341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Общее решение однородной системы /о1+ ях 21 ищем в виде Хо(1) = ~ ц е, подставив которое в однородную '171+5/' Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 1 и при е', полу- чим систему Гл. 10. Дифференциальные уравнения 348 систему и сокращая на ез', имеем Получим систему 3(сзС + ф) + ~3 = 2(сзС + СУ) — (.СС + б), 3(.уС + б) + б = аС+ СЗ+ 4( уС+ б), из которой следуют два независимых соотношения сз = — -у и Сз+сз = — б. Полагая сз = С~ и Су = Сг, имеем у = — С1 и б = -С1 — Сг, т, е.
С С+С вЂ” СзС вЂ” (С1 + Сг)) Так как Г(С) содержит множитель е~~, причем Л = 3 — корень характеристического уравнения кратности 2, то ищем частное решение в виде А Сг+В С+Р,Л ж А Сз+В Сг+Р С 1,АгС + ВгС+ Рг/ 1,АгС + Вгз + Ргз) аневвидеС 1 В е Подставив Х(С) в заданную систему и сократив на ез', получаем матричное равенство А,Сз+ В,Сг+ Р,С) (ЗА,Сг+ 2В,С+ В,'з Агзз + ВгСг + РЯ 'лЗАгСг+ 2ВгС+ Ргс) 2 — 1 А,Сз+ В,Сг + Р,С которое можно записать в виде равенств Азз~ +В~Сг+РзС+ ЗАзС + 2В1С+Р| — — — АгСз — ВгСг — Ргс+ С+1, — Агз — ВгСг — Ргз+ ЗАгСг + 2ВгС+Рг = АзС + В~С~ + РзС+ 2С. Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях С, получаем систему уравнений Аз + Аг —— О, В +ЗА +В =О, Рз+2Вз+Рг =1, Р,=1, Аз + Аг Вз + Вг — ЗАг Рз + Рг — 2Вг Рг О, О, — 2, О. 3 4.
Элементы теории устойчивости 349 Находим Вг — — 1, ггг — — О, В1 = О, Вг — — 3/2, Аг — — — 1/2, Аг =- 1/2. Следовательно, — — +1 г 2 и -г~+ -г 2 2 и искомое общее решение запишется в виде х (е) = л' (с) + х(с) = г С,г+ Сг — -С + г 1 г е . ~> — С1 ~ — (С1 + Сг) + -гг + -гг 2 2 Найти решения следующих систем уравнений: 10.441. х = Зх — 2у + Ф, у = Зх — 4у.
10.442. х = х — у, у = х + у + е'. 10.443. х = 5х — Зу+ 1ег', у =- Зт — у+ ез'. 10.444. х = х + у — сов 1, у = — 2х — у + зш 1+ сов 1. 10.445. х = у + 18г 1 — 1, у = — х + 181. 10.446'. х = 2.т, + Зу, у = 4х — 2у. 10.447*. Вещество А разлагается на два вещества Р и Я. Скорость образования каждого из них пропорциональна массе неразложившегося вещества А. Найти законы изменения масс х и у веществ Р и Я в зависимости от времени 1, если через час после о Зо начала процесса разложения х = †, у = †, а — первоначальная 8' 8' масса вещества А.
10.448*. Материальная точка массы т притягивается центром 0 с силой, пропорциональной расстоянию. Движение начинается из точки А на расстоянии а от центра с начальной скоростью оо, перпендикулярной к отрезку ОА. Найти траекторию движения. 8 4. Элементы теории устойчивости 1.
Основные понятия. Пусть запана нормальная система дифференциальных уравнений хг(г) = /г(~, хм хг, хп) хгЯ = /г(~, хм хг,, х ), х„(Г) = /„(й хг, тг, ..., х„) Гл. 10. Дифференциальные уравнения 350 с начальными условиями в точке 1о.
