341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Аналогично определяется тройной интеграл от разрывной функции. Пример 2. Исследовать сходнмость несобственного интеграла Г дхду 2 2 а>0, где С вЂ” круг х +у < 1. П~ ,/ (Хэ -!- уэ)а ' с З 4, Вы гислсцис ннтсгутпов, зависящих от параметра 267 2 4. Вычисление иитегралов, зависящих от параметра 1. Собственные интегралы, завиелщие от параметра. Если функцип ф(х, у) определена и непрерывна в прямоугольнике а < х ( Ь, А < у < < В, то интеграл В(у) = У(т, у) Дх л называстсл интегралом, завислтпм огл нарамспьра, и нвллстсп непрерывной в прогзсхсутые [А, В] функцией. Интеграл более общего вида Ф)р) (2) Е(у) = ф(х, у) Нх т)р) также называстсл интегралам, зависящим от параметра, и пвлнстсл непрерывной функписй аргумента у в промежутке [А, В], сели ф(х, у) непрерывна в прнььоугольникс а < х < Ь, А < у < В, |д(у) и у)(у) непрерывны при у б [А, В] и их значснил содсржатсл в промеа)утис [а, Ь].
Пример 1. Вычислить предел 1 -)- р 0х Пщ р — ~о ) 1+ хт + уз — (1+р) З Рассмотрим следующий интеграл, завислщий от параметра у: 1-~-р "'(у) = 1-)-х +у -)ь~-р) Так как пределы интегрирования, а также подынтегральнан функции непрерывны при любых значениях своих аргументов, то Г(у) — нспрсрывнал функция.
Поэтому ь .). р ь ььх г!х )' а. Ппь / = 1пп Г(у) = г'(О) = / = агсгбх] = —. с. р — ~о у 1+хз+уз р — ~о ' / 1+ха ] — ь 2 — ! ь)-р) Если )"(х, у) и у„'(х, у) непрерывны в прлмоугольнике а < т. ( Ь, А ( у < В, то длп интеграла (1) справедлива формула диффсреьыьарованал под знаком интеграла (формула Лейбница); ь ь Ь'(у) = — У(х, у) г1х = У'(х, у) г1х. л и Гл.
9. Кратные интегралы 268 Если в (2) при тех же условиях нв у и У'„' пределы интегрирования (р(у() и у((у) дифференцируемы при у б (А, В), то верна формула: льЬ) П Г Р (у) = — / Дх, у) (1х = ду / ь>Ь( ьь(йй( = у(()((у), у)()л'(у) — у((р(у), у) р'(у) + („'(х, у) (4х.
(4) Пр ил! ер 2. Найти Г'((у), если г'(у) = / е"' * Йх. 53п и З Так как подынтегральная функция е"~, непрерывна в области определения вместе со своей частной проиаводной по у, равной лут — хге"" *, а прелелы интегрирования являются также диффсренцируемыми функциями, то мо(кно воспользоваться формулой (4); сял в я(г(=-'"' ' " ' ! — "(' """ о! ) *! япи со! и = — (е"~и""~ а(ну+ е"Ь"'"~ сову) + / Я вЂ” хге" ' * дх. в.
Если )'(х, у) непрерывна в прямоугольнике а < х < б, Л < у < Н, то для интеграла (1) справеллпва формула интегрирования по параметру у иод знаком интеграла: в в ь ь в Я(в(фи=)!!)л(',л(!*=)~*)х(*,и(!! (!( А а 1 р уь — хя Пример 3. Вычислить интеграл / ах (Ь > а > 0). !пх о 1 Заметим, что ь = / х" 0у. 1пх / З 4. Вычисление интегралов, завислщих от параметра 269 /) -1' 1' =1 —— г г „Г 1 6+1 Йх / х" ду = / Йу / х" 11х = / — ду = 1и . С у+1 а+1 с а а о а Вычислить следующие пределы: 9.166. 1нп / 1/х4+ уг 11х у — ~с/ о 9.165.
