341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 10
Текст из файла (страница 10)
сЬх = (гиперболичесний косинус), 2 зЬх 6.79. 1Ьх = — (гиперболический тангенс), сЬх сЬх 6.80. с1Ьх = — (гиперболический нотангенс). аЬх Логарифмической прои водной функции у = ь'(х) называется про- изводная от логарифма атой функции, т. е. (1пу)' = —. у у Применснис предварительного логарифмирования часто упрощает вычи- сление производной. х(х — 1) Пример 3. Найти производную функции у = х — 2 з Таьь как функция определена прн х Е [О, 1] ь.ь (2, +ос), то 1 !и у = — (1пх+1п]х — 1] — 1п]х — 2]).
2 Отсюда (см. пример 6.117) у' 1(1 (1п у) — — + у 21х х — 1 х — 2 т. е. хз — 4х+ 2 у =(1пу) у= с' 2 ~/*а — л ь* — 2) Пример 4. Найти производную сложно-показательной функции у= 1+— 1 О Логарифмируя, получим (так как 1+ — ) 0) 1! !и у = х1п 1+ — ~. 57 З 1.
Производная Отсюда находим производные левой н правой частей (1п у)' = — ' = 1и ~1+ — )— у (, *) 1+. Следовательно у' = (1~у)' у = 1+ — 1и 1+— Используя предварительное логарифмирование, найти производные следующих функций: 6.81. у = . 6.82. у = (х — 8)г(2х — 1) 2 (х -+ 2)(х — 1)' (х + 1)з хэ 2/х+ 2 — 1 683 у ' 684 у тз (2(а — 1) (2, 1) ' ' " (*-,-2),1*-2 6.85.
у = хт. 6.86. у = хг*, 6.87. у = ~/уЛ 6.88. у = (1пх)П*. 6 89 у (а)пх)а122)пх 6 96 у х* (1п х) 2 Х2 6.91. у = 6.92'. у = х* + хг + 2"" . Вводя промежуточные переменные, вычислить производные заданных функций: 6.96'. 2=1 ( '*1- 111- г). 6.94. у = (агссоа т) 2 1п (агссоз т). 2 1(') 1— 6.96. 9 =, . 6.96. 9 = 22 — 1 1- 6.92'. 21 гх +2х, х<О, Г 2 ах+Ь, х) О. Найти коэффициенты о и Ь так1 чтобы функция 7" (х) была непрерывна и дифференцируема в любой точке. 6.98. Пусть 1 Лх)= И' охг+Ь, )х! < 1.
Найти коэффициенты а и Ь так, чтобы функция 7" (х) была непре- рывна и дифференцируема в любой точке. 58 Гл. О. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Найти производные следующих функций з 1+гх 6.99. у = г!г ..
6.100. у = х+ ~/х+ ь/х. 6.!О!. ! = ""~гг — ~'"(! .!.*)". 1 6.102. у = я!г! (соя~ х) соя (я)п~ х). 6.103. у = соя гпх !.!04. ! =- ( — ) ( — ) ( — ),, ! > О. . /33- /г 6.105. у = 1п (!пн гпх). 6.106. у = — )п 2г/6 Охи/3 + ь/2 6.107. у =- )о8зя[п(2ггх+ — ~. 6.108. у = агс18(18 х).
2 !' 6.109. у = !оц, е. 6.110. у = (я!их)соп'"'. 6.111. у = т/х"" ' . 6 112 у /'оя х оггсппх 1 6.113. у = )п(яЬх) + . 6.114. у = агсг8(!Ьх). 2я!гх /1~ 6.116. у = ахссоя ~ — /!. !,сЬ /' 6.115. у = е хяЬах. 6.117. у = !п [х[. З Функция у =!и [х[ определена гг'х Е К, хфО,и х > О! х ( О.
