341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Имеела 2л = Сл — т ~ Сл = Зл, 2л = 2Сг + 2л — 1 ~ Сг = 1/2. Искомым частным решением является функция 1 у = Зтсоя2х+ — яш2х+ х(я1п2х — соя2т). с> 2 Пример 21. Найти общее решенно уравнения ун-4рг+4у= те". а Характеристическое уравнение Л вЂ” 4Л+ 4 = О иллеет двукратный корень Л = 2. Общее решение соответствующего однородного уравнения есть Ро = (Сл + Сг.с)ег'. Частное решение данного уравнения будем искать в виде у = хг(Рох+Р,)ег', так как показатель экспоненты в правой части уран- нения совпадает с двукратным корнем характеристического уравнения.
Методом неопределенных коэффициентов (т. е. найдя у', у", подставив у, у' и ун в исходное уравнение, сократив на ег' и сравнив коэффициенты при одинаковых степенях х) находим Ро — — 1/6, Рл = О. Следовательно, г г у = -хгег', а общее решение принимает вид 6 р = до + гу = (Сл + Сгх)ег* + -х' ег" = ( Сл + Сгх+ -х' ( ег*. 1> Для каждого из данных неоднородных дифференциальных уравнений написать вид его частного решения с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не нахо- дить): 10.346.
ун — 8у'+ 161г = (1 — х)е~'. 10.347. рн + 160 = я)п (4х + сг) (сг = сопя1). 32б Ггг. 10. Дифференциальньге уравнения 10.348. уа — 4д' = 2соят4х. 10 349 у'~ + 4уа + 4у = х яш 2х. 10.350. уа — 4у' = хе"*. 10.351. уа — 7у' = (х — 1)~. 10.352. уа + 2у' + бу = е ((х + 1) соя 2х + 3 яш 2х) . 10 353. ун — 4у'+ 13у = езт(хе соя Зх — хя1пЗх). Найти общие решения следующих уравнений: 10.354. уа — у = е *. 10.355. ун — у = сЬ х.
10.356. ун + Зу' — 4у = е 4*+ хе 10.357. уа — бу'+ бу = 13я)пЗх. 10.358. уа — 2ту'+ тзу = яш их (т ф п). 10.359. уа — 2ту' + тзу = ьбп тх. 10.360. да+ у = 4хсоях. 10.361. ун + 4у = спят х. 10 362 4дн д = хз 24х 10.363. ун + 5у'+ бу = е + е т*. 10.364. уа — Зу' = ез* — 18х. 10.365. уа'+ уа = бх+ е *. 10.366. у'а — Зуа+ Зу' — у = е*. 10.367.
у'и + уа = х~+ х. 10.368. уг' — у = хе* + соя х. 10.369. у" — у" = хе* — 1. Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие начальным условиям: 10.370. уа — 2у' = 2е*; у(1) = — 1, у'(1) = О. 10.371. ун' — у' = — 2х; у(0) = О, у'(О) = 2, уа(0) = 2.
10.372. уа+4у = х; у(0) = 1, у( — ) = —. ~4/ 2 10.373. уа+ у = 4е'; у(0) = 4, у'(О) = — 3. 10.374. д'" — у = Ве'; у(0) = О, у'(0) = 2, уа(0) = 4, у'а(0) = б. 10.375. у'" — у = Ве*; у(О) = — 1, у'(О) = О, уа(0) = 1, уа'(О) = О. 10.376. ун — 2у'+ 2у = 4е* соя х; у(п) = пе, у'(к) = е'. 7. Дифференциальные уравнения Эйлера. Уравнение вида х"дбб+агх" у~" О+...+а„гху +а„у=у(х), хфО, где а, (1 = 1, 2,..., п) постоянные, есть частный случай линейного дифференциального уравнения с переменными коэффидиентами и называется уравнением Эйлера. Введем новую независимую переменную г с помощью подстановки х = е' (если х > О) или подстановки х = — е' (если х ( О). Пусть для определенности х > О. Тогда у' = е ~у'„ Эйлера преобразуется в линейное уравнение с постоянными коэффициентами.
3 2. Дифференциальные уравнения высших порядков 327 Уравнение вида (ах + 6) "у!и! + а1(пх + 6)" 'ур' О +... + а„, (ах + 6)у' + а„у = У(х), где а, 6, а, (1 = 1, 2, ..., я) — постоянные, приводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой ах + 6 = е' (в области ах + Ь > 0). Решение однородного уравнения Эйлера х"у!'О + а1х" ~у~" О+... + а„1ху + а„у = 0 можно (при х > 0) искать в в«до у = х'. Подставляя выражения для у', у",, у!в! в однородное уравнение Эйлера, находим характеристическое уравнение для определения показателя степени Л.
При этом, если Л вЂ” действительный «орень характеристнчег«ого уравнения кратности г, то ему соотвстствук~т г линейно независимых решений эл хл!пх, хл(!пх)э, . хл(1пх)' а если а х Ц вЂ” пара комплексных корней кратности я, то ей соответ- ствуют я пар линейно независимых решений х, соя !Д1п х), х 1и х соя 1Д!их), ..., х (1пх) соя(!л 111 х), х яш(П1пх), х 1пхя!п(Д!пх), ..., х (1пх)' ' ып(П1пх). Пример 22. Найти общее решение неоднородного уравнения Эйлера хэуп — Зху' + 5у = Зхэ.
