341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 56
Текст из файла (страница 56)
— соя —. 6.48. — 4с4и —,. 6.49. 24х(1+ 4хг)2. 6.50. 2 3 2Я+ Зхг 1 2 соя 4х 6.51. — 1 .. 662. )Гз — 1 4 .4 4! -'; 4*). 6.55. 1 1» 4 2 ~соя4х) 1 1 Зя!п2х 6.54. — .. 5.55. — . 6.56. 2* *)1 .). 1 — 11* З 4 144 т* — 1 2х 6.57. -ег)Я ~сояг — — |4п — ~.
6 58. |5~ + а. 6.59. —. 6.60.— '3 (, 3 ' 3)' ' ' ' ' соях' ' '1 — х4' 6.61. — —. 6.62. 1 хг — 1 !' +4)гг 46)*)2) з)." ")*41)*)1))! )! !),))| 6.63. — — соя — в!и!|22!п — ). 6.64. — . 6.65. 3 Зв 1 ' З) 4,~ .'» '.; 2(1+") |2)аг — Р е*)2 ° 1+ 2хг 6.66. 28п(я!их). 6.67. — (1 + х). 6.68.
— е ' а+ 5соях 2|гх 2хг „, „1и х — 1 6.69. 2гО"" . !п2. 6.70. 2""" г!п2 соях ясп(я!пх). !аг х 6.П. 32 2' 1п 3 !п 2. 1 Хг 1 4 ЕФ" 44'я'44гв6!(2аХ+ Ь! 6.72. — 1д —. 6.73., 6.74. х 10 х!и2 !п2х 2~/Гп(ах|+ Ьх+с)(ахг+бх+с) х 1 6.75. — -„= — — — ===.===. 6.76. —.
6.77. с! х. (2+ 22))/1-).,тг и4)р,;2! + уг в)442 И у| Ответы и указания 371 6.88. (1пх)'/х х 6.78. яЬ х. 6.79. —. 6.80. — —. 6.81. 1 1 (х — 3) (19Х вЂ” 17) сЬ х яЬ2 х (х + 1)4 10 — 2х — 2хг 2х +Ох+1 6.82.. 6.83. 3* 423 ((ь ь0 2Г (* — 1) 2 * + 2 Д(* 1) (2* 0 1) 11хя — 7Х4 — 58хя + 48хг 8.84..
6.85. хх(!пх — 1). 6.86. хг 2' х 4~/х — 1,/(х + 2)Я ",/(х — 2)Я х — + 1п х !п 2 . 6.87. (,/х) "* 1 — 1п х 1п !п х В х / 1 п я 1 П Х хг !их Ьг:з (1пх)х / 1 2!пх4) 690.хх хх '(1+х!пх(1пх — 1)). 691. 1п1пх+ — —— 1пх х ) 2 /1 692. хх т~(1+ !пхг) -(- хг* 2* — -)-1п2 1пх -)-22 !п2. хх(1пх+ 1), ) х х > О. Указание. Найти производную каждого слагаемого. 102 1 6.33. — 1 2 . . У . В 2 1-'; *( *1- 10 .) промежуточной переменной взять и = сояг х и далее воспользоваться агссоя х правилом дифференцирования сложной функции. 6.94. — х /1 г ,~агся!пе * +е * (1 — е '* )'/2 х(21пагссоях + 1).
6.95. — 2хе * (1 3,-2хг)з/2 а х!па 6.96. — (4а *агссВа х + а гх — 1). 6.9Т. а = 2, 6 = О. (1 -)- а гх)2 Указание. Условия непрерывности !цп /(х) = !цп !(Х) и диффе— — о то ренцируемости /' (О) = у+(О) составляют в совокупности систему двух 1 3 уравнений относительно а и 6. 6.98. а = — —, 6 = —. 2' 2 2хг 1+ 21/х+4,/ХХ/х+,~х у(1 *) О *) Вуг~ " .;. ((:;:) ""'--(:".)" ") 6.102. — с4п2хсоя(соя2х). 6.103.
= . 6.104. (-1 х соя"+1(тх) соя" тх У 6/ Я (2) ( — 01 -), * О. 6.103.. 6.106. Г2 / х1 218х(1+182х) !х! ( 1!( —. 6.107. 222!оВгесВВ(2ях+ — ). 6.108. ) 372 Ответы и указанил сгв в 1 6.109. — . 6.110. (сбп х)ггв х(с!8 х соя х — я!и х !и гбп х). 6.111. — х х!п х 2 , 2 я!и х) г сбп х х (т/х)м" ' я!гг2х!пх+, 6.112.— а "~'*(1+г/соях!па). х у 2соях 6.113. Г!г~х11-Г- ). 6.114.. 6.115. е '(асЬах — яЬат). 2яЬх) сЬ2т 6.116.. 6.118. — . 6.119. соя(х — лй), если х Е ябп (яЬ х) ! с!г х х~/х' — 1 6 (хк, л(Й + 1)), если гке х = лй, то у' (лй) = — 1, у'„(лй) = 1, х.