Решение Хо(г) = (Ф~(г),, 'Рп(г)) системы (1) называется устойчивым но Ляпунову, если длп любого е > 0 найдетсп такое 6(е) > О, что длл вснкого решения Х(г) = т = (х|(1), ..., х„())) той же системы, значения которого в точке 1о удовлетворяют неравенствам /х;()о) — р.()о)! < й(е), 1 = 1, 2, ..., п, (2) длп всех 1 > )о справедливы неравенства !х,(1) — у,(1)! < е, г = 1, 2,..., п. (3) Если же при сколь угодно малом й > 0 хоти бы длп одного решении Х(т) неравенства (3) не выполняются, то решение Хо(г) называется неустойчивым. Если решение Хо(1) не только устойчиво, но, кроме того, при условии (2) удовлетворяет соотноше|н1ю 1пп )х (1) — р;(1)! = О, г = 1, 2,..., и, с -~- то это решение называется асимптотически устлойчиеь м.
П р и м е р 1. Исследовать на устойчивость решение дифференциального уравнении х = ах (а й К), определяемое начальным условием хо(го) = Со. з Если а ~ О, то решение имеет вид хо(1) = Сое 0 "' Пусть х(1) = Се'0 "' — произвольное решение этого уравнения, удовлетворяющее условию )С вЂ” Со! < б = е.
Тогда при а < 0 получаем )х(1) — хо(1)~ = )Сепй ы) Совий-м)! еай м))С Со/ < е откуда 1нп )х(1) — хо(1)~ = )С вЂ” Со! 1нп е~й ы) = 0 $ — >ч-ао 8->+со т. е, решение асимптотически устойчиво. При а > 0 1х(8) — хо(1)! = еар — са))С Со) может быть сколь угодно большим числом при достаточно больших й Значит, при а > 0 решение неустойчиво. Если а = О, то решение имеет вид хо(1) = Со. в 4.
Элементы теории устойчивости 351 Для всякого решения х(г) =- С с условием ~С вЂ” Со! < б = е имеем !х(г) — хо(г)1 = )С вЂ” Со~ < е. Но 1пп !х(с) — хо(~)) = )С вЂ” Со) ф О, а потому решение устойчиво, но не асимптотически устойчиво. С Исследование на устойчивость рггпския Хо(~) системы (1) игьчет быть св(дено к исследованию на уст 1йчпвость тривиального (пулевого) решения -- гпочаа покоя некоторой системы, аналогичной системе (1) (см. задачу 10.454).
Исследовать на устойчивость решения следующих уравнений и систем уравнений: 10.449. т =- 1(х — 1), т(0) = 1. 10.450. х = 1 — 1, х(0) = — 1. 10.451. х = х + у, у = х — ц; х(0) =- 0(0) = О. 10.452. х = -2х — 30, р = х + у; х(0) =- у(0) = О. 10.453. х = сгх — 9, р = сгу — г, г = сгг — -; х(0) = у(0) = = х(0) =- О, а Е К. 10.454". Написать систему дифференциальных уравнений, исследование нэ устойчивость точки покоя которой равносильно исследованию на устойчивость решения Хо(~) системы (1). 10.455. Сформулировать определении устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости для точки покоя системы дифференциальных уравнений. 2.
Простейшие типы точек локон. Для исследования на устойчивость точки покоя системы двух линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными ковффипиентами х = аых г аггу. ан и~г~ у аггх + аггр аг1 агг ~ (4) надо составить характеристическое уравнение агг — Л агг —. Л' — ( „+ а.„) Л .- Ь =- О аг1 агг — Л и найти его корни Л1 и Лг. В табл. 4..' привгчгна классификации точек покои истомы (4) в заьиспт ос и ог корней Л~. Лг хараст~р»стпч ского уравнгния. Гл.
10. Дифференциальные уравнения 352 Таблица 4.1 Устойчивость точки покоя Характер точки покоя Корни Лм Лз л <о, л <о Л1 > О, лз >О Неустойчивый Неустойчива л >о, лз < О Седло Неустойчива Устойчивый сс>0 ДФО Неустойчива Устойчива Центр Устойчивый узел л< о Неустойчивый узел Неустойчива Л > О Дсйствитель- цыс: Л| ~ Лв Комплексиыс; л1 =о-ь!!у, Лв = ц — г!У Нействитсль- кый, кратнос ти 2: л! — лз — л и<0 Нфо Устойчивьай узел ~у/ Асимптотически устойчива Асимптотически устойчива Асимптотически устойчива Э 4. Эле!!енты теории устойчивости 353 Пример 2.
