341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Располоасить нить так, чтобы вершина кривой совпадала с точкой (а, О), где о, = 1т'(дд. 10.265. Гибкая тяжелая однороднац нерастяжимая нить в полол~енин равновесия подвергается натяжению, пропорциональному переменной площади сс поперечного сеченин. Найти форму нити, если линейная плотность нити равна д (горизонтальная проекция силы натнжсния нити Н = сопэ1).
Расположить нить так, чтобы кривая проходила через начало координат и имела в пей горизонтальную касательную. 10.266, Тело массы гц движется прямолинейно под действием постоянной силы г'. Найти скорость движения тела и пройденный им путь как функпии времени, если в начальный момент они оба равны нулю, а сопротивление среды пропорционально квадрату скорости. 10.267*. Мнч массы 400 г падает с высоты 16,7 м без начальной скорое~и.
Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости мяча и равно 0,0048 Н црп скорости 1 м/с. Вычислить время падения и скорость мяча в конце падения. Принять д = 10 м/сэ. 10.268. Тело массы гн поднимается вертикально вверх с начальной скоростью по. Полагая сопротивление воздуха пропорциональным квадрату скорости тела (коэффициент пропорциональности Й > 0), найти высоту подъема тела и скорость, с которой оно вернется в исходное положение, а также время подъгма и спуска тела, 10.269". Мяч массы 40()г брошен вверх со скоростью 20м/с. Вычислить время подъема мяча и наибольшую высоту подъема, если сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости мяча (коэффициент пропорциональности Й > О), причем оно равно 0,0048 Н при скорости 1м/с. Принять д = 10 м/с . 10.270. Найти закон прямолинейного движения материальной точки массы ги под действием отталкивающей силы, обратно пропорциональной яубу расстояния от точки до неподвижного центра (коэффициент пропорциональности 1 > О).
В начальный момент точка находится в покое н отстоит от центра на расстояние хо. 10.271. Материальная точка массы гн движется прямолинейно к неподвиаснаму центру, притягивающему ее с силой, обратно пропорциональной кубу расстояния от центра (коз<)~фипиент пропорциональности й > О). Найти закон двиап'.ния, если оно начинается с состояния покоя, когда точка отстоит от центра на расстояние шо, Определить время, по истечении которого точка достигнет центра.
312 Гл. 10. Дифференциальные уравнснил 10.272. Ракета движется вертикально вверх под действием силы отдачи от истечения газов. Масса ракеты изменяется в зависимости от времени по закону т = и1о~рЯ, где гяо = сопн1 (закон сгорания топлива). Относительная скорость истечения газов постоянна и равна ио. Начальная скорость ракеты у поверхности Земли равна нулю. Найти высоту подъема ракеты как функцию времени. если сопротивление воздуха не учитывается. Рассмотреть также частный случай, когда гя = гяо(1 — гг1), и вычислить для этого случая, на какую высоту поднимается ракета через 10 с, 30с и 50 с при ио = 2000 м/с и сг = 0,01 с '.
Положить д = 9,8 м/сз. 10.273. Определить, через сколысо времени упадет на Землю тело, притягиваемое Землей по закону Ньютона (с ускорением, обратно пропорциональным квадрату расстояния между ними), если в начальный момент скорость тела равна нулю, а расстояние его от центра Земли равно Н. Сопротивлением атмосферы пренебречь. Ускорение свободного падения на поверхности Земли постоянно и равно д. 10.274". Тело, находящееся от центра Земли на расстоянии хл = 60,27Нз (что соответствует расстоянию от Луны до Земли), падает на Землю из состояния покоя под действием силы тяжести с ускорением, обратно пропорциональным квадрату его расстояния от центра Земли. Пренебрегая сопротивлением атмосферы, определить, через сколько времени оно упадет на Землю.
Принять Нз — — 6,377 10 м, д = 9,8 м/сз. 10.275. Определить скорость, с которой метеор ударяется о Землю, если он падает с неограниченно большого расстояния из состояния покоя и если при его движении к Земле ускорение принимается обратно пропорциональным квадрату его расстояния от центра Земли.
Принять радиус Земли Вз — — 6377км, ускорение свободного падения д = 9,8 м/с~. 10.276. По оси Од в положительном направлении движется с постоянной скоростью ц точка А (цель). На плоскости Охд даик|ется точка М (преследователь) с постоянной скоростью и (и > ц) так, что вектор скорости всегда направлен в точку А. Найти траекторию точки М (кривую погани), если в начальный момент времени 1 = 0 точка А находилась в начале координат, а точка М вЂ” на оси Ох на расстоянии а > 0 от цели. 10.277*. Балка длины 1, лежащая концами на двух опорах, находится под действием равномерно распределенной нагрузки интенсивности д. Найти уравнение изогнутой оси балки и ее максимальный прогиб, выбрав начало координат в середине ненагруженной балки. 10.278*.