6 У. 1 1 6.120,, х > О; —,, х < 0; у' (0) = — 1, у'„(0) = +1. 1+ х- !+хг 1 6.122. — 1, х '- О; — е *, х > О. 6.123. 1, х < О; †, х > О. 6.124. О, +х — г 2хз + 4тз Збхг + 54 3 (х! ~> 1; 2хе * (1 — х ), )х) < 1. 6.125. а( 6.126. у = ~ . 6.127. а* х" ' . а!па. 6.128. (!об, а)' х гх — и, 1 х — — — !п!об„х . 6129. сояхсоя(сйпх) соя (сбп(я!ггх)). !пх 1 "*1 6ЛЗО. — ) . 6.131.
— — (1+ !и 3). '( х хг 3* а соках соя бх+ Ья!пахсбпбх г' ~( (* я!п ах 6.132. 3сояьх !п3+ сояг Ьх 1, сояг Ьх 6 135. (р(хо), У к а з ание. Воспользоваться определением производной. (р(х)(р'(х) + гр(х)гу(х) р'(х)ф(х) — р(х)4 (х) ~гр(.(: — г'(.) 6.138. ф(х)т1*! (р'(х) 1п(у(х) + ) .
6.140.. 6.141.— (р(х)г)('(х)г г'(!и х) у((х) г(г(х) ) х ' у(х) ' 1 Ьг 6.143. у'фх))~'(х). 6.144. —. 6 145. — —. 6.146.— 3 е 6.147. 6.148. — ~)( —. (у 6.149. 1 у(2у' — ') ' 6.150. ея соя х — е* соя у ' х 2я(1 — 2*) 6.153. 1 — уг ! — т/à — хг, х+у у1 — х — у' 5'.154.. 6.155. ! — хг 1 — /1 уг' х — у х1+хг+уг 6.156. — . 6.157. —. 6.160. х . Указание. Функух!пу — у у 1 х у !п х — х х (г(хрг — 1 пня у = сЬх,, х Е ( — оо, +оо), не имеет обратной, позтому следует Ответы и указания 373 рассматривать два промежутка ( — со, 0) и (О, +со), на каждом из которых заданная функпия монотонна и, следовательно, имеет обратную. 1 1 2 6.161.
!оВ, е ссйх. 6.162.. 6.164.. 6.165. ~/1 + Вх 1+ еМ*1 ' ' 1+ Саг(х) 6.166.. 6.167. а(х) 1 5 1 6.168. 3! — —. 6.169. а(х) + !оВг е 1+ !па(х) 2 3! 6.170. — . 6.171. — 2г'+'. 6.172. — — ссВьг. 6.173. 2сояг ! х !+1 а 2 х(соя2! — 2я1п2!).
6.174. 1. 6.175. —. 6.176. — 1п2сс820 2 3 6.177. — . 6.178. ' , . 6.179. — 1Ы, 6.180. 1. 6.181. -1. 2,/4 !г' ' ' !(1 з71)Я' ' ' а 2 — Сх4 2 6.182. 2+~/3. 6.183. — —. 6.184. — 2 соя 2х. 6 185.. 6.186. — — х 3 (1+хз)г 31п2 х —. 6.187.
2е (2х — 1). 6.188. г г + хг + 1 Я, г Зх (1 + 2хг) агсаьп х /1 1 1 1 6.189. х'~ '(2 + 1пх) ~ — 1пх+ — — + . Указа- 2 4з/х 2игх(2+ 1пх)/ нне. Воспользоваться логарифмической производной. 6.190. у'(О) = 3, ун(0) = 12, ун'(О) = 9. 6.191. 2. 6.192. б. 6.193. У(0) = 1, у'(0) = 1п 2, 2, 1 н С, 1 4 н 1 Ун(0) = 1п 2 — 1. 6194.У' = — гУ'(,)' У з( ( г)+ яГ ( г)' е~у'(еч) н г ! у'(е ) у"(е~) у' (ея) ии'+ оо', (иг + иг)(иин + иин) + (и'о — ио')г и' /иг + г ' (иг + иг)яуг ' и т1 и и „г ' ' '( — и)1 О, если и > ги. 6.200. (!г!па)"аь*.
6.201. сйп (х+ и — 1. Указание. у' = 2/ = соя х = сйп (х + — 1, ун = (я1п ! х + — )) = соя ( х + — ) = яп1 (х + я') и т.д. 6.202. ( — 1)" ' . 6.203. 2" ' соя (2х+ — ). Указах" 2) 1+ соя 2х 2и1 ние. Воспользоваться формулой; сояг х =- . 6.204. 2 (1 — х)"+' (х — 1)во (х 2)во 1 3 5 37(79 т) 6.206, . 6.207., „. Указание. Вос; (хг — Зх+ 2)ы ' ' 2го(1 — т)гоз/! пользоваться равенством 1+х = 2 — (1 — х). 6.208. соях (209 — х — хг)— — 15 сйп х (2х+ 1). 6 209. е*(х + 39х+ 360). 6 210. 4з/2 я1п (х — — ) е 4/ 374 Ответы и указания 8!!о8з е 6.211..
