341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 50
Текст из файла (страница 50)
3 х' 10.408. отличен от нуля при любом хо. Следовательно, при любых уо н яо числа С1 н Сэ определяются однозначно, т.е. из системы функций (4) можно получить любое решение задачи Коши для системы дифференциальных уравнений (3). ~> Путем исключения параметров а и 6 найти систему дифференциальных уравнений, определяющих семейства линий в пространстве: 10.400. у = ах+6, (ах+и = 6, х' + у' = г' — 26з. 10.401.
(У2+ з 62 Дифференциальные уравнения или системы заменить нормальными системами дифференциальных уравнений (х — независимая переменная); 10.402. УЯ' — хуу'+ у' = О. 10403 у~ч уэ О 10.405. хв + г — 2у = О, уя' + х — у = х. 10.406. УЯ вЂ” з — и = О, з'+из = хэ, ин' = — ху. Проверить, что функции у(х) и з(х) являются решениями систем дифференциальных уравнений; 1 у = у=е *Уз, з=2е*Уэ 1 У '3 3. Системы дифференциальных уравнений 335 Проверить, что функции Ф(х, у, 2) являются интегралами данных нормальных систем: У 10.409. Ф(х, у, 2) = х+ у+ 2; 2 — У Зх — 42 22 — Зу ' 4у — 2х 22 — Зу У 10.410.
Ф(х...) = хз+ уз+.2; У г у 2 у 1 1 10.411. Ф(х, у, 2) = — — —; у 2. Методы интегрирования нормальных систем. Одним из методов решения систем дифференциальных уравнений является метод исключения неизвестных, который сводит систему уравнений к одному или нескольким дифференциальным уравненилм с одной неизвестной функппей в каждом. Поясним это на примерах (см. также пример 3). Пример 5. Найти обшее решение системы дифференциальных уравнений 2 ггх у ду г)х и частное решение, удовлетворяюшее начальным условиям у(1) = 1, 2(1) = -1/2. 2 Продифференцируем обе части первого уравнения по х, получим Ус = 22 22 — Тагг как из второго уравнения 2' = †, то ус = — †, но из У у первого уравнения = = (у'), поэтому система двух уравнений первого (гг')' порялка свелась к одному уравнению второго порядка ус = — —, т.
е. у к уравнению уус + (у ) = 0 Леван часть полученного уравнения есть (уу ), поэтолгу уу = -Сг, 2 г ., й,. Фйй = -С, г, -й' = -С, -Сг, .. й = ййа,* ~йг. й. 2 2 2 2 Сг "й йй ' """ '"' " ' *= й й С, ФС с, С „,,Фй„йй=*,'С, ФС,, =Ф,йй„й„,б й С,;-С й ..» ФФ.й»»*ту й. Гл, 10. Дифференциальные. ур;шнснил 336 Для нахождения частного решения используем начальныс условия С у(1) = 1, х(1) = — —. Имеем: 1 = ~/С~ + Сз, 2 2 2ъ~С~ + Ст откуда С~ = 1, Ст = О. 1 Итак, пара функций у = з/х, г = — — и есть искомос частное 2/х решение системы. 1> Не всякую систему дифференциальных уравнений можно свести к одному уравнению.
Пример 6. Показать, что систему уравнений ! у =ху~ т'+ у' = з+ ху нельзи свести к одному уравнению. З Действительно, подставив во второе уравнение вместо у' его значение ху, получим два не связанных между собой дифферснцизльных уравнения, каждое из которых содержит только одну функци~о: ! у =ху, 2 (Из этих уравнений находим у = С~с* ~~ и х = Сте .) с Другим методом интегрираванил систем дифференциальных уравнений лвляетсл метод выделения интегрируемых комбинаций, т.е.