1нп / хз сон худ. у-~о у 1 хс 9.167. 1нп — / (1"(х+ 6) — г'(х)) Нх, если )'(х) непрерывна на 1 Г ь-~о К / о отрезке 1а, 6) (а < О < хо < Ь) и у(О) = О. Продифференцировать функции: У у+1 9.168. Р(у) = / Р 1п(1+ху) ~ а1пху 1(х. 9.169. Р(у) = / 11х. х ,/ х о у-1 У' У 9.170. Г(у) = е Ух 0х. 9.171.
Ус(у) = (х — у) а1пхуИх. у о 9.172. Найти Х"'„, если Е(х, у) = (х — у1)г" (1) Й, где 1" (1)— х1У дифференцируемая функция. 9.173. Пусть у'(х) — дважды дифференцирусмая и Г(х) — дифференцируемая функции. Доказать, что функция с+а1 1 1 Г н(х, 1) = — ®х — а1) + ((х + а1)) + — ! Р(у) Иу х-ас Вгн Дгц удовлетворяет уравнению колебания струны — „= а —. д1 х Тогда искомый интеграл принимает внд 1 1 Ь дх = дх ху Ду. о о и Подынтегральная функция 1(х, у) = х" непрерывна в прямоугольнике О < х < 1, а < у < 6, поэтому можно воспользоваться формулой (5) 270 Гл. 9.
Кратные интегралы 9.174". Найти производные от полных эллиптических интегралов а/2 Е(й) = 1 — йг з»пг (р г)(р, о (О < й < 1) т)»2 г((р 1 — йга п' о и выразить их через функции Е(й) и Г(й). Применяя интегрирование под знаком интеграла, вычислить интегралы: » г 9.175. а)п 1п — ) (х — 1) с(х. х) 1пх о 1 1» х 9.176. соз 1п — ~ — (х — 1)»(х. х,~ 1пх о 9.177. Доказать формульп а) Г(х) х дх = Е(й) — (1 — й ) Е(й), о б) ( Е(,),~* = -((1.»»')Я(Й) — (1- »')Г(»)), 3 о где Е(й) и Р(й) — — полные эллиптические интегралы (см.
задачу 9.174). 2. Несобственные интегралы, зависящие ат параметра. Несобствен- ный интеграл, зависящий от параметра у, т. е. Г(у) = ( у(х, у)(1х, (6) а где функция 2(х, у) непрерывна в области а < х < +со, у» < у < < уг, называется равномерно сходящимся в промежутке [у», уг), если для любого е > О существует такое В = В(е), что при всякол» 6 > В(е) у(х, у)0х < е ь при любам у 6 [у», уг). З 4. Вычисление интегралов! зависящих от параметра 271 Если интеграл (б) сходится равномерно в промежутке (уь, уг], то он представляет собой непрерывную функцию аргумента у в этом проме- жутке.
Аналогично определяется равномерная сходимость несобственного интеграла от неограниченной функпии, зависяшего от параметра. При исследовании равномерной сходимости интегралов, зависящих от параметра, часто используется слсдуюшее утверждение: Критерий Вейерштрасса. Для равномерной сходимости ин- теграла (6) достаточно, чтобы суиЬествовала такая ьрункьгия Г(х), не эависяитая отп параметра у, что: а) (! (х, у)~ < Г(х), если и < х < +со, «-Х б) / Ь"(х) дх < +ос. а цьункция Е(х) называется мажорантой для у(х, у). П р и м е р 4.
