341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 5
Текст из файла (страница 5)
— 3 (х) — 1 5.190. у = :с+ 2 5.191. у = (х+ 2! 1, х>0, 5.192. у = вцпх == О, х = О, — 1, х(0. 5.193. у = (х), гдс !х) — — цслал часть х. 5.194. у = (х), гдс (т) = х — И -- дробина часть х. 5.195. у = 2~:и — 1. 5.198. у = (1/3) ~*~-О + 2. 5.197. у =- !од~/г )х — 3!. 5.198. у = ( !обг (х + 1)!. 5.199. у =- агсвш (в!и (х + — 1) . 4/ 5.200. у = атосов (сов Зх).
5.201. у = совх+)вшх!. 5.202. у= )агссб(х — 1)1 5.203. у = хвбп(совх). 5.204. у = (сад (х+ — 1!. 4/ 5.205 ,х !/ =- 81п" 2 х+ 2'! 5.206. у = вп1 агсьбп ) . ) З 3. Продев последовггтеггьиости лей< твительиых чтг л 2бг На плоскости Оху изобразить множества точек, координаты которых удовлетворяют заданным условиям: 5.207.
ху = О. 5.208. )у! = )х~ — 2Ц вЂ” 3(. 5.209. )х) + )у! = 1. 5.210. ~т, + у! + (х — у! =. 1. 5.211. ((х) — )у(! =- 1. 4 5.212. )2у — 1) + )2у + 1(+ — )х! = 4. 3 Написать первые пять членов последовательности: и 5.213. х„= 1+ ( — 1)в —. 5.214. х„= п(1 — ( — 1)и), '3 5.216. х„= ( — 1)" ап:гйп — + ггн. 2 5.215. х„= 3н+ 5 2п — 3 Написать формулу обшего глена последовательности: 1 1 1 1 5.217. — —, —, — —, —,, ... 5.218. О, 2, О, 2, ...
5.219. 2, —,, —, —, ... 4 6 8 ' 3' 5' 7' 5 220. 1, О, -3, О, б, О, — 7, О, ... б 7 9 11 5.221. -3, —, --, —, — —, ... ' 3' 5' 7' 9 ' Л Л Л Л 5.222. Π—,, 1 — Π— — -1 — —,— О 2' ' 2' ' 2' ' 2' В задачах 5.223 5.228 требуется найти наибольший (наименьший) член ограниченной сверху (снизу) последовательности (хв)иеи ° г 5.223.
х„=- бгг — мт — б. 5.224. х„= е'о" 5.225. х„= . 5.226. х„= 3н — 10 — 14. ггй 9+и 512 5.227. х„= 2п+ —. п~ 93. Предел последовательности действительньгх шсел 1. Понятие последовательности. Последоагагггсльиогггггг го действительных чисел называется функция у: гг — г Й, определенная на множсспи всех натуральных чисел. Число у(гг) называется я-и членом последовательности н обозначается сихгвололг х„. а формула х„= у(гг) называется фарггулога ооигггаи члена последовательносгн (х„)„ек.
Гл. 5. Введение в анализ 26 ( !пп х„= — со). оооо 1цп х„= +со и -о со Число а называетсн предельной точкой последовательности (х„) вен, если для любого е > О найдетсн бесконечное число членов этой последовательности, удовлетворяющих условию !х„— а~ < в. Принцип Больцано-Всйерштрасса. Всякая ограниченная последовательность имеет хотя бы одну предельную точку. Наибольшан (наименьшая) из предельных точек последовательности (х„)„ен называется верхним (ниькним) пределом этой последовательности ц обозначается символом 1цп хи ( 1цп хи). иооо и,оо 5.229. Используя логическую символику, записать следующие высказывания, а также их отрицания: а) последовательность ограничена; б) последовательность монотонно возрастает; в) число а есть предел последовательности; г) последовательность (хи)иен бесконечно большая; д) число а есть предельная точка последовательности. 5.230.
Найти а = 1пп х„ и определить номер М(с) такой,что и — есо 1хи — а~ < в при всех и > )ч'(с), если: ~/пг + 1 п а) х„= 0,33...3, в =- 0,001; и 1 вп в) х„= — э)ц —, в = 0,001; п 2 ' 5пг+ 1 г) хи = с = 01005. 7пг 3' 2. Предел последовательности. Число о называется пределом последовательности (хи)иен, т.е. 1цп .т„= а, если для любого г > О существует номер Х(с) такой, что при и > Ге(с) выполняется неравенство !хи — а! < с. При этом сама последовательность называется сходящейся. Критерий Коши. Для тогочтобы последовательность(хи)иен имела предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого г > О существовал номер М(с) такой, что прп и > Х(с) оыполняется неравенство !хи~.р — хи! < в для любого р 6 И. Последовательность (хи)иен называется бесконечно малой, если 1цп хс = О.
и -о оо Последовательность (хи)иен называется бесконечно большой (сходящейся к бесконечности), что формально записываетел в виде 1цп х„= и — 1оо = со, если для любого числа Е > 0 существует номер 1ч'(Е) такой, что при и > М(Е) выполняется неравенство !х„! > Е. Если при этом, начиная с некоторого номера, все члены последовательности положительны (отрицательны), то используем запись З 3. Предел последовательности действительных чисел 27 Вычислить пределы п — 1 бп+ 1 5.231. 1пп . 5.232. 1'пп -~оо Зп -н 7 — 9п (и + 1)', Зи' — 7п+ 1 5.233. 1пп 5.234. 1пп пчоо 2пЗ и — и 2 — 5п — бпз (и+ 2)' — (и — 2)' 5.235. 1пп и-~со 95пЗ + 39и (Ъп — 1 1+ 2пз 5.236. 1пп ~з +7 2~-з ') 3 1 2п + Зи 5.239.
