341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Показать, что точки перегиба кривой у = хвщх лежат на 4<ризой рт(4 + хз) = 4хз. 3. Асимптоты. Пусть для функции у = у(х) существует таная прямая, что расстояние от точки М(х, ((х)) графика функции до втой прямой стремится к нулю прп бесконечном удалении точки ЛХ от начала координат. Тогда такая прямая называется осиааптотой графика функции. Если при этом координата х точки М стремится к конечному числу а, то полупрямая х = а (у ) 0 либо р < 0) является вертикальной аспмптотой. Для существования вертикальной асимптоты в точке х = а 3 4.
Исследование функций и построение графиков 93 необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из пределов 1пп у(х) х-~аэ.о был равен бесконечности, Непрерывные функции не имеют вертикальных аспмптот. Если в~с координата х точки М стремится к +со или — со, то имеем цаклонную асимптоту р = лх+Ь, для существования которой необходимо и достаточно существование двух пределов 11п1 — ' = Й и 1пп (у(х) — Йх) = Ь.
у (х) При этом указанные пределы могут быть различными при х -э +со (для правой наклонной асимптоты) и при х — > — со (для левой наклонной асимптоты). ~х — Ц Пример 3. Найти асимптоты графика функции р = .г О Так как функция непрерывна на всей оси, кроме точки х = О, то вертикальная асимптота может существовать лишь в этой точке. Имеем: 1х — Ц !пп = +со, в-~+о хэ и, следовательно, прямая х = 0 — вертикальная асимптота. Найдем наклонные асимптоты. Так как Пш =О=1 и 11ш ~~, — О.х =О=Ь, !х — Ц/хт /!х — Ц -~х х то прямая у = О . х + О = О является одновременно и правой, и левой наклонной (в данном случае горизонтальной) асимптотой. Г Найти асимптоты графиков указанных функций: 6.452.
у = Р 6.453. у = Кхз — хз. 1/ х — 2' ~уг)ххт — 3! 6.454. у = . 6.455. у = Зх+ агс185х. х 1и (х + 1) в)п х 6.456. у = + 2х. 6.457. у = —. х2 х 11 6.458. у = х1п е+ — ~. 6.459. П = хагсэесх. х~ 6.460. Доказать, что график целой рациональной функции у = = аох" + агх" +... + ая гх + а„, и > 2, нс имеет никаких асимптот. 4.
Построение графиков функций. Для построения графика функции р = 1(х) с непрерывной второй производной (всюду в области определения функции кроме, быть может, конечного числа точек) сначала проводим элементарное исследование, выясняющее некоторые особенности 94 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной функции (если они имеются): симметрия, периодичность, постоянство знака, нули, точки пересечения с осью Оу, точки разрыва и т. и. Затем, используя первую и вторую производные, находим точки зкстремума и перегиба, интервалы монотонности и выпуклости, а также асимптоты.
1х — и П р и м е р 4. Построить график функции у = х2 з Функция определена и непрерывна всюду, кроме точки х = О, всюду неотрицательна и равна нулю лишь в точке х = 1. Ее исследование проведено в примерах 1 — 3. Результат етого исследования полезно свести в одну таблицу - — объединение таблиц 4.1 и 4.2.
При атом следует вычислить и записать в соответствуюшую клетку таблицы /'(3) = — 1/27— угловой козффициент касательной к графику функции в точке перегиба. Рис. 10 Рекомендуется также вычислить /' (1) = — 1 и /' (1) = 1 — угловые козффициенты левой и правой касательных в точке (1, 0) графика. Эти данные помогают точнее построить график функции, приведенный на рис. 10.
1> и„., а. и.„.„,„.ф ф„„„,у=,/,'~,-'1г. а Функция определена и непрерывна на всей действительной оси и обрашается в нуль в точках х = 0 и х = 1. Находим первую производную Зхз — 4х + 1 х — 1/3 У Приравнивая се нулю, получаем х = 1/3. Таким образом, критическими точками функции являются: хг —— О, хз — — 1/3, хз = 1 (в точках х1 = 0 и хз — — 1 производная не сушествует). Эти точки разбивают область определения на четыре интервала монотонности ( — оо, 0), (О, 1/3), (1/3, 1), 3 4. Исследование функций и построение графиков 95 (1, +со).
Так как у'(х) > 0 при т. Е ( — оо, 0) (.2 (О, 1/3) (( (1, +ос), то р(х) возрастает на интервалах ( — оо, 1/3) и (1, +со). Аналогично рассуа(дая, находим, что у'(х) < 0 при х Е (1/3, 1) и, следовательно, функция иа этом интервале убывает. В точке хэ — — 1/3 функция достигает мак- 2 симума (р «„(1/3) = — Ф4 - 0,529), а в точке хэ = 1 — минимума 3 (р;.(1) = О) 2 Н* . Р РР Р 1 Р = — .1(Р» Р ' *'(* — 1(' .Р «Р.