Определить характер и исследовать на устойчивость точку покоя системы х = — 2х+ ау, у=х+у в зависимости от параметра а (о ф — 2). а Характеристическое уравнение =Л +Л вЂ” (а+2)=0 1 1 имеет корни Л! т = — — х — !/9+ 4а. Исследуя поведения корней Л!, Лт 2 2 в зависимости от параметра а и используя табл. 4.1, получаем: если а < — 9/4 (корни комплексные, КеЛ! э < О) — устойчивый фокус; если — 9/4 < а < — 2 (корни действительные и отрицательные)— устойчивый узел: если — 2 < а (корни действительные и разных знаков) — седло, точка покоя неустойчива. С Определить характер точек покоя следующих систем: 10.456.
х = х + 2у, у = — Зх + у. 1, 1 10.457. х = — 2т+ -у, у = — 2х+ — у. 3 ' 2 10.458. х = — х + Зу, у = — х + 2у. 10.459. т =- — р, у = х — 2у. 10.460. х = — бх — 5у, у = — 2х — 5у. 10.461. х = — х+ 2у, у = — 2х — 5у. Определить, при каких значениях параметра гт точка покоя системы устойчива. 10.462. т = ох — у, у = х + 2у. 10.463. т, = — Зт+ оу, у = — ах+ у.
10.464*. Исследовать на устойчивость решение уравнения упругих колебаний х+ 2ох+/З~х = 0 (!т ) 0). 10.465*. Пусть задана система и линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 1 = 1, 2, ..., н. 2=! Доказать, что если все корни характеристического уравнения атой системы имеют отрицательную дсйствительну!о часть, то точка покоя системы асимптотически устойчива. Если же хотя бы один Гл. 10. ДифФеренциальные уравнения 354 из корней характеристического уравнения имеет положительнуьо действительную часть, то точка покои неустойчива.
Используп результат задачи 10.465, исследовать на устойчивость точку покоя каждой из следующих систем: 10.466. т, = 2х, у = Зх+2у, г = — х — у— 10.467. х = — 2х — у, у = х — 2у, г = х + Зу — г. 3. Метод функций Лппунава. Этот метод в применении к автономной гистемг хь — — 111хы..., хи), (5) х» =,Уаадсы ..., хи), где у',(О, ..., 0) = О, 1 = 1, 2, ..., п, состоит в непосредственном исследовании устойчивости ее точки покоя при помаши подходпшим образом подобранной функцааи Ляпунова Ч(хы..., хи). Верны слодуюшиг теоремы Ляпунова: Теорема 1 (об устойчивости). Если существует диарфсренцируемая функция 1 1ха, ..., х„), удовлетворяюиьая в окрестности начала координат следунпцим уа:ловиям: а) И(хы ..., хи) > О, приаьем И = 0 лишь при х1 =...
= хи = 0; д)а п д1а б) — = 2 у;(хы...,хи)<0, а=1 Ха то то ака покоя сцстемы (5) успаой шва. Теорема 2 ~об асимптотической устойчивости). Если существу- ет дифферснцаарусная уаункция 1'(хы ..., хи), удовлетворлющал в окрссп1ности начала координат следующим условиям: а) 1а1хы ..., хи) > О, пРичем 1' = 0 лишь пРи ха —— ... — — х„= О, д)Г аа д1' д)г б) — = 2 — );(хы ..., х„) < О, причем — = 0 лишь при дс,и, дх; с11 хь =... = хи = О, то гао ака покоя системы (5) асимптотическн устойчива.
Теорема 3 1о неустойчивости). Если существует диффереагцирау- смая функция 1а1хы..., х„), удовлетворяющая в окреглпности начала координат условиям: а) 1а(0, ..., 0) = 0 и сколь угодно близко от начала координат имсютсл точки, в которых И(хы ..., хи) > 0; Л ° д1 дИ б) — = 2 За(хы..., ти) > О, причем — = 0 лишь при хь —— ... = х„= О, то то.ка покоя систглаьь 15) неустойчива. 3 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