Доказать равномерную сходимость следующего инте- грала: 1( уз — хг 2 2 2 (х +у ) 1 З Заметим, что / у' — *' дх = + С. (хг ! уг)2 х2 ! уз 1 Пусть е > О -- произвольное шсло. Полагая В(е) = —, находим (для е любого Ь > В): «-сс А А ( )= 2,2 уг хг, ( х дх = !цп, дх = !пп (хг ! уг)э А- «. 7 (хэ «-уз)з А- «- ь,хз «-уг ь ь А Ь Ь 1 1 !!ш — « А — «- Аз+уз Ьг+уз Ьг+уз Ь В что и доказывает, согласно опрелелснию, равномерную сходимость указанного интеграла по парагаетру у на всей оси.
С П ример 5. Установить равномерную сходимость интеграла е ' всоахдх, О < Уо < У < +ос. в з Покааьем, что функцию Г(х) = е '"' можно взять в качестве мажо- ранты. Действительно. если у > уо, то )е *"соах) ( е *" ( е *в'. Гл. 9. Кратные интегралы 272 Кроме того, .~-аа е хуо цх о 1 „, 1 — — е ха' уо , уо <1 — / 1(х,у)дх= / У„'(х,у)Й:, а а (7) аналогичная соотношению (3). При выполнении соответствующих условий формула Лейбница остается верной и для интеграла от разрывной функции, зависящего от параметра. П р и м е р 6.
Вычислить интеграл е — е — ах — Ех сов тхдх (о > оо > О, Д >;Зо > О, т Е х.). о а Пусть 1 е — е — ах — дх соатхЫх = г(о,,З). о Заметим, что интеграл / е *соатхНх равномерно сходится яри о о > оо и равен (дроверьте.). Исходный интеграл сходится дри о гхт+тт Следовательно, на основании критерия Вейерштрасса указанный интеграл равномерно сходится. С Для несобственных интегралов с бесконечным пределом, зависящих от параметра, нри выполнении следующих условий: а) функция 1(х, у) непрерывна вместе со своей производной У„'(х, у) в области а < х < +ос, уг < у < Ут б) 1(х, у) дх сходится при любом у 6 [Ум Уа] а в) ~„(х, у) Ых сходится равномерно в промежутке ]ум ут], справедх лива формула дифференцирования по параметру (формула Лейбница): з 4. Вычисление интегралов, зависящих от параметра 273 любых а ) ао и р > !ув, а подынтегральная функция непрерывна вместе са своей частной производной по а, равной — е "сов тх.
Следовательно, усл в павия а), б) в) выполнены, и можно воспользоваться соотношением (7). Тогда де'(а,,З) а да — / е совтхлх =— „г !тг' а Отсюда Р(а, Д) =--!п(аг+т')+С(Д) Для нахождения С(!)) полагаем в последнем равенстве а = В, Имеем 0 = — — !и(!)г + тг) + С(Д), Отсюда 2 С(В) = — !и(;3~ + т ) 2 Г(а, Г)) = — (!и (Дг + тг) — !и (аг + т )) = — !и . с 9.178. На языке «е-Ба сформулировать утверждение: интеграл Р(у) = Г(х, у) е(х сходится неравномерно на отрезке [уы уг].
а Исследовать на равномерную сходимость в указанных промежутках следующие интегралы: -~-оо 9.179. е ~*созхйх (О < ао < а <+оо). о е(х 9.180. / (1 < а <+оо). ,/ х-+1 о 9.181. /, с(х (О < а < 1). Г1п х ,/ хг ! Г совах 9.182. / Их (-оо < а < +со). '/1+ г Гл. 9, 1<ратные интегралы 274 Йх 9.183. — (О < о < +се). о х~ г(х ( 9.184. ~(о! < Г~). е~-зт — г ~ г 1 г(х 9.185. яп — — (О < о < 2). о 1 9.186.
/ = дх (О < о < 1). З „/(~ — а) о 9.187. Доказать, что функция х,) (1) и(х, у) =- 1 — -' ', сй хз+ (9 1)2 удовлетворяет уравнению Лапласа дти дзи — + —,, =О. дх дит Применяя дифференцирование ло параметру, вычислить дующие интегралы: 2 2 à — т -дт 9.188.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
