341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Пример 10. Дана система функций х, соя х, сйп т.. Найти вронскиан системы Ит(х) и убедиться в том, что на некотором интервале система линейно независима. Составить линейное однородное дифференциальное уравнение, для которого эта система функций является фундаментальной системой решений, и записать общее решение уравнения. О Составим вронскиан сбн х соя х — яшх х соя х 1 — сйп х 0 — соя х И'(х) = Так как И (х) = х, то система линейно независима на всей оси Ох, за исключением точки х = 0 и, следовательно, образует фундаментальную систему решений некоторого линейного однородного уравнения 3-го порядка в области К'1(0), общим решением которого является функция у = Сг х -~- Сг соя х+ Сз я1п х.
Для составления дифференпиального уравнения найдем производные у', у", у'я и исключим произвольные постоянные из выражений для у, у', у", уо'. Имеем: у = Сзх ч- Сг соя х + Сз ап х, у' = С1 — Сгсйпх+Сзсоях, у — Сг соя х — Сз ящ г, у Сг я!п х Сз соя х. Легко видеть, что, умножив первое и третье равенство на — 1, а второе и четвертое на х и сложив все четыре равенства, получим ху — у +ху — у =О. (б) у х соях сйпх у' 1 — сйп х соя х уо 0 — соях — я1пх уо' 0 сйп х — соя х Уравнение (б) можно было получить и другим путем, сели учесть, что решение у искомого уравнения вместе с функциями .т., соя:с, сбпх образует линейно зависимую систему и поэтому вронскиан системы функций у, х, соя х, сйпх равен нулю: Гл. 10.
Дифференциальные уравненял 316 Раскрывая определитель, получим то же самое уравнение (6) (прове- рить!). Деля обе части уравнения (6) на х, получаем гп 1 и > — — 9 +9 — — 9=0. х х (7) Уравнение (7) н является искомым линейным однородным дифференци- альным уравнением. ~> Исследовать на линейную зависимость следующие системы функций: 10.286. х, !пх. 10.288. е *, хе *. 10.290. е'"', хе*, х~е'.
10.292. сЬх, в1~х. 10.294. х, О, е*. Зная фундаментальную систему решений линейного однородного дифференциального уравнения, составить это уравнение: 10.296. 1, е *. 10.297. еэх сов т,, еэхэ(пх. 10 298 хз х' 10.299. 1,:с, е*. 10.300. 1, и их, соэх. 10.301. 2х, х — 2, ев+ 1. 10.302. ез~, еэ'. 10.303.
еэ~, эьп, соах. 10.304*", Доказать, что если Рн (х), уэ(х),..., 9в(х) — решения линейного однородного дифференциального уравнения порядка я с непрерывными в некотором интервале (а, Ь) коэффициентами и вронскиан И'(х) этой системы равен нулю при хо е (и, Ь), то И(х) =Оприа(х(Ь. 10.305*. Дана система функций у~(х), 02(х), ..., 0„(х), причем на некотором интервале вронскиан И'(х) этой системы отличен от нуля. Составить линейное однородное дифференциальное уравнение, для которого эта система является фундаментальной системой решений. 10.306.
Зная фундаментальную систему решений е~, сов х, эш х линейного однородного дифференциального уравнения, найти его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: 9(0) = = 3, р'(О) = 4, у"(О) = — 1. 10.307. Зная фундаментальную систему решений е', еэ*, ез* линейного однородного дифференциального уравнения, найти его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: 9(О) =- = 6, у'(О) =- 14, ув(0) = 36. З 2. Дифференциальные уравнения высших порядков 817 4.
Линейные неоднородные уравнения. Уравнение вида урй + ас(х)ур' с + ... + а„ с(х)у' + а„(х)у = у(х), (8) в котором у(х) у~ О, называстсл лисссс1ньсзс квас)иародньсзс дифференциальным уравнением и-го порядка. Общее решение уравнения (8) определлетсл формулой у(т) = уо(х) + у(т), (9) где уо(х) — общее решение соответствующего однородного уравнения (5), а у(х) -- некоторое частное решение неоднородного уравнения (8). Пример 11. Дано линейное неоднородное дифференциальное урав- нение хуа' — уа + ху' — у = 2х . Известно, что функцил хз есть его частное решение.
Требуется найти общее решение этого уравнения. З Согласно формуле (9) общее решение неоднородного уравнения соста- вляетсл как сумма общего решения уо(х) соответствующего однородного уравнения и частного решения у(х) неоднородного уравненил. В нашем слУчае Уо(х) = Ссх+ Стсоэх+ Сзвшт (см, пРимсР 10), а У(х) = хз. Следовательно, искомое обпгее решение есть у = Ссх + Сэсовт + 3',, Если известно общее решение уо(х) = Ссус(х) +... + С„у„(х) со- ответствующего уравнению (8) однородного уравнения (5), то для опре- деления частного решения у(х) уравненгсл (8) можно воспользоваться методом Лагранаса вариации проиавольных постоянных. Именно, будем искать частное решение неоднородного уравнения (8) в виде у(х) = Сс(х)ус(х) +...
+ С„(х)у„(х), где от функций Сс(х), ... ..., С„(х) дополнительно потребуем, чтобы они удовлетворяли условилм 2„у, ' =Одлл всех 1=0,1,...,п — 2(гдсу, =у„). Тогда 00 с)С, (х) со> с1х ллл функций С,(х), и = 1, 2, ..., и, получим систему уравнений с1Сс с1Сэ с1Са у,— +уэ — +,,.+у„— а =О, с(х с1х 4х , асСс, с1Сэ, с1С„ (10) с(х у — + у — +...