( !пх, 1п[х[ = ~ Отсюда 1 — х>О, (!и [х[) х< О, 1 т.е, (!п[х[) = —, и ф О. г> х 1 6.118. гу = агся!п —. 6.119. у = [я)их[. [х[' 6.120. у = [агсс8х[. 6.121. у = [х)х, где [х) — — целая часть числа т,. <~ Функция у = [х]х определена Чх Е !8. Если У Е Е, то у = кх при х Е [Й, Й+ 1).
Поятому у' = !с, х Е (!с, Й+ 1), авточкахх=15 кЕпл /'(гг) =1 — 1, Д(к) =/с. г> З 1. Производная 59 1 — х, х<0., 6.122. у = е х, х>0, ге-*' ~ ~<1 6.124. у = 1 — (х! > 1. е' х г 3 — х 6.125. у = 1 — х (3+ х)г х х<0, 6.123. у = 1и (1+ х), х > О. 6.126. у = (х — аг)о'(х — аг) '...(х — а„)"", 6 122 у = ах 6.128. у = (1о8 а)* У 1 1/х 6.129.
у = яп (аш(япх)). 6.130. у = ~ — ~ Отсюда находим (ф'(х)(Ях)) 1п р(х) — (д'(х)/у(х)) 1пф(х) 1п ~р(х) 1 (Ф'(х) Ф(х) ) 1п~р(х) (, ф(х) у(х) / 1пЗ япх+ созх 6.131. у = 3* 1яп ат 6.132. у = ЗсовЬх -~-— 3 созз Ьх 6.133. Доказать, что производная четной функции — функция нечетная, .а производная нечетной функции — функция четная. 6.134. Доказать, что производная периодической функции есть функция также периодическая. 6.135*. Найти у'(хо), если г (х) = (х — хе)~р(х), где функция <р(х) непрерывна в точке хо. Пусть у(х) и ф(х) — дифференцируемые функции. Найти производные следующих сложных функций: Вдзв.р=,/~щт7ф, Вззт.р= ~р(х) Ф(х) ' 6.138. у = Ф(х)"(*), ф(х) > О.
6.139. у = 1о8 ( ) ф(х), ~о(х) > О, ф(х) > О, ~р(х) ~ 1. г Перейдем к натуральным логарифмам: 1п ф(х) у = 1о8 1,1 Ф(х) = 60 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Пусть у(х) — произвольная дифферснцируемая функция. Найти у: 6.140. у = у(1пх). 6.141. у = 1п (у(х)). 6.142. у = у" (е )еУ(*) а Ихлеем у' = ~'(е*)с*ел!Ой + л"(е*)елл'1('(х) = еу1*1(с*у'(е*) + у'(х)у(г')). с> 6.143. у = у (у(х)). 2.
Дифференцирование функций, заданных неявно или параметрически. Говорят, что функция у = у(х), х б (а, б), нелепо задана уравнением Р(х, у) = О, если для всех т 6 (а, б) Р(х, У(х)) = О. (2) у,(х) = л/Г:хг, уг(х) — А х (4) Найти их производные, не используя явных выра!копий (4). з Пусть у(х) — любая нз этих функций. Тогда, дифференцируя по х тождество х +у (х) =1, получим 2х + 2у(х)у'(х) = О. Отсюда у'(х) = — — "', у(х) т. е.
х х у',(х) =— у,(х) /1 г ' ! — х — х у.(х) = — = — с уг(х) ~/1 — тг П р и м е р 6. Вывести правило дифференцирования обратной функцл!и. З Если х = )' '(у), У б Е, — функция, обратная к у = у(х), х 6 О, то для всех у б Е выполнено равенство у'(( '(у)) — у = О. Для вычисления производной функции у = 1(х) следует тождество (3) пролифференцировать по х (рассматривая левую часть как сложную функцию х), а затем полученное уравнение разрешить относительно 1'(х).
Пример 5. Уравнение хг + уг = 1 неявно определнет на интервале ( — 1, 1) две функции: б 1. 11роизводная Иначе говоря, обратная функция х = У '(у) есть функция, заданная неявно уравнением У(х) — у = О. (5) Для вычисления производной функции х = 1 (у) лифферснцируем (5) по у: ~'(х(у))х~(у) — 1 = О, откуда т'(х(у)) При неявном задании функций, а также для сложных функций будем для производной использовать также обозначения типа у,' там, где необходимо уточнить, по какой переменной ведется дифференцирование. 6.144.