6.212. хяпх+100с!гх. 6.213. Указание. Доказательхз 24сз (ад — бс) ство провести методам математической индукции. 6.216.— 6.217. — 48. 6.223. — —. 6.224. ез" . 6.225.— рз 2 — хе" 2(1+ у)з уз' ' ' (! . з)з' ' ' уз 6.226. у((1+ у) + (х — 1) ) 6.227. — — "* . 6.230. — с!8з ! или з(1+ у)з ' ' ' (/ )з' 1 2 з ( л х1 (.з цз/з' ' ' ' ' ! !з ,, х б (1, +оа).
6.231. —, или — 2яесз х, х б ( — —, — 1. 6.232. 2(1+ !з) или 2яес х, х б ~ — —, — ). 6.233. или 2' 2)' Засояз1сйп! г/з ,*Е( °, ). 623$.7 .~р — 3=0, — 7у+71=0. 3 О 0.2Зй.у — 5=0,*~~=О. 63З~. — ь+4=0,4ь+у — 18=0. 6.238. у — 2х = О, 2у + х = О. 6.239. х — у — 1 = О, х + у — 1 = О.
6.240. 2х — у + 3 = О, х + 2у — 1 = О. 6.241. 7х — 10у + б = О, 10х + 7у — 34 = О. 6.242. у = О, (я + 4)х + (зг — 4)у — згз — = О. з з/2 4 2 6.243. 5х+бу — 13 = О, бх — 5у+21 = О. 6.244. х+у — 2 = О. 6.245. агсг8 -.
е 6246 Ма(1/8, — 1/16). 6.247. у = хз х+ 1 6249 2х — у — 1 = 0 6.250. 4х — 4у — 21 = О. 6.251. 3,75. 6.254. В точке М1(0, 0) угол равен 0 1 8 (параболы касаются) и в точке Мз(1, 1) угол агссб —. 6.255. агссб —. 7 15 6.256. ага!82~2. 6.257. х/4 и л/2. 6.260. 2/т/5. 6.262. з Если кривая задана уравнением т = г(д), та декартовы координаты тачек М втой кривой как функции угла у даются выражениями х = г(р)сазу, у = т(фабио. Отсюда ОЛт" = г(!з) соя~р !+г(р) я!п~р ), т.е.
вектор р(1, !ба) коллинеарен ОЛз. Вектор т(1, у') является направляющим вектором касательной ТТ', а так как у„г'я!пяз+ гаазу г+г'!бр у* х' г' соз у — т я!и ~р т' — г сб р то вектор е(т' — т с8 р, т + т' сб !а) коллинеа рея т. Следовательно, (р, е) т' саад = Ф 1 ! я+с"т' 1 — сояз д г откуда ьб д = = —. !> сояз д т' Ответы и указшзил 375 1, -г 6.263. д = агсСд —. 6.264.
д = — + 2|р. 6.265. а) !с — — О, Ея — — 8; б) С Е Ь' 2 4 4 6 (О, 4) О(8, +со); в) !с = — (3+ з/3), Ь вЂ” — т(3 — ~/3). 6 266. — ам я!пыС. 3 ' 3 7 6.267. 242. 6.268. — л. 6.269. яссе'". 6.270. и, = — 2сссвяш2~р, с, = 18 = — 2асвсоя2р. 6.271.
П точках (3, 16/3) и ( — 3, — 16/3). 6.272. 4сггаи и Влги. 6.273. 2л рад/с. 6.277. (сну) г = 1,2б1, (Пу) с = 1,2, ( з у)т = 0,120601, (с!су)з — — 0,12. 6.278. сая = 2хсхх + с3х', .сЬ = 2хсхх. 6.279. гЬ = /'(Ь)Ь! есть путь, который был бы пройден точкой И за промсгкутогс времени сх! прп равномерном движении со скоростью /'(Ь ). 6.280. сЬ = 0,1, сля = 0,08. 6.281.
а) 0; б) — + Ьл. 6.282. Равенства 2 а) и в) невозможны; равенство б) возможно в случае линейной функции (см. задачу 6.276). 6.283. 2 см. 6.284. 3 см. 6.285. 2з/ат — хз с(х. 6.286. хяшхйх. 6.287. агссбхс1х. 6.288. !пхг!т. 6.289.
агся|пхасх. уа 1+ гйп(х+ у) т — у 6.297. —, с!х. 6.298. а) 0,05: б) 0,805; в) 0,2. 6.299. 2,93. х яш (ху) 6.300. 1,2. 6.301. с1Ъ" - 2лгйсЗг. Указание. Поскольку й постолнна, то с является функцией одного а!сгулсснта гз о = лЬг . 2 ДТ 6.302. сх1г' — — — Лр. Указание. При постоянном Т объем !' явля- 2 р 1 ется функцией только одного аргумента р: !г = ДТ вЂ”.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