+ у„— = ~(т). („Ос(Сс Ш с~с1Сэ О, цс(Св с1х дх с1х Определитель этой системы есть отличный от нуля вронскиан фунда- ментальной системы решений ус(х), ..., у„(.г), поэтому система имеет с1С, единственное решение относительно —, и = 1, 2, ..., п. с1х соэ т БП1 х П р и м с р 12. Зная, что функции ус (х) = — и уэ(х) образуют фундаментальную систему решений уравнения у + — у +у = 0 г, Гл. 10, Дифференциальные уравяснил 318 (гм, задачу 10.283), найти общее решение уравнения хуа + 2у' + ху = х.
(11) а Общее решение соответствующего однородного уравнения записывасозх в1пх стоя в виде уо(х) = Сл — + Сз —. Считая Сл и Сз функциями т., для определения частного решения уравнения (11) составим систему вида (10): сов х, вшх С,'(х) — + Сз(х) — = О, асс ("'*) ° аве (""*) =1 (уравнение (11) следует привести к виду (8), т.е. разделить все его соз т члены на х). Подставляя Сз(х) = — —.С,'(т) во второе уравнение, япх / — хяпх — совх совх хсовх — япх'Л получаем С,'(х) (л ( — 1. Отсюда хз в1п х хз имеем С,' = — хяпх, С' = хсовх.
После интегрирования получаем Сл(х) = хсовх — япх+ С,, Сз(х) = хяп х+ сов х+ С,. Положив, например, Сл — — Ст = О, получим частное решение уравне- ния (11): сов х япх у(х) = (хсовх — вшх) + (хяпх+ созх) — = 1. х х Следовательно, общее решение уравнения (11) имеет вид сов х в!и х у(х) = уе(х) + у(х) = Сл — + Сз — + 1. с Если правая часть линейного неоднородного уравнения (8) есть сумма нескольких функций у(х) = Л (х) + ут(х) + ... + ях) и у,(х) (л = 1, 2, ..., т) — некоторые частные решения уравнений у~"> + а,(х)у<" 0 + ... + а„ д(х)у' + а„(х)у = Д(х) (л = 1, 2, ..., т) соответственно, что сумма у(х) = ул(х) + уз(х) + ... + у„(х) есть некоторое частное решение уравнения (8) (принцип с уперпо- зиции решений). 3 2.
Ди~)яуерснцивяьиыс урлвисиия льюисих порядков 319 1 Пример 13. Проверив что фушьчия у1 = — — и' является чагтным 4 1 решением уравнения уи — 2у' — Зу .= с', а функция ув =- — — с"— частным решением уравнения уи — 2у' — Зу = е~"', найти общее реп|синс равнения у уи — 2у~ - Зу — е* + е а Согласно принципу суперпозиции частным решением последнего урвав 2г пения нвллстся функция и — — --- "' — -сх'. Общег решение соответствую. я щего линейного однородного урььы ню,; сн, фуныпш уя = С1 ~ "' Ч 1 т (см.
задачу 10.282). По формуле (9) обшее решение данного уравнении имеет вид эя — г 1,я 1 тя у = С~е'' + Сэе — -е — -е '. с» 4 3 10.308. Используя рс|пенпе задачи 10.298, написать оощес решение уравнения хзуи — бху' + 12у = Зх, предварительно убедившись в том, что функция х/2 есть одно из решений этого уравнения.
10.309. Используя рещение задачи 10.303, написать общее решение уравнения уи' — 2ул + у' — 2у = 10езь, предваритслыю убедившись в том, что функция езл есть одно из решений этого уравнения. 10.310. Проверив, что функции у1(х) =- е" и уз(х) == х образуют фундаментальную систему решений уравнсниг. уя — — д' + :г — 1' 1 и,, ! + у — — О, найти общее решение уравнения (х — 1)у' — гу Ф х — 1 (, 1)2 10.311. Проверив, что функции у|(х) =- соэ г, и у„(х) = х сов:г образуют фундамснтальну.о систему решений уравнения ул +218 х у' + (2 18- х; + 1)у =- О, найти общее рсшсшп урльпсния с18х уи + 2у'+ (218х+ с18х)у = совах.
10.312. Проверив, что функция 1я(х) == 5х + 6 является частным решением уравнения ул — бу' + 5у =-. 25х, а функция йз(х) =. =- — е ь — частным решением ура.п'ения уи — бу' 4- 5у =- Зез". найти общее решение уравпшшя ул — бу' + бу =- 25:г + Зст' (см. задачу 10.281). 1 10.313.
Проверив, что функцья у~(х) = -с" я ляется частпыы Решением УРавнснпп Уи'+ У' = е"", а фУнкцин цэ(х) =.- - в(п2х— частным решением уравнения у ' + у' —. бсов2х. найти оощес решение урсвнснпя,л':- = с" ' " ~ .з2 ° (см "аае . 1О.ЗОО). Гл. 10. Дифференциальные уравнения 320 5. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициен. тами. Общий внд линейного дифференциального уравнения порядка и г настоянными коэффициентами у~ О + а1ую-О +...
+ а„лу'+ а„у = О, (12) г;и а, (л' = 1, 2, ..., и) — действительные постоянные. Уравнение Л" +и1Л" +... +а„1Л+а„= О, (13; ц1лучснное залюной производных у1лб (/с = О, 1, ..., и) искомой фуцл пнк степенями Л, называется характерисптчесиилл уравнением длл ь уравнения (12).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
