341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Системы дифференииальных у авненнй 341 Х(л(((). Общее решение системы имеет вид Х(() = ~ СьХ(лО((). (15) При этом возможны следующие случаи: а) Л вЂ” действительный корень кратности 1. Тогда (л( рз Х(л2(() У(л)глю . лс удовлетворяющее условиям хз(0) = 6, 0 Характеристическое уравнение (14) хг(0) = -6, хз(0) = 24. для этой системы имеет вид 4 — Л 1 0 3 2 — Л 0 2 3 4 — Л г(ез(А — ЛЕ) = Его корни Лз = 1, Лг = 4, Лз — — 5. Собственные векторы, например, таковы; — 9, У '(= О, У('~= 1 Поэтому 3 0 1 Х(лО д,,~ Х(лг) 0 и Х(лз) 1 ы 7 1 5 Отсюда общее решение системы в соответствии с (15) имеет вид Х(() = Сл — 9 е'+Сг 0 е"'+Сз 1 ез'.
где У(л> — собственный вектор матрицы А, соответствующий собствен- ному значению Л (т.е. АУОО = ЛК (л>, У(л( ф 0). Пример 10. Найти частное решение однородной системы хз = 4х1+ хг, хг = Зхз + 2хг, хз = 2х1+ Зхг+ 4хз, 342 Гл. 10. Дифференциальные уравнения Для нахождения частного решения константы Сз, Сз, Сз определяем иа следующей системы: Х (0)= -6 =Сз -9 +Сг 0 +Сз 1 ЗСз + Сз — 9Сл + Сз 7Сз + Сз + 5Сз откуда Сз — — 1, Сз — — 2, Сз = 3. Окончательна для искомого частного решения получаем Х(1) = хз(1) = — 9 е'+ 0 ем+ 3 ез'. С> б) Л вЂ” комплексный корень кратности 1.
Тогда корнем характеристического уравнения (14) является такасе сопряженное с Л число Л. Вместо комплексных частных решений ХОО(г) и ХОО(г) следует ваять действительные частные решения Х~ (1) = КеХ~~~(г) и Хз (г) (л) л Р> = 1ш Х<л>(С). Пример 11. Найти общее решение системы хс(1) = хз + ха, хз(1) = — 2хз + Зхз. З Характеристическое уравнение 1 — Л 1 — 2 3 — Л( имеет комплексно сопряженные корни Лк з = 2 х з1 Для нахождения собственного вектора, соответствующего корню Л = 2+ з, получаем систему ( — 1 — з)у~ + рз1 ~ =О, — 29~ ~+ (1 — г)рз~ ~ = О. Полагая р, = 1, находим рз = 1+ з, т.е. <л> , <л> э 3.
Системы дифференциальных уравнений 343 Отсюда пара действительных частных решений имеет следующий вид: 1 + 1 е21(соэ С вЂ” яп С) соа С вЂ” яп С 1+1 е2'(сов С+ яп С) соэС+ япС Окончательно (см. формулу (15)) получаем общее решение ( сов С ~ 2, ( япС '~ я е соэ( — яп(С 2 ),соэС+япСС С1 соа С + Сг яп С е'. с. (С1 + С2) соэ С + (Сг — С1) эш в) Л вЂ” корень кратности т > 2.
Соответствующее этому корню решение системы (13) ищется в виде вектора а( ) +а(2)С+... +а( )С" " Л(л)(С) — аг + аэ С+... + аг С елг (1) (2) (т) „ 1 (16) коэффициенты которого а,, 1 = 1,..., и; у = 1, ..., т, определяются О) из системы линейных уравнений, получающейся приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях С в результате подстановки вектора (16) в исходную систему (13). Пример 12. Найти общее решение системы Х1(С) = 2Х1 — Х2, х2(С) )х! + бх2. а Характеристическое уравнение =(Л вЂ” 4) =0 имеет корень Л = 4 кратности т = 2. Поэтому ищем решение системы в виде л (л) (С) х1(С) а! + А С г! Гл. 10.
Дифференциальные уравнения 344 Подставляем зто выражение в исходную систему и сокращаем иа е~'. 33г ог ~3г 4ог + бог 48г + 633г Приравнивал коэффициенты при одинаковых степенях с, получаем: ~3г +2ог+ог = О, 33г — 4о1 — 2ог — — О, 2А+Пг =О, — 2~3г — 401 = 0 Полагая аг = Сг и А = Сг, имеем ~3г = — 2Сг и ог = — 2С~ — Сг.
Таким образом, общее решение системы имеет вид (л) 3 С1+Сг1 1 и — (') - (,-2(С, +Сг) -2Сг~) ' Решить следующие системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Там, где даны начальные условия, кроме общего решения, найти соответствующее частное решение: 10.431. х = у, у = — 2х + Зу. 10.432. х = х+ Зу, у = — х+5у; х(0) = 3, у(0) = 1. 10.433. х = Зх — 2у, у = 4х+ 7у; х(0) = 1, у(0) = О. 10.434. х = 2х — 5у; у = 5х — бу. 10.435. х = х — 4у, у = х — Зу. 10.436.
