341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 12
Текст из файла (страница 12)
6.251. В точках пересечения прямой х — у + 1 = 0 и параболы у = х~ — 4х + 5 проведены нормали к параболе. Найти площадь треугольника, образованного нормалями и хордой, стягивающей указанные точки пересечения. 6.252. Показать, что нормали к развертке окружности х = = а(сов 1+ 1ьйп 1), у = а(з1п1 — асов в) нвляются касательными к окружности х + у = а . Углом и~,между кривыми у = 71(х) и у = ув(х) в их общей точке Мв(хв, ув) называется угол между касательными к этим кривым в точке Л'Хв 6.253. Доказать, что г8вв = Яхо) — 11(хо) 1+ 71(хо)Яхо) Найти углы, под которыми пересекаются заданные кривые: 6.254.
у = х~ и у = хз. 6.255. у = (х — 2)~ и у = 4х — хт + 4. 6.256. у = в1пх и у = сов х, х Е (О, 2п]. х 6.257. х2 + ут = 8ах и ут = 2а — х 6.258. Доказать, что сумма отрезков, отсекасмых касательной к кривой т 7 + у 7 = а 7 на осях координат, для всех ее точек равна а. 6.259. Показать, что отрезок касательной к астроиде хтуз + + у 7 = а 7, заключенный между осями координат, имеет постоянную длину, равную а. 6.260. Найти расстояние от начала координат до нормали к линии у = ее*+ х~, проведенной в точке с абсциссой х = О. 6.261.
Доказать, что отрезок касательной к трактрисе а а+ ~/аз — х~ у = — )п — ъ'ат — хт 2 а — ч7ат — хе заключенный между осью ординат и точкой касания, имеет постоянную длину. З 1. Производная 71 Если кривая задана в полярных координатах уравнением г = г(у), то угол д, образованный касательной ТТ' и рздиус-вектором Ол4? точки касания ЛХ (рис. 4), определяется соотношением 6.262*'. Вывести формулу 111), 6.263. Найти угол О злежду кзсательной и радиус-вгктором топ1и касания для логарифмической спирали г = ае ьк Рис.
4 6.264. Найти угол 0 между касательной и радиус.-вектором точки касания для лемнискаты г = аз сов 2у. Если х = х(1) -- функция, описывающая закон движения матери- ~Ь алькой точки, то первая производная — = .т есть скорость, а вторая й сРх производная †„ = х — ускорение этой точки в момент времени 1 йз 1мехаи к ческий смысл первой и второй производных).
6.265. Закон движения матер) э ьной точки по прямой имеет вид х = (1,'4)1~ — 4?з + 161~. а) В какие моменты времени точка находится в начале координат? б) В какие моменты времени направление ее движения совпадает с положительным направлением оси Ох? в) В какие моменты времени се ускорение равно нулю? 6.266. Найти скорость гармонического колебания с амплитудой а, частотой ы и начальной фазой ~р = О. 6.267. Тело 1лагсой 4 движется прямолинейно по закону х = = 1~ + 1+ 1. Определить кинетическую энергикэ тела в момент времени 1 = 5.
6.268. В какой момент 1 б )О, 2я) надо устранить действие сил, чтобы точка, участвующая в гармоническом колебании х = сов 31, продолжала двигаться равномерно со скоростью и = 3/2. 6.269. Точка движется по логарифмической спирали г = е'т. Найти скорость изменения полярного радиуса, если известно, что он вращается с постоянной скоростью ьл.
6.270. Точка движется пя окружности г = 2а сов ~р. Найти скорости изменения абсциссы и ординаты точки, если полярный радиус вращается с угловой скоростью ы 72 Гл. б. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 6.271. В какой точке эллипса 16хт+Оуз = 400 ордината убывает с той жс скоростью, с какой абсцисса возрастает? 6.272. Радиус шара изменпстсп со скоростью ш С какой скоростью изменяются объем и поверхность шара? 6.273. Колесо вращаетса так, что угол поворота пропорционален квадрату времени.