э Положим х = е', гчитая х > О. Тогда у,' = е 'у,', у,.", = с э'(у,", — у,'), и наше уравнение. примет вид еж е э'(у,",— у,') — Зе' с 'у,'+оу = Зеэ', или ун — 4у,' + 5у =- Зе". Общее решение уо соответствующего однородного уравнения есть ро = = еж(Сл сов!+ Сэ гйпу), а частное Решение У неодноРодного УРавнения будем искать в виде у =- Аеж, Тогда у' = 2Аеэ', у" = 4Аеэ', и, подставляя у, у', у' в неоднородное уравнение, приходим к то;кдеству Аеэ' = Зеэ', откуда А = 3. Следовательно, у = Зев', и общее решение неоднородного уравнения есть у = уо+у = с" (Ся соя /+Сэ яш1+3). Возвращаясь к первоначальной независимой переменной х, получим овончательно у = хэ (С1 соя 1п х + Сэ ейп 1« х + 3) .
Если учитывать случай х ( О, то общее решение можно ааписать в виде, охватывающем оба случая: у = х'(С1 соя)п(х!+ Свящ!п~х~+ 3). !> Гл. 10. Дифференциальные уравнения 328 П р и м е р 23. Найти общее решение однородного уравнения Эйлера (х+ 2)гр + З(х+ 2)р Зр О <г Положим р = (х + 2)».
Тогда имеем р' = Л(х + 2)» г, ро = = Л(Л вЂ” 1)(х+ 2)" г. Подставлнем выражении р, р', ро в заданное уравнение, получим характеристическое уравнение Лг + 2Л вЂ” 3 = О, корни которого Л1 — — 1, Лг =- — 3. Следовательно, общее решение есть функция Сг р = С,(* + 2) + г с (х + 2)г Найти оощие решения уравнений Эйлера: 10.377. хгрн + хр'+ р = О. 10.378. хгуо + хр'+ 4р = 10х. 10.379.
хгро — бр = 12 1п х. 10.380. хгр'о — Зхро + Зр' = О. 10.381. хгуо' — 2р' = О. 10.382. (2х+ 1)гро — 2(2х+ 1)р'+ 4р = О. 8. Краевые задачи в случае линейных дифференциальных уравнений. Во многих физических задачах приходится искать решение дифференциальных уравнений не по заданным начальным условиям, а по нх значенилм на концах интервала.
Такие задачи получили название краевых (ераквчных) задач. Общий вид краевых условий длл интервала (а, б) в сл1 ~ае уравнений 2-го порядка таков: аор(а) + Ддр'(а) = А, а1р(б) + Яр'(б) = В, (20) где ао, аы (го, 171 — одновременно не равные нулю заданные постоянные. Краевые условия называютсл оонороонььни, если из того, что функции р1(х) и рг(х) удовлетворяют этим условинм, следует, что и их линейная комбинация р(х) = С~у~(х) + Сгрг(х) также удовлетворяет этим условинм. Краевые условия (20) при А = В = О, очевидно, однородны.
Краевые задачи не всегда разрешимы. При решении краевой задачи сначала находится общее решение данного дифференциального уравнения, и из граничных условий получается система длн определения значений постоянных Сы Сг, ..., С„, при которых из общего решения получается решение данной краевой задачи. П р и м с р 24. Найти решение уравнении ро + р = 1, удовлетворяющее условилм р'(О) = р'(л) = О. г Исходное уравнение имеет общее решение вида р = Сг соэ х + Сг э|п х + 1. Из граничных условий получаем: р'(О) = Сг = О и р'(х) = — Сг — — О, так что функция р(х) = С| сов х+ 1 удовлетворяет граничным условиям при любом Сы С Пример 25.
Найти частное решение уравнения ро — 2р' + 2р = е*, 3 2. Дифференциальные уравненил высших порядков 329 удовлетворяющее краевым условинм у(0)+у( — ) =с'~~, у(0)+у'( — ) =1. З ХауактеРистичсское УРавнение Лг — 2Л+ 2 = 0 имеет коРни Л~ г = = 1 х гб Общее решение соответствуюгцего однородного уравнения есть уо = е*(Сг соях+ Сгя1пх).
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде у = = Ае*. Подставив у' = Ае* и ун = Ае* в данное уравнение, получим Ас* = е*, откуда А = 1. Итак, у = с', и общее решение исходного уравнения имеет вид у — с (С1соях+ Сгягпх+ 1). Найдя у' = сг(С1 соя х + Сг ып х + 1) + с*( — С~ яшх + Сг соя х), используем краевые условия. Получим систему уравнений для определения Сг и Сг. (Сг + 1) + ел,'г(Сг л 1) елбг (Сг + Сг + 1) + е'~г ( — Сг + Сг + 1) = 1. Решив вту систему, находим е" — 1 — е" ~г 1 — 2с" бг С,=, С= 1+с" ' 1+си т. е, искомым частным решением является функция л 1 ет/г 2сл/г у = с' ~ соях+ яшх+1 .
~> 1+ ел 1+ с" Найти решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющие заданным краевым условиям: 10.383. ун — у = 0; у(О) = О, у(2х) = 1. 10.384. уп — у = О; у(О) = О, у(1) = 1. 10.385. ун + у = О; у'(О) = О., у'(1) = 1. 10.386. ун + у = О: у'(0) = О, р'(х) = 1. 10.387. ууи+ у' + 1 = 0; у(О) = 1, у(1) = 2. 10.388. ун+ у = 1; у(О) = О, у ( — ) = О. 10.389. уу'+у' +уун = 0; у(0) = 1, у( — 1) = О, 10.390. хгун — 2ху'+2у = хг; у(0)+2у'(0) = 1, у(1) — у'(1) = О. 330 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