получения из системы (2) такого уравненил, которое можно проинтегрировать и получить первый интеграл системы. Если найдены и независимых первых интегралов системы (2), то их совокупность дает общий интеграл этой системы. Пример 7. Найти общий интеграл системы дифференциальных уравнений Ну х + е" <Ь з~ — еие" г1х х+ е* 0х х+ е' < Умножим абе части второго уравнения системы на е " и сложим их с соответствующими частями первого уравнения и с тождеством — с *э:— = — е *х, получим (е *х)'+ у' = О, откуда е хх+ у = Сы Это первый интеграл системы. Теперь умножим обе части второго уравнения на е д и сложим с з+ е" равенствами — е гху' = — е гх и х' = 1, получим (с" лг)'+х' =- О, с+е* откуда е "з+ х = Ст.
Это тоже первый интеграл системы. Так как лкобиан системы е *и+у = Сы е ах+ х = Ст отличен от нуля (проверьте!), то аба первых интеграла независимы между собой, поэтому их совокупность неявно определяет общее решение заданной системы уравнений. 1> з 3. Системы дифференциальных уравнений Для выделения интегрируемых комбинаций из системы (2) последнюю удобнее записать в так называемой симметрической форме: с)У1 11уг с(уп с1:с ,11(х У1 .. Уп) 22(х~у! ° ~уп) сп(х У1 ° ° Уп) 1 (7) и1 и2 и использовать следующее свойство равных дробей: если — = — = ю1 ог ип = — = у, то при любых а1, ..., а, имеет место Оп аги1 + агиг +... + апи = 'у С11и1 + 122О2 + ° ° + апип соотношение (8) тг — 1х у 1у — из пх — ту 1у — па 2 Запишем систему в симметрической форме: с)х 11у с1з = 'у 1У вЂ” пг тз — 1х пх — тяу и воспользуемся соотношением (8).
Выбираем а1 = т, аг = п н аз = 1. тогда имеем с1(тх+ ну+ 1х) — '1'~ т.е. с1(тх+ ну+12) = О, откуда тх+ пу+ 12 = С1. Аналогичным образом, выбирая а1 = 2х, аг = 2у и аз — — 2, приходим к равенству с((хг + уг + 22) = О, откуда +у +х =Сг. (10) Соотношения (9) и (10) образуют два первых интеграла системы, неявно определяющих общее решение. с> Найти общие решения систем дифференциальных уравнений; с(х 1 с(у 1 с(1 с(х с)у 10.412. — = —, — = —.
10.413. — = — = —. с(1 у' Й х ху 1у 1х Числа а1, ..., ап подбираются обычно таким образом, чтобы числитель в (8) был полным дифференциалом знаменателя нли лсе знаменатель был равен нулю. В соотношении (7) независимая переменная и искомые функции равноправны. Пример 8. Найти общее решение системы уравнений Гл. 10. Дифференциальные уравнения 338 и'у х ~Ь 10,414. — = с(х (х — у) г(х (х — у)г Йх х — у Й~ х — у Йх 10.415. — =, — ' =, — = х — у+1. й г — 1' й х — 1' й пу 2ху ох 2з х 10.416.
— ' .2 2 2' Рх хг уг хг' й с1х ду 10.417. — = — = 2~а ' г1х г1у ох 10.418. '1;- 7 — "Б:у 1 2 йх у' йу х' 10.419. — = —, й х й у Найти общее решение системы дифференциальных уравнений, а также частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям: йу г — 1 и 1 10.420. — '- = —, — =; у(0) = — 1, з(0) = 1. зх х ох у — х ду х гЬ х 10.421. — ' = —, — = —,; у(0) = х(0) = 1. дх ух' йх уг' дх 10.422'.
Для системы дифференциальных уравнений й х — й г(у — — = — х и функций а) у1 = гг + 2ху; б) рг = х- — 1у у ' й проверить, являются ли соотношения ~р; = С (г = 1, 2) первыми интегралами этой системы. 3. физический смысл нормальней системы. Для простоты ограничимся рагсмотрснием спгтемы двух дифференциальных уравнений, причем будем считать, что независимая переменная 1 есть время; х=Л(с,х,у), у = Уг(С х, у).
