341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 35
Текст из файла (страница 35)
о о о Вычислить следуюшие интегралы 9.26. / (х у ) + 2) с)хссу где область С ограничена кривыми у=х, х+у=2а, х=О. 9.27. ( 1/ху — у х у, гд — 2 И Ы е С вЂ” трапеция с вершинами 0 А(1, 1), В(5, 1), С(10, 2), В(2, 2). 242 Гл. 9.
Кратные интегралы 9.28. хд их иу, где область С ограничена кривыми х+у = 2, с х~+д" =- 2у (т. > 0). 9.29. дг(хну, где С вЂ” - треугольник с вершинами 0(0, 0), с А(1, 1), В(0, 1). 9.30. (х+2у) рхдд, где область С ограничсна кривыми с у=х ну=/х. 9.31. (4 — у) дх ду, где область С ограничена кривыми хв = с = 4у, у .= 1, х = 0 (х > 0). /1 хихду 9.32. / 1 —, где область С ограничена кривыми у =х18х, ( / х2+ д2' с у=-х, х=я/8 (х>я/8). '** И'""" -"-'-'-- '---- -. с у~ — хт = а~, х = и, х = О, у = 0 (у > О, а > 0). 9.34. ел+У г)хйу, где область С ограничена кривыми у = е*, с х=О, у=2.
9.35'. х~удхИу, где область С лежит в первой четверти, с' ограничена осями координат и дугой эллипса х = асоа1, у = = была (О < 1 < л/2). 9.36. хс~хду. где область С ограничена осью Ох и аркой циклоиды х =- а(Š— вш1), д = и(1 — соа Х) (О < 1 < 2л). 9.37. у дх сЕу, где область С ограничгпа осями координат и дугой астроиды х = и сова й у = а вшам (О < 1 < и/2).
9.38". Найти среднее зкачсние функпии /(х, у) =- солт х сов~ у в области "-= ((х. у)<0:= х -' н/2. О =, у < т/2). 31. Двойной интеграл 243 9.39*. Оценить величину интеграла ( (!х г/у 1= ,,/ 9+ з)п~ х + з)п~ (х + у) ф~-(и~<а 9.40. Найти среднее зна кло,е ())))((опн( /'(х, у) = Зх + 2у в треугольнике с вершинами О(0, О), А(1, О), 11(0, 1). 2. Замена переменных в двойном интеграле. Пусть функции х=(р(и, и) и у =ф(и, о) (3) осуществляют взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение области Г плоскости О'ии на область С плоскости Оху. Это означает, что существует обратное непрерывно диффсренцируемое отображение и = у(х, у) и е = т(х, у) области С на область Г и в области Г отличен от нули якобиан преобразования, т.
е. дф дф ди де д)/) д)/) ди де 1(и, о) = ~ О, (и, о) е Г. (4) ||/(. 1) ьь о произвести замену переменных по формулам (3), то областью интегри- рования полученного интеграла будет уже область Г, которал при надле- жащем выборе функций (р(и, е) и (/)(и, и) может оказатьса значительно проще области С, и имеет место формула | 1(х, у) Пхс(у = | '| 1(р(и, е), у)(и, е)) ! 1(и, о)~ Ии(/о. (5) Для вычисления интеграла по области Г применяются изложенные в п. 1 методы сведения двойного интеграла к повторным. ПР РЗ.
В « . // 71ЬЬ, » б * С Г С кривымиут=ах, у =ух, ху=р, ху=(1 (0<а<6, 0<р<Ч). Величины и и е можно рассматривать как прямоугольные координаты длп точек области Г и в то же время как криволинейные координаты точек области С. Если в двойном интеграле Гл. 9. Кратные интегралы З Перейдем к новым переменным и и !! по форллулаы 92 = их, хр = и. 'Гогда — 1/3 !2/3 1/3 о!/з 1г 4/3 2/3 ди 3 и ''о дл 1 -лз1з ди 3 2 „— 1/зс-1/з 3 — = -и /' и 3/, др 1 13 — зз дс 3 1 Зи л(и, и) = 1 )л(и, 1!)) = —,— при и > О. 37!. Уравнения линий принимают вид и=р, с=д.