- Р ° * *,=Р *.,=1(.*.Р.п произвопная в втих точках не существует). Получаем три интервала вь(- пуклости исходной функции; ( — оо, 0), (О, 1) и (1, +со). В первом интервале функция выпукла вниз (так как ун > 0 при х < 0), а во втором и трстьел( — выпукла вверх (ун < 0 при х > О, кроме точки х = 1). Следовательно, (О, 0) является точкой перегиба графика функции (с вертикальной касательной). Результаты проведенных исследований сводим в таблицу: Таблица 4.3 Для уточнения поведения функции в окрестности точки х = 1 заметим, что /' (1) = — оо, Ц (1) = +ос, т.е. в точке (1, 0) графика функции левая и правая касательные совпадают, образуя вертикальную касательную.
Наконец, определим асимптоты. Так как функция непрерывна на всей оси, то вертикальные асимптоты отсутствуют. Для определения наклонных аспмптот находим сначала а затем 1ня( (у(х) — х) = 1пп (2/х(х — 1) — х) = Н ХОР .Р-«Х(НР— 2х +х 2 Н (* — 1(' 1. (2*( — 11 Р.. 2 96 Гл. б. Дифи)зе/зенцинзьное исчисление функций одной переменной Построить графики следующих функций: ( 2 5)3 6.461. у = 125 -х (х — 3) . 2 2 2 4 -х' (х — 5). з г 6 х4 хз — 1 4 з+1' 3 х4 — 1 6.462.
у = 6.463. у = Рис. 11 6.464. у = 6.465. у = 2(х — 1)' х' — Зх ,3 хг — 1 6.466. у = 6.467. у = 6.468. у = 6.469. у = хз+ 2' хг х хз — 1 6.471. у = х2 „з х2 3' 6.473. у = хг — 1 г+1 з/ + 1 з/т зр оГ 1Р К*: в. з + з 6'480. у = ь/à — хз 3 3 ьз/ + 1 з/ У +1+ з',/х:1. ,3/ 3+14 3 3 з х 6.484. у = /х4 + 1 х/хг+ 1 6.470. у = 6.472. у = 2 — хз з з+1 6.475. у = 6.474. у = 6.476. у = 6.477. у = 6А78. у = 6.479. у = 6.481.
1/ = 6.482. у = 6.483. у = Следовательно, правая и левая наклонные асимптоты совпадают и опрс- 2 делаются уравнением у = х — —. 3' График функции приведен на рис. 11. с> 3 4. Иллгдоввние функций и построение графиков хз 3,г/хз + 2' .з 6.486. р 6.485. у =. з~ хт 6.487. у =- 6.488. у ~/(. -' + г)' КР+ 2 / г+1' 6.489. у = 6.490. р 6.492. у 6.494. у х „/)хз — 3! 6.491. и = 6.493. у = Яхт — Ц. 6.495. у =- вснх+ совх. 6.496.
у 6.497. у = хатой,'х. 6.499. р = евх * . 1 у= — Е 1/х х 6.503. у =- 1ге1/х, 6.506. у 6.508. у ххез/х 6.513. у = хв1пх. 6.515, у = хв1птх. х>О (1+ х)1/*, х > — 1. 6.505. у = (:и — 2)е 6.507. у =- (хи + 1)е хг/1. 6.509. у — —.:взс 1пх 6.511. у = —. ;в О.Ы7. у = х1пв )х). 6.519. р = —, 1п Ц.
1 хв 6.521". у = х'/'"',:г > О. В1П Х 6.523*. у =— 6.498. у 6.500. у 6.502. у 6.504. у 6.510. у 6.512. р 6.514. у 6.516. у 6.518. у 6.520. р 6.522. у сйпх + сов х и — + атссц8 х. 2 хе хг/2 — е 1/'. хз 1 1/г х 12х — 1)е2/х 1п(х+ ~ахи+ 1). 1 х 1п х 1пх хз ' 2 1п (х) 1п (х — 1!. 98 Гл.
6. Дифференциальное исчисление функции одной переменной Построить кривые, заданные параметрически: 6524.х=1е~, у=1е ~, 1ЕК. э Проведем вспомогательные вычисления: ~ — гг (1+ 1)с1,! (1 1)с — ~ у! — 2г в гг — 2 Так как х', = О при 1 = — 1 и х,",( — 1) = 1/с > О, то х„,ж = — 1/с. о 1 Так как у', = 0 при с = 1 и у,",(1) = — — < О, то у„„„= —.