Первый оборот был сделан колесом за время Т =- Вс. Найти угловую скорость ш в момент времени 1 = 32 с после начала движения. 3 2. Дифференциал 1. Дифференциал 1-го порлдка. Функция у = у(х) называетсп дифферснцируемой в точке хо, если ее приращение,Ьу(хо, Ьх) может быть представлено в виде Ьу(хо, Ьх) = АЬх + о(Ьх). Главнан линейная часть 4Ьх приращения ху у называется диууфереициилом этой функции в точке хо, соответствующим приращению Ьх, и обозначается символом иу(хо, Ьх). Длн того чтобы функции у = у'(х) была днфференцируемой в точке хо, необходимо н достаточно, чтобы суьчествовала производная у'(хо); при этом справедливо равенство А = у'(хо). Это утверждение позволлст называть дифферснцируемой всякую функцию, имеющую производную. Именно в таком смысле мы и употребляли это выражение в э 1.
Выражение плц дифференциала имеет вид йу(хе, йх) = У'(хо) йх, где принято обозначение йх = Ьх. Из формулы (1) следует, что если у'(хо) ф О, то при с х — э 0 приращение функции и ес дифференциал цу в фиксированной точке нвляются эквивалентными бесконечно малыми, что позволяет ааписать приближенное равенство: (2) Ьу = йу прп ~Ьх( << 1.
Пример 1. Найти прпблия|енно значение объема И шара радиуса т = 1,02м. э Так как 1'(г) = -иг', то, полагал го = 1, Ьз = 0,02 и используя 3 формулу (2), получаем: Р(1,02) = 1'(1) + Л(х(1, 0,02) = И(1) -ь рч(1) 0,02 = 4 = -и+4п.002 — 4,43 мэ с 3 З 2. Дифференциал Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал с!у(хс, схх) равен приращению ординаты касательной 7"Т' к графику функции у = )" (х) в точке Ма(хе, ус) при приращении аргумента, равном у Ьх (рис. 5).
Т' 6.274. Используя формулу М(х лах, ус сну) гл ' )о Йу = у'((х и правила вычислс- ау ния производных (см. 5 1, п. 1), М(х. ) доказать следующие свойства дифференциала: т а) с((С) = О, где С вЂ” посто- о хл хл+ Ьх х янная; б) (1(С)и + Сто) = С! ((и + Рис. 5 + С2 ((с! уи! с((и — и(Ь в) й(ис) = и(1((+с((и; г) (1( — ) = —, 6.275. Пусть г(х) = и(у(х)) — слои(ная функция, образован)ия композицией функций у = у(х) и г = л(у). Доказать, что (1х(х, с7х) = и„(у) (11((х, ((т), т. с, выражение для дифференциала сложной функции через дифференциал промежуточного аргумента имеет такую же форму, что и основнос определение дг(х, (!х) = и (х) с(х (зто утверждение называется ииеариаитиосп(ью у5орх(ы 1-го ди(у)фароя((кило). 6.276. Доказать, что для линейной функции у = ах + () приращение Ьр и дифференциал ((у совпадают.
6.277. Найти приращение гху и дифференциал (((у функции у = хз, соответствующие значению аргумента хо = 2 и двум различным приращениям аргумента (Ьх)! = 0,1 и (Ьх)2 = 0,01. 6.278. Найти приращение ЛЯ и дифференциал а(Я площади 5 квадрата, соответствующие прира)цснию 2'.)х стороны т„С помощью рисунка геометрически истолковат! ЬЯ, с!Я и разность ЬЯ вЂ” (15. 6.279. Материальная точка М движется прямолинейно по закону л = у (1), где ! -- момент времени, а и —. пройденный путь за промежуток времени от 0 до й Дать механичсское истолкование дифференциала пути сха, соответствующего промежутку времени с2 с! ° 6.280. Используя результат предыдущей задачи и формулу (2), найти приближенно путь 2хл, пройденный точкой М за промежуток времени от 2! = 3 до 12 = 4, если закон движения точки М задан формулой л = 1 + агс(д (.
Сопоставить ответ с точным значением Ьл. 74 Гл. б, Дифференциальное исчисление функций одной' переменной 1п — =х р. Р 2 2 т (3) < Перепишем (3) в виде тождества !п — '=х р (т) р( ') и вычислим дифференциалы левой и правой части. Используя свойства дифференциала, находим рч 1 грч ххйр — рс1х 1 1 г( (1п — ') = — ~1 ~ — ) = — —,, = — Ф вЂ” —,, г1х, х) р/х ~х) р хч р,гт г7(х рт) =- х д(р ) + р д(х ) = 2х ре52+ 2хр дх.