и=а, Область 0 плоскости 1»хр преобразуется в прямоугольную область Г Рис. 41 плоскости 0'ио (рпс. 41). Следовательно, применяя формулу (5), по- лучаем в и Р ! = — !пи .-и'/ = — (!у/ — р / )1и-. !> зл 2 зз зг 3 „3 „9 Наиболее употребительнымн из криволинейных координат являкзтгя полярныс координаты х = гсов!р, р = 1аш р, // ар 3*'!Г = — — и '/зс / — 13 23 3 1 „-л/з, 1/з 3 1/.= И д» дю 2 — и о — 1/3 — 1/3 3 1 ил/з с — 2/з 3" 245 З 1. Двойной интеграл длл которых соя ур — т ей и ур 1)ту 1Р) = =г я1п ау т соя 1р и формула (5) ааписывастсл в виде / /(х, у)йхйу = /(гсо)яр, тя)пур)гйтй1р.
(6) Пример 4. Перейдя к полпрным координатам, вычислить двойной интеграл (х +у )йхйу, С где об)пасть С ограничена окружностью х + у = 2их. 2 2 З Положим х = гсоя1р, у = тя)п)р и применим формулу (6). Так как х2+ уз = т2 то / 1*' у у') у* уу = // г у уу. О г уравнение окрул)ности х2 + уз = 2ох преобразуется к зилу 1 = 2о соя а). Позтому областью Г лзллетсп область, ограничсннан снизу осью т = О, сверху косинусоидой г = 2осояур, причем 1р Е [ — з/2, з/2]. Следовательно, уг12 2а уоу уу г -лУ2 Π— л)'2 т)2 л/2 4 2 1 з 2 4 = 4 соя42)й1р= Яоз соя))рй)р = 8о4 — — — = -зо, г> — л)'2 Перейти к полнрным координатам и расставить пределы интегрирования по новь1м переменным в следующих интегралах: За/4 1.41.
/ У )' 1)уУРуу )Уу. а,Гя) г-,/яЗаРу/4-22 а ач-~/а~ — л2 угд 9.42. йх /(х, у) йу, 9.43. йу /(х, у) йх. о О,/ах Гл 9, Кратные интегРалы 9.44. 1"(т~+ уг) г!хну, где область С ограничена линиями ,л + г Д, ( г + уг)г 9(хг уг) у 0 (, > О х < итб) Перейдя к полярным координатам, вычислить интегралы: ч'а ! — тт 9.45.
г1х е' ""' ~1у. о о а ьга! — Дд! 9.46. 0у аг — хг — уг дх, ~/ал-г! 9.47. хг+уг — 9г)хну, где область С вЂ” — кольцо между с .2 2 2 2 двуми окружностями х + у = 9 и х + у = 25. 9.48. аг — хг — уг г(хну, где область С вЂ” часть круга с радиуса о, с центром в точке 0(0, 0), лежащая в первой четверти. 9.49.
(т, +у )Пхг(у, где область С ограничена кривыми с тг+ уг = ах, хг+уг = 2ах, у = О (у > 0). = еи 9.50. дхау, где область С ограничена кривыми х = ау, с тг + уг = 2аг, у = 0 (х > О, а > 0). 9.5!.Ц. l.'-!!'Мому, ж б е р лемнискаты (хг+ уг)2 = а (х — у ) (х >- 0). 2 2 2 2 2 Перейти к новым переменным и и ю и расставить пределы интегрированна в слсдугощих интегралах: 9.52. г" (х, у) г(х г1у, где область С определена неравенствами с х > О, у > О, х+ у < а. Положить и = х + у, ау = ио.
