ф ' Ирт Ир' »12 рх — — 22 = О.
»1р »»р Сократив на 2 (при этом возможна также потеря решения 2 = — = О, с1ц т.е. р = С» и р = С»х+ С», в состав которого при С» = О входит и ~Ь 2г1р прежнее потерянное решение), получим — — = О, откуда 1п)2~— р — 1пр =!п~С»~, или 2 = — = С»р . Интегрируя последнее уравнение, 2 1» 2 с(у находим 1 Нх — — = С»у+ С2, или — — = С»р+ С2. р »)у Гл. 10. Дифференциальные уравненил 308 Окончательно полУчим общий интсгРал х — — Сэра + СэУ + Сэ, где Сэ = С вЂ” —, Ст = — Сз, т,е, семейство парабол. Заметим, по последнпп 2 ' запись содержит в себе и решения у = С~х+ Сэ (только при Сэ ф 0).
с г) Уравнении вида — С(х, у, у', ..., ур' 0) = О, т.е, такие ох уравнения, в которых леван часть может быль представлена как полнал производная по х от некоторой функции С(х, у, у', ..., у~" О). Интегрируя цо х, получим новое уравнение, порядок которого на единицу ниже порядка исходного уравнения, Пример б, Найти общее решение уравнении (1+ х )у" + 2ху' = х'. < Левая часть уравнении есть полкан производная по х от функции з с х (1+ х )у, а правая — от функции —, т.с. уравнение можно пере- 4' 1 х писать так: ((1+ х-)у ) = ( — ~ . Отсюда интегрированием получасгл (,4) хэ С, х4+С, (1+ хз)у' = — + —, или оу = 4эь Следовательно, 4 4 ' ' 4(1 + хт) и, окончательно, э у = — х' + -х+ Сэ агссбх + Сэ, 12 4 — С~ —,'- 1 где С~ — — — .
Это и ссп общее решение. [> 4 д) Уравнение Р(х, у, у', ..., уйй) = О, однородное относительно функции и се производных, т.г. такое, что Г(х, зу,1у',, 1у~щ) = 1 Р(х, у, у', ..., у~ "~), 1 ф О. Подстановкой у' = ух порлдок уравненил понижаетсл на единицу. П р и м е р 7. Найти общее решение уравнении хуу" — ху' — уу' = О. < Положим у' = ую Тогда у" = у(х + г') и уравнение принимает вид хуз (яз + х~) — хут х~ — уз х = О. Сокращал на уз (при этом получается решение у = 0), находим хх' — х = ~Ь 0х у = О, или — — — = О, откуда х = С х.
Так как д = —, то приходим к т, у З 2. Ди»!»»!»е!»с»»ниаль»»ь»е вравневия высших порядков 309 ф С»хг уравнению у' = С»ху, илп — = С»х»!х, откуда !и )!»! = — + !и (Сг), у ' 2 или у = С е" т (гдс С» —— С» /2) --. ато и сеть общее решение. Заь»ст»»м, что прп Сг — — 0 в этой»»вп»»си содержится и решение у = О, которое было нами потеряно при сокращении на уг. О В некоторых случапх найти решение в виде явной илн неявной функции затруднительно, однако удастся полу»»»ть решение в параметрической форме.
Прил»с!» 8. Найти общее решение уравнения ув(1+ 2!пу') = 1. '!р »»р г Положим у' = р, у" = —. Уравне»»ие примет вид — (1 + 21пр) = 1, »»х »(х . или»(х = (! + 2 !и р)»(р, откупа х = — р+ 2р(п р+ С». Та»» как»(у = р Пх, то находим»!!» = р(1+ 2 (и р)»!р, откуда у = рг !и р+ Сг. Общее решение получаем в параметрическол» виде: х = р( — 1+ 2 !п р) + С», у = рг рл р+ Сг, с Решить дифференциальные уравнения, используя методы попил»енин пор~дна: 10.211. ул = 10.212. ул = х + яшх.