Отсюда следует, что криван расположена в области ((х, у) ! х б [-1/е, +со), у б б ( — оо, 1/е) ). Из выражения длн производной у,' определяем критические точки Н = 1 (у',(1) = О) и гг —— — 1 (у' ( — 1) не существует). Критические точки первой производной находим из выражения для второй производной у": сэ = т/2 (у" (1/2) = О), 1з = — т/2 (у",( — т/2) = О) и Сь = — 1 (у,".,( — 1) не существует). Следовательно, А( — ~/2/ечг, — ~/2е" г) и В(Г2ечг, Г2/е'~г) — точки перегиба. Наконец, находим асимптоты.
Если 1 — > — оо, то х — > О, а у -+ — оо, т. е. х = 0 — вертикальная асимптота. Отметим, что при приближении Рис. 12 точек кривой к этой асимптоте 1гх координата по х остается отрицательной. Если 1-+ +ос, то х — у +со, а у -+ О, т.е. у = Π— горизонтальная асимптота. Точки кривой при приближении к ней имеют положительную координату по у. Результаты исследования сводим в таблицу (табл.
4.4) и делаем все нсобходимыс выводы в правой ее колонке. Кривая приведена на рнс. 12. г 11 ' '25. Векторные и комплексныс функции дейстоит. персхюнной 99 Таблица 4.4 у. у~~, Паведеипе кривой Выпукла вверх, убывает (-оо, — ч/2) < 0 < 0 х = 0 —. вертикальная асимптота <О <О Точка перегиба >О с х ( — ъ/2, — Ц <О Выпукла впиа, убывает <О <О >О нс суш. нс гуш. Точка возврата Выпукла вверх, возрас- тает, тоска (О, 0) леагит на кривой ( — Ц Ц >О <О Максимум (Ц 2) Выпукла вверх, убывает >0 >О <О <О чг2е' х Точка перегиба Выпукла вниз, убывает, у = 0 — горизонтальная асим итога (чг2, +со) > 0 >О <О >О 6.531. т = 3 5. Векторные и комплексные функции действительной переменной 1. Определение вектор<функции действительной переменной. Если каждому значению действительной переменной г б ху С К поставлен в соответствие вектор а(г) б Уз, то говорят, гго на множестве ху задана вектор-фуккаил а = а(г) действительной переменной К 6.525.
х, = 6.526. х = 6.527. х = 6.528. х = Построить координат: 6.529. т = 42 24 у 42+24 46 К 4+с ', 9=24+с зг, убей. а созз 4, у = а згпз 4, 4 Е [О, 2п). — 3п, у = 2 — 6' '18 гч 4 Е В. следующие кривые, заданные в полярной системе оз)пЗчз. 6.530. т = а(1+созцз). „/и/уз. 6.532. тз = 2ггз соз 2~р. 100 Гл. б.
Дифференциальное исчисление функций одной переменной Задание вектор-функции а = а(г) равносильно заданию трех числовых функций а,(1), а„(1), а,(г) — координат вектора а: а = а,(с)1+ аг(г)З + а.-(1))с, или, кратко, а = (а,(г), а„(1), а„.(г)). Если вектор а является радиус- вектором точки М(х, 9, г), то соответствующую вектор-функцию принято обозначать; г = г(с) = х(1)1+ 9(Х)З + г(с))с. Годосраргом вектор-функции г = г(1) называется линия, описываемая в пространстве концом вектора г.
Всякую линию в пространстве можно рассматривать как топограф некоторой вектор-функции. Параметрические уравнения годографа: х = х(1), у = у(г), г = г(г). П р и м е р 1. Найти годограф вектор-функции 1 — гг. 21 г(г) = 1+ 1+1с, г 6 К. 1+гг 1+ 1г О Имеем параметрические уравнения годографа 1 гг 21 х=, у=, г=1. 1 д зг ' 1 + тг ' Исключая параметр г, получим (1 — 1~)~ + 4гг х +р (1+ гг)г = 1. Следовательно, годографом вектор-функции г(г) является окружность г+ г из которой исключена точка ( — 1; О, 1), получающаяся в пределе при с — г хао.
С Найти годографы вектор-функций: 6.533. г = (21 — 1)1+ ( — 31+ 2)1+ 4Ж, 1 С )(4. 6.534. г = Л вЂ” Й + А + Р3, 1 Е (О, 1!. 6.535. г = 4сЬ1 г — 3+ ЗзЬ1 1с, 1 Е 2. 6.536. г = 311 + (21 — Р)3, 1 Е К. 6.537. г = соз1 г+ зш1 1+1)с, 1 Е К. 6.538. г = 2созз1 с+ 2гйпз1.1, 1 Е [О, 2я]. 6.539. г = Н+ Р1+ 1з)с 35. Векторные и комплексные функции дсйствнт. переменной 101 6.540. г = совз С 1+ в!пС сов С 3+ гОпС 1с, С Е (О, 2к].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