Гл. 9. Кратные интегралы 248 в криволинейных координатах. Здесь предполагается, что дз дт ди до др др ди до ф 0 в области Г. В частности, в полярных координатах т = г сов)2, р = г з1п 22 имеем Я = г с/г сбр. (9) Рис. 42 Пример 5. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми г = а(1+ сов ~р) и г = а сов Ч2 (а > О). < В плоскости Оту фигура показана на рис. 42. Вычислим по формуле (9) плошадь верхней части и удвоим; а/2 а/1-~-саа а) а)1-~-соа к) ас 2// а сс=2/ сс / с с2/ г О асоаа а/2 о = ~(" ."..:"")" П":""-")" = а/2 а = а / (1+ 2соз р) Ар+ а ( (1+ 2созс/2+созэсо) с/Ча = о л/2 =о (сэ+2з1пса)~ +а ~ — +2з1паа+ — 21п2са~ = — лоэ. )а )о (,2 если гладкая поверхность имеет уравнение 2 = /(х, у), то площадь части этой поверхности, проектирующейся в область О плоскости Оху, равна (10) Пример 6. Найти плошадь части поверхности параболоида у2 + + 22 = 2ох, заключенной между цилиндром у = ат и плоскостью х = о (а > О).
3 1. Двойной интеграл 249 О Верхнця половина заданного параболоида описывается уравнением 2 — у.И дх а дз у У* уУ2 *-у*' УУ 222..:у' с дг1' (дхз)' а'+у' 2ах+а' 1+ — + — =1+ дх/ зуду у 2ах — уз 2ах — уз Так как рассматриваеман поверхность симметрична и относительно плоскости Охх, то искомап площадь вычислнетсл как учетвереннан площадь части этой поверхности., лежащей в первом октанте: О = 4 дх41у = 4 2ах+ а 42х с о о 2 .4 ( 4 )Уи=4УН2*4 ъ'2ах о ) 4 о о уу Э. 2 = — (2ах+а )з2~~ (Зз/Заз аз) (Зз/3 1) ~> За о За 3 Объслз 12 цилиндра, ограниченного сверху непрерывной поверхностью х = у(х, у), снизу плоскостью х = О и с боков прямой цилиндри- Рис.
43 ческой поверхностью, вырезающей на плоскости Оху область С, выражаетсл интегралом 1' = Ч У(х, у)42х Пу. с Пример 7. Найти объем тела, ограниченного поверхностнми у = = з/х, у = 24/х, х + х = 4, з = О, З Данное тело является цилиндроидом, ограниченным сверху плоскостью х+ х = 4, снизу плоскостью з = О и с бонов прямыми цилиндрами у = /х и у = 2тГх (рис.
43а). Область интегрирования показана на рис. 43б. Гл. 9. 1~ратные интегралы 250 Имеем) г = 4 — х, У = (4 — х) дхйу = ах (4 — х) йу = (4 — х)(2з))х — ~/х)дх = а о,~; о 3)2 5)2 з = ~)4 — *) '*~*= (4 о 9.59. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми уг = = 4ах+ 4аг и х+ у = 2а (а > 0). 9.60. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми ху = 4 их+у=5. 9.61. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми у = 6аз , х = 2у, х = 0 (а > 0). хг + 4аг ) 9.62*.
Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми хг + + уг = 2ах хг + уг = 25х у = х, у = 0 (О < а < 5). 9.63. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми т = = а(1 — сов )р) и т = а (вне кардиоиды). 9.64*. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми (х +у ) =2а (х — уг) и хг+у =2ах. 9.65*.
Найти площадь фигуры, ограниченной петлей кривой (х+ у) = ахгу, лежащей в первой четверти (а > 0). 9.66'. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой 9.67*. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми уг = =ах, у =Ьх, ту~=х~, пу =хз (О<а<6, 0<т<п). 9.66'. Найти плошадь фигуры, ограниченной кривыми уг = = рх у = )7х, у = ах, у = бх (О < р < д, 0 < а < 5).
9.69. Найти площадь части плоскости х+у+а = а, вырезаемой цилиндром у = ах и плоскостью х = а. 9.70. Найти плошадь части поверхности цилиндра хг+аг = аг, вырезаемой цилиндром у = а(а — х). 9.71. Найти площадь части поверхности конуса хг + хг = уг, вырезаемой цилиндром уг = 2рх (р > 0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