х = — х+ 2у, у = — 2х — 5у; х(0) = О, у(0) = 1. 10.437.т=у, у=в, й=х; х(0)=у(0)=в(0)=1. 10438. х = у+я, у = г+х, г = х+у' х(О) = у(0) = 2, г(0) = -1. 10.439. х = х — 2у — г, у = — х + у+ х, Ь = х — г. 10.440. х = 5х+ 2у — Зг, у = 4х+ 5у — 4г, г = бх+ 4у — 4г. 5. Линейные неоднородные системы. Нормальнап линейнал неоднородная система дифференциальных уравнений имеет вид хг —— аы (с)х1+ агг(г)хг +... + аго(с)х„+,уг(Е), хг — — агг (С)хг + агг(г)хг +... + аг„(с)х„+ Уг(с), х„= а„1(г)хг + а„гЯхг +... + а„„(г)х„+ 3„(г), '3 3. Системы дифференциальных уравнений 345 где по крайней мере одна из функций уь(г) не равна тождественно нулю.
В матричной форме система (17) имеет вид Л(1) = А(г)Х(1) + г(г), (18) т где Г(1) = ((~(1), Ут(С), ..., У"„(1)) . ИнтегРиРование системы (17) мозно проводить методом исключения (см. пример 3), однако иногда предпочтительнее найти предварительно решение Хо(1) соответствующей (18) однородной системы (19) Х(1) = А(1)х(1) и какое-либо частное решение Х(1) системы (18). Тогда общее решение системы (18) имеет вид х(1) = х. (1) + х(1). Если известна фундалгентальная система Хь(1), л = 1, 2, ..., и, решений однородной системы (19), то общее решение Х(1) можно найти методом вариации произвольных постоянных. Именно, полагая (21) определяем функции Сь(1) подстановкой (21) в систему (18). Учитывая при этом равенства Ль(1) — А(1)хь(1) = О, й= 1, 2, ..., и, приходим к системе уравнений относительно Сь(1): (22) Из этой системы находим Сь(1) = ~рь(1) и, интегрируя, получаем функции Сь(г) с точностью до произвольных постоянных. Подставляя их а (21), получаем искомое общее решение неоднородной системы (18).
П р и м е р 13. Зная фундаментальную систему решений Х~(1) = ет', Хт(1) = е' однородной системы х1 — — бх, + хэ, хз = 5х1 + 2хг, Гл. 10. Дифференциальные уравнения 346 найти обшее решение неоднородной системы х1 = бх1+ тг + 1, хг =5хг+2хг+1 г Воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Для функций С|(~) и Сг(1) составим систему вида (22) С1(1) 1 е '+ Сг(~) 5 е' = Найдя 51+ 1 — н С1(1) = е ~', Сг(1) = — е ' 6 ' 6 и проинтегрировав, получим Сг(~) = — ( — 1+ — ) е + Сы Сг(1) = -ге + Сг /5 2Л -с г,42 49) 6 Таким образом, общее решение системы запишется в виде Х(г) = — — 1+ — е т'+С1 ем+ -ге '+Сг е' = 2 2 =С1 1 е'+Сг 5 е + 7 49 Если коэффициенты а,, (г) системы (17) постоннны, т.
е. а,,(г) = асм г, у = 1, ..., и, а функции Л(1) имеют вид произведений (Р(г) сов 61+ Ц(1) агпрг)е ~, (23) где Р(1) и С„л(г) -- многочлены, то частное решение Х(г) можно найти методом неопределенных коэффициентов, записав Х(г) в виде, аналогичном (23), с учетом совпадения или несовпадении чисел а х Ц с корнями характеристического уравнения. Следует иметь в виду, что если й — наибольшая степень многочленов Р(1) и с'„1(1) в (23) и Л = а + Ц вЂ” корень кратности г характеристического уравнения, то частное решение Х(а) ищетси в виде '71ог + 7ггг + + Ъ,| Ы уго1 + 7г1г + + 7г,вы и 1"-1 Л'(1) = Ве '3 3.
Системы дифференциальных уравнений 347 Пример 14. Найти частное решение системы х1 — т2 + 1 г хг = х1+ е'. — Л вЂ” 1 < Так как характеристическое уравнение = О имеет корни Л1 г — — хг, ищем частное решение системы в виде суммы многочлена второй степени и функции вида Ре'1 хг = А11~ + В11+ С1 + Рге', хг = А21 + Вгг+ Сг + Рге'. Подставляя эти функции в заданную систему, получим равенства 2А11+ В1 + Рге' = — А21~ — В21 — Сг — Рге' + г~, 2Аг1+ Вг + Ргег = А112 + В11+ С1 + Рге + е1. В1 — — — Сг, Р1 —— — Рг, 1 — Аг — — О, В2 = С1, Рг = Р1 + 1, А1 = О. 2А1 = — Вг, 2А2 = В1, Отсюда А1 = Вг —— С1 = О, Аг = 1, В1 = 2, Сг = — 2, Рг = 1/2, Р1 — — — 1/2, и искомое частное решение имеет вид 1 х1 = 21 — -е' 2 2 1 хг —— 1 — 2+-е. С 2 Пример 15. Найти общее решение системы Х(1) = АХ(1) + Е(т), гдеА= 1 4 ик 2 а Характеристическое уравнение 1 4 — Л =Л вЂ” 6Л+8+1=(Л вЂ” 3) =О имеет корень Л = 3 кратности 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