6.281. Для функций: а) 7'(и) = хв и б) р(х) =. з1пх найти значения аргумента т,, при которых дифференциалы этих функций не являются эквивалентными их приращениям при Ьх — ~ О. 6.282. Дан отрезок [хо, хе+ Ьх) изменения аргумента х функции р = 2 (х); Ьр и г(р — соответствующие приращение и диф- 3 ферснциал функции р.
Возможны ли равенства: а) Пр = — Ьр; 2 1 б) г(р = Ьр; в) г(р = — Ьр на всем этом отрезке? 2 6,283. Ребра куба увеличены на 1 ем. При этом дифференциал Л' объема 1г куба оказался равным 12 смэ. Найти первоначальную длину ребер. 6.284. Радиус круга увеличен па 1 ем. Дифференциал площади круга оказался при атом равным 62гсм2. Найти первоначальную величину радиуса.
Найти дифференциалы указанных функций при произвольных значениях аргумента х и при произвольном его приращении Ьх=Пх: 2 6.285. хч'а~ — х2+ и агсэш — — 5. и 6.286. гбпх — х сов х+ 4. 6.287. хагс18х — 1п~/1 + т2. 6.288. х 1п х — т, + 1. 6.289. хагсэ1пх+ ~/Т вЂ”:г2 — 3. При вычислении дифференциалов неявно заданных функций удобно использовать основныс свойства дифференциала, перечисленные в задачах 6.274 и 6.275. П ример 2. Найти Пр, если функция у =- р(х) задана неявно урав- нением з 2. Дифферснцвал Приравнивая полученные выражения, получаем — л1у — — дх = 2х ууу+ 2ху дх. г хг Из этого уравнения, линейного относительно л1у, находим окончательное выражение для л1у через х, у и дх: „1+2 з,г пу =— ух. хг 1 2хгуг Отсюда, в частности, может быть получено н выражение для производной неявной функции: 2хзуг у с' х 1 — 2х'у Найти дифференциалы следующих неявно заданных функций у = у(х): 6.290.
уз+ у — хг = 1. 6 291. х4 + у4 = хгуз. 6 292 хг!з + угроз = агЛз 6.293. ед = х + у. 6.294. у = х, + агс18 у. 6.295. у = соз 1х + у). 6.296. агс18 — = 1п,ля~+уз. 6.297. соз(ху) = х. у В задачах 6.298 — 6.302 произвести указанные приближенные вычисления, используя замену приращения ллу подходящей функции у = 1(х) дифференциалом ду этой функции при малой абсолютной величине приращения лзт, аргумента х. 6.298. Вычислить приближенно: а) агсэ1п 0,0б; б) агс18 1,04; в) !п1,2.
6.299. Обосновать приближенную формулу лУ*+' = К + 3ъ'хг и вычислить по этой формуле 725. хг 6.300. Найти приближенное значение функции 1(х) = е* при т, = 1,2. 6.301*. Найти приблилленное выражение для приращения г.'лХ объема 1т прямого кругового цилиндра с высотой 1л при изменении радиуса основания т на воличину ллт. 6.302". По закону Клапейрона объем Г, занимаемый газом, давление газа р и абсолютная температура Т связаны формулой рЪ' = ЯТ, где Н вЂ” - газовая постоянная. Найти приближенное выражение для приращения ллГ объема Г при изменении давления р на величину г."лр, считая неизменной температуру Т.
76 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 2. Дифференциалы высших порядков. Рассмотрим дифференциал ду(т,. Ь|х) = у'(х)Ь|х как ()~ункцию х при фиксированном Ьх = Ь|х. Предполагая, что функция у =- )(х) дважды дифференцируема в точке х, найдем дифференциал от йу(х, Ь|х) при гхх = гХгх: д(ду(х, 1,х)) ~,, = Ун(х)Л, Лг . Значение полученного выражения при Ь,х = дггх = ~(х нааывается вторым диффереициолом пли диИеренциллом 2-го порядка функции у = 7" (х) и обозначается символом гугу(х, дх).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