Балка длины 1, заделанная правым концом в стену, изгибается силой Е, приложенной к левому концу, и равномерно 3 2. ДиФФереггциальные уравнения высших порядков 313 распрелеленной нагрузкой интенсивности г1. Найти уравнение изогнутой осн балки и ее максимальный прогиб. 10.279". Балка длины 1 с заделанным левым концом изгибается под лгйствием равномерно распределенной нагрузки интенсивности гб Какова должна быть прнлоагенная к правому концу балки действующая вверх сила Е, чтобы прогиб в правом конце балки был равен нулю? 3. Линейные однородные уравнения. Уравнение вида уйй + аг(х)уб' О +... + а„, (х)р' + а„(х)у — — О (5) называется линейным адиородиыэг дифференциальным уравнением я-го порядка.
Если известно какое-либо частное решение уг(х) уравнения (5), то подстановка у(х) = уг(х)э(х) приводит это уравнение к линейному уравнению относительно функции х(х), не содержащему явно эту функцию. Поэтому, полагая а'(х) = и(х), получим линейное однородное уравнение порядка и — 1 относительно функции и(х). Пример 9. Найти общее решение уравнения (ха + 1)у" — 2ху'+ 2у = О, убелившись в том, по функпня уг(х) = х есть одно иэ его частных решений, э Так как угг(х) = 1, а у",(х) = О, то, подставив выражения уг(х), угг (х), у" ,(х) в данное уравнение, убежлаемся в том, что функция уг (х) = = х действительно является его частным решением.
Пологким у = хх, найдем у' = хх'+ х, р" = хха + 2а' и подставим выраагения р, у' и гг" в уравнение. Получим (хэ + 1)(хаа + 2х') — 2х(хх' + х) + 2хх = О, нли х(хэ + 1)а" + 2а' = О. Теперь, полагая х' = и, аа = и', приходим к уравнению первого порядка относительно и: х(хэ + 1)и' + 2и = О.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Его общее решение имеет впд х +1 и = Сг хэ откуда, учитывая и = хг, получаем уравнение первого порядка относи- тельно ьч 1 г ггх = Сг 1+ —,) Йх. хэ Гл. 10. Дифферсициальяьсс С рависиил 314 11 Интегрируя последнее уравнение, находим х = Сс х — — ) + Сж а так как у = хг, то окончательно получаем общее решение исходного урав- нения у = Сс(х~ — Ц + Сзх. с Изложенный выше лсетод обобщается на случай, когда известно У юстных линейно независимых решений уравнения (5).
В этом случае путем надлелсащих подстановок порядсцс уравнения можот быть понижен на й единиц. 10.280. Доказать теорему: если ус(х) есть частное решение линейного однородного уравнения уи + р(х)у' + д(х)у = О, то — р(х) да функция уз(х) = ус(х) е ) и(*) ' з тоже является решением Л() лх дх -,ьсс -.
=,,С*С(а,;-с,/.-с у~( )' есть его общее решение. 10.281. Найтси обшсс решение уравнения уи — бу'+5у = О, если функция е* есть его частное решение. 10.282. Найти общее решение уравнения уи — 2у' — Зу = О, если функция е * есть его частное решение. 10.283. Найти общее решение уравнения хуа + 2у'+ ху = О, асп х сели функция — есть его частное решение. 10.284.
Найти общее решение уравнения (1 — хз) уи — 2ху'+ 2у = = О, если функция х есть его частное решение. 10.285. Найти общее решение уравнения хзуи'+ 5хзуи+ 2ху'— — 2у = О, если известны два его частных решения ус = х и уг = 1/х. Оссределнсиелеи Вросссного (аронсннаном) системы функций ус(х), у (х), ..., у„(х) называется определитель ус(х) уг(х) ... ун(х) у~с(х) у!г(х) ... у'„(х) И'(х) = (х) сух (х) ... сь (х) Если система функций ус(х), сух(х), ..., у„(х) линейно зависима на интервале (а, Ь), то ее вронскиан равен нулю всюду на этом интервале. Если >ве хотя бы в одной точке хо с (а, 6) имеем 1У(хо) ф О, то система функций ус(х), уз(х), ..., дн(х) линейно независима на (а, Ь). 3 2.
Дифференциальные уравиеиил высших порядков 315 Всякая система из и линейно независимых решений у1(х), уг(х),... ..., у„(х) уравнения (5) называется фуидамеитальиой системой решений этого уравнения. Вронскиан фундаментальной системы решений отличен от нуля на всем интервале, где эти решения определены (см. задачу 10.304). Если известна фундаментальная система решений уравнения (5), то общее решение этого уравнения имеет вид у(х) = Сзуз(х) -~-... 4- С„у„(х), где См ..., ф— — произвольные постоянные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