1пп пз!з(~/пз + 1 з7из 2) 5 240 1пп и — ~оо ' и-~со 2и — Зи' /1 2 и — 11 5.241. 1пп 1 — + — + + и чоо 1 пЗ пт пт 12 + 2з + + пз ьз7пз з1п (пз) 5.242. 1'пп 5.243. 1'пп п — >по пз а-~о и — 1 / 1 1 1 5.244. 1пп ~ — + — +. + п-~оо ~ 1 2 2 3 п(и+1)/ /1 и — 1 5.245. 1пп ~ — — — + .. + ( — 1)п 1 — ). и-~оо ~ 5 25 5п) Установить, какие из заданных последовательностей являются бесконечно большими: 5.247.
хп оо 2чи. 5.248. хп = п1 пп 5.249. хп = паш —. 5.250. хп = 18(18и), и > 2. 2 Найти все предельные точки последовательности: 5.251. хп оо 2+ (-1)и ( — 1)" 5.253. хп оо агсз1п 2 пп 5.252. хи = соз —. 5.246. Доказать, что если последовательность (хи)иен бесконечно малая и Чи Е Ы (х„ ф О), то последовательность (1/х„)„ен бесконечно большая. Гл. 5. Введение в анализ 28 5.254.
Доказать: а) 1|ш хн + !пп ун < !нп (хи + у„) ': !пп хи + !пп у„; и-»оо и — »оо п»оо и — »оо б) 1пп х„+ !пп у„< 1пп (х„+ у„) < 1пп х„+ 1пп у„. »оо и-»оо и — »оо и-»оо и — »оо Для каждой из следующих последовательностей (хн)„ен найти шу(хп), ьпр(хи), 1ш1:г.„и !ип х„: и-»оо и — 1оо ! и+1, кп 5.255. х„= 1+ —.
5.256. хн = сова —. м ' и 4 5.257. хо — — ( — 1)" (2п + 1). и+2 кп 5.258. х„= — в!п —, п > 2. и — 2 3 ' 5.260. Доказать, что равенство 1пп х„= Йп хи является неп-»оо обходимым и достаточным условием существования предела последовательности (хи)пек. 8 4. Предел функции. Непрерывность 3!и х 1пп— »-~о х 1ш1 1+ -) =!по (1+ х) 7» = е, 11 л 1» : — »оо х л-»о (2) где с = 2,71828...
— основание натуральных логарифмов. 1. Предел функции. Пусть функдия у = Дх) определена на множестве Р. Число а называют пределом функции у = у(х) в точке хо и пишут 1пп у(х) = а, если для любого с > О существует число б(с) > О такое, » "»»а что для любого х Е Р из условна О < (х — хв! < б(с) следует неравенство )у(х) — а! < е. Критерий Коши. Длл того чтобы функцил у = у(х) имела предел в точке хо, необходимо и достаточно, чтобы длл любого с > О сугцсствовало б(с) > О такое, что )У(х') — г(хо)! < с, как только /х' — хо) < б(с) и )хо — хо) < б(с) Говорят, что число а есть предел функции у = у(х) при х, стремлицемсл к бесконе »ности, и пишут 1пп г(х) = а, если для любого с > О сушествуег число А(е) > О такое, что )у (х) — а! < с, как только )х) > А(с).
В дальнейшем ислользуютсл следующие замечательные пределы; 29 З 4. Предел функции. Непрерывность Наряду с введенным выше понятием предела функции используют также следующее понятие одностороннего предела. Число сс называют яределс«м функции у = у(х) в точке хо справа (слева) и пишут 1пп с'(х) = а ( !пп с"(х) = а), если для любого е > О су- х-«хХХО Х-«*0-0 ществует число б(е) > 0 такое, что нз условия О < х — хо < б(е) ( — б(е) < х — хо < О) следует ! г" (х) — а! < е, Аналогично вводится понятие одностороннего предела на бесконечности ( !пп у(х) и !пп г(х)). В задачах 5.261 — 5.263, пользуясь только определением предела функции, доказать, что !пп Дх) = а, и заполнить следующую х — «хо таблицу: 5.261.
у"(х) = х2, хо = 2, а = 4. 5.262. 2"(х) = 1/х, хо = 1, а = 1. 5.263. Дх) = 16 х, хо = 1, а = О. Используя логическую символику, записать следующие утверждения: 5.264. 1пп )'(х) = оо. 5.265. !пп у (х) = — оо. х-«о х — «1 — О 5.266. 1пп у (х) = О.
5.267. 1пп у (х) = +оо. Х вЂ” «+СО Х«4-00 5.268. 1пп 2'(х) = О. 5.269. 1пп с'(х) = 2. х«4-О Х вЂ” «ОО 5.270. 1пп ) (х) = -оо. 5.271. 1пп у(х) = оо. Х -« — 00 Х вЂ” «-Оо Вычислить пределы следующих рациональных выражений: х2 2 х2+ 3 5.272. 1пп 5.273. 1пп о Зхз — бх+ 1 * — «зх2 3 х х — 2 2 5. 274. !пп 5.275. 1пп 4 -з !х+ 3! х — ««с2х +х +1 ( 1 3 х — 2х+1 5.276. 1пп — . 5.277. 1пп х-«2~О 1 2 — Х 8 — ХЗ С х — «1 ХЗ вЂ” Х вЂ” 1, (х+ сс)з — хз 5.278.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