Найти значение у' в точке х = 1, если хз — 2хтуз+ 5х+у — 5 = О, у(1) = 1. 6.145. Найти у' в точке (О, 1), если ел + ху = с. Найти у' для слелуюгцих функций, ааданных неявно: г 6.146. — + — = 1. а~ 5~ 6.147. хз + у" = хзуз. 6.148. тут + /у = ~(а, а > О. 6.149. 2у 1п у = х. 6.150. с* в)п у — с" соа х = О. 6.151. а)п (ху) + сов (ху) = О. 6.152. 2*+ 2" = 2*т". 6.153. х — у = агсвгпх — агсз(ну. 6.154. агс18 — = 1п,/Р+ ут. 6.155. ху = агсС8 —.
у х х у ха 6.156. х" = у* 6.157. а*уд = 1у 6.158. Доказать, что функция у, определенная уравнением ху — )пу = 1, удовлетворяет также уравнению у + (ху — 1)у' = О. Найти производные функций, обратных к заданным: 6.159. у = вЬх. е* — с * е'+е ' з Имеем по определению вЬх= . Так как (зЬх)'= >О 2 2 для всех х е К, то функция вЬ х монотонно возрастает на всей лействительной оси и, слеловательно, имеет обратную, обозначаемую агвЬх.
По 62 Гл. б. Дифференциальное исчиглеяие функций одной переменной правилу дифференцирования обратной функппн получаем 1 2 1 1 1 х„= (агвб у) = — — — ь. - Д вЂ”,— „*, - „тР Следовательно, переходя к обычным обозначениям, имеем 1 (агвЬ х) = . Р—,/Г+хг 6.160*. у = с1гх 6.161. у = ягсвш2*.
/1 6.162. у = 2хг — х, х ~ —, +со Пусть у = сг(х) -- фугпсция, обратная к заданной у = у(х). Выразить сг'(х) через х и м(х), если: 6.163. у =.с". г Учитывая, что (х') = х'"1п(х+ 1), получаем: 1 1 1 у,' х'(1пх+ Ц у(1пгг(у) + 1) ' так как х = а(у). В обычных обозначениях 1 о'(х) = .
С х((п гг(х) + 1) 1 6.164. у = х + е*. 6.165. у = -т + хз. 2 6.166. У = х+1обгх. 6.167. У = х1пх. Пусть заданы функции х=д, у=чг(г), 1ч(о,р). (б) у(х) = ф(у (х)), (7) называемая функцией, эаоанной параметрически соотношениями (6). Дифференцируя (7) по х и используя правило дифференцирования обрат- ной функции (пример б), получаем ! Фг у( х, (8) Если при атом х = ~р(1) на интервале (гг, 13) имеет обратную 1 = х '(х), то определена новая функция г 1.
Производная 63 П р и м е р 7, Найти у'„если х=соа~г, у=а|ай, гб(0,— ). 1 2япг Длн функций, заданных параметрически, найти у',: 6.168. х = 21, у = Згг — 5г, 1 Е ( — оо, +ос). 6.169. х = 1~+ 2) у = 0,51~) 1 Е ( — оо, +оо). /1'1' 6.170.
х =, у = ~ — ), 1 ф — 1. — + ~+1) 6.171. х = 2 ', у = 2г', 1 Е ( — оо, +со). 6.172. х = а соа ~р, у = бяп р, у Е (О, л). 6.173. х = 181, у = аш 21+ 2 сов 21, 1 Е ( — —., — 1. 2' 2/ 1 6.174. х = агссоа, у = агсзш, 1 Е (О, +ос). /~+ 1г' I~+1г' 6.175. * = 1п (1 + гг), у = г — агс181, 1 ~ (О, +оо). 6176.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