' 1+хг' 10 213 у»ч 10.214. ху'в = 2х+ 3. 10.216. хгув = у". 10.216. уп — 2уу' = О. 10.217. ул + у' »8т. = а)п2х. 10.218. хув — у' = е'хг. 10.219. 2уул = 1+ у' . 10.220. уув + уь = у' . ! 10.221. ув+ 2ху' = О. 10.222. хул — у' — хнп — = О. » 10.223. л:ул = у' (п — ' 10.224. хзув+,тгу' — 1 = О. 10.225. (1 — хг)ул + ху' — 2 = О. 10.226.
(1+ е')ув + у' = О. 10.227. ув' = 2(ув — 1)»»»8 х. 10.228. хгув' = ул . 10.229. у'в = ув . 10.230. (2у+ у')ул = у' . 10.231. рв =— ,у 10 232»!з»7 +1 О 10233. ура+ у — у' = О. 10234. уув — 2уу'1пу — у' = О. 10. 235. ув 18 у = 2у' . 10.236. (у — 1)ув = 2у' . 10.237. ху'в + ул — х — 1 = О. 10.238. ууп + у' = х.
10.239. ув = у — ху 10.240. ,г ,,г г 310 Гя. 10. Дифференциатьные уравнения 10.241*. х'уун = (у — ху')г 10 242 ху~(уув у~г) уу,г х4уз 10.243. хуун + ху' = 2уу'. 10.244. 2уув — Зу' = 4уг. Найти частные решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющие заданным начальным условиям: 10.245. Ун = хев, у(0) = 1, у'(0) = О. 10.246.
УЯ' = —, у(1) = О, у'(1) = 1, ун(1) = 2. 1, г 10.247. УЯ = — + —,, у(2) = О, у'(2) = 4. 10.248. (1 + хг)ун + у' + 1 = О, у(0) = у'(0) = 1. 10.249. Ун = ег", у(0) = О, у'(0) = 1. 10.250. Ун соз у + у' ебп у — у' = О, у( — 1) = —, у'( — 1) = 2. б' 10.251. — = ', У(0) = О, У (0) = 1. ' у~ 1+у' 10.252. Уув — у' = у, у(0) = 1, у'(0) = О. 10.253.
Уун = 2ху'г, у(2) = 2, у'(2) = 0,5. 10.254. 2уун + уг — у' = О, у(0) = У'(О) = 1. 10.255. Найти интегральную кривую уравнения уу'ун = у' + + у', касающуюся в начале координат прямой х+ у = О. яг 10.256. Найти интегральную кривую уравнения ууи+у' — 1 = О, проходящую через точку Мо(0, 1) и касающуюся в этой точке прямой х+ у =- 1. Найти общие решения дифференциальных уравнений в параметрической форме: 10.257. (т, + 2У')ун = 1. 10.258. Ун — 2у'ун + 3 = О. 10.259. (2+ у')е" уи = 1. 10.260. (Зу — 2у')ув — у' = О.
10.261. Найти уравнение кривой, касающейся оси абсцисс в начале координат, если ее кривизна в любой точке равна созх ( — и/2 < т, < и/2). 10.262. Найти уравнения кривых, у которых радиус кривизны в любой точке равен длине отрезка нормали, заключенного между этой точкой и осью абсцисс, если кривая: а) вогнута вверх; б) вогнута вниз. 10.263". Найти уравнения кривых, у которых радиус кривизны в любой точке вдвое больше длины отрезка нормали, заключенного мюкду этой точкой и осью абсцисс, если известно, что кривая: а) вогнута вверх; б) вогнута вниз. З 2. Дифференциальные уравненил высших порлднов 311 10.264. Найти форму гибкой однородной нсрастяжимой нити с закрепленными концами, находящуюся в равновесии под действием силы тали стн, если линейная плотность нити равна д (горизонтальная проекция силы натяжения нити Е3 =- сопв$).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