(11) Решение х = д(1), у = й(Г) этой системы есть некоторая кривая в плоскости Оху с фиксированной декартовой прямоугольной системой коо1гдинат. Плоскость ггху называется фазовой ялоскоггльхг, а кривая г: = д(1), у = ф(1) — й1взовой траекторией системы (11). Сама система (11) называется диназгвческвй системой. Динамическая система называется вьнгваогчявй (ыпациокореой), если в правые части уравнении стой гисм ход врг ч С пг вх д "т явгглч образом. 3 3. Системы дяффереяциальяых уравнений 339 Динамическая система определяет поле скоростей движущейся в плоскости точки в любой момент времени й Решение динамической системы х = х(С), у = у(1) — это уравнение двн,,гния точки: они определяют положение движущейся точки в любой момент времени К Начальные условия задают положение точки в начальный момент: х(го) = хо у(Ео) = уо Уравнения движения определяют также и траекторию движения, будучи уравнениями этой кривой в параметрической форме.
Пример 9, Найти фазовую траекторию автономной динамической системы г х= —, у=х, проходящую через точку Мо(2, 3). О Продифференцируем второе уравнение по С и подставим выражение (р)' х = у и х = у в первое уравнение. Получим р = —, или рр — (у) = О, э' т. е, одно уравнение второго порядка с одной неизвестной функцией у. Разделим обе части последнего уравнения на рг и перепишем его так: — д = О. Отсюда следует, что — = Сы или — = Сг й, откуда ' а (,рг) „=С„с Найдем р = С1 Сгео" и подставим во второе уравнение системы; получим х = СгСге~я.
Итак, система функций х = С,Сгес", у = Сгеом есть общее решение нашей системы дифференциальаых уравнений. Исключая из общего решения время г (Сге~" = р), получим, что фазовыми траекториями системы являются прямые х = Сгу, причем 3 через заданную точку Мо(2, 3) проходит прямая р = -х. с 2 Для указанных систем найти фазовые траектории, проходящие через заданные точки Мо: 10.423. х = 1 — хг — уг, у = 2х; Мо(1, 2).
10 424 х = 1 — *г рг у 2*0; Мо(2~ 1). 10.425. х = 2х, у = х + 2у; Мо(1, 1). 10.426. х = у — х, у = у — 2х; Мо(1, 1). 4. Линейные однородные системы. Нормальная линейная однородная система я-го порядка имеет вид хг — — ам(С)хг + агг(1)хг +... + а,„(С)ха, хг = агг(1)хг + агг(С)хг +... + аг Яхк, (12) т„= а„1(С)х1 + апгфхг + ° + авя(С)хв, .'л. О. Дифферснциольньге уравнения 340 или, в мату.,чнзй фор:.
е, (13) Х(1) = А(Е)Х(1), где аы(Г) а12(Г) .. Шя(Г) хг(1)з А(1) ~21(1) "22(') " '2 ('), Х(1) = ! оы(г) оя (~) ояи(С) х„(г)/ В области непрерывности козффпцпснтсв а;.(1), 1, у = 1, ..., и, система (12) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Фундомекглальяой системой рещскиб системы (12) называется совокупность произвольных п линейно независимых решений Хь(1) = = (х1 (1), хт ~(~), ..., х~в~(1)), Р = 1, 2, ..., и.
Если Хь(1), я = 1, 2, ..., и, — фундаментальная система решений системы (12), то общее решение имеет внд Х(г) = 2.' СьХь(1), где См ь=1 Сз~ ° ° ~ Ся произвольныс постошшью, Интегрирование системы (12) обычно пр >водится методом исключения (см. пример 3). Решить системы линейных дифференциальных уравнений: ду у сЬ 2у 10.427. — = — — + хх, — = — — + —.
с(х хз ду 2 10.428. х — = — у + хх, хз — = — 2у + хх. дх ггх у, х 10.429. х = — —, у = — —. 2, 1+2 10.430. х = — — х, у = у+ х. В частном случае систем г постоянными коэффициентамии, когда матрица А(1) в правой части (13) не зависит от г, для отыскания фундаментальной системы решений Хь(1), 1с = 1, 2,..., и, могут быть использованы методы линейной алгебры. Из характеристического уравнения йес (А — ЛЕ) = 0 (14) находятся различные корни Лм Лт, ..., Л, и для всякого корня Л (с учетолг его кратности) определяется соответствующее ему частное решение з 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
