341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Это связано с тем, что круг идей и методов общей алгебры все глубже проникает в наукоемкие отрасли промышленности и, следовательно, становится необходимой частью образования и подготовки специалистов по инженерным специальностям. Кроме отмеченного выше, авторами выполнена стандартная техническая работа по исправлению ошибок, описок и других неточностей, учтены также все замечания, возникавшие в процессе работы с предыдущими изданиями Сборника. А. В.
Е4ил«ов, А. С. Поспелов Глава 5 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 9 1. Действитепъиые числа. Множества. Логическая символика 1. Понятие действительного числа. Из курса математики средней школы известно, что всякое неотрицательное действительное число х представляется бесконечной десятичной дробью [х],х1хв..., где [х] — — наибольшее целое число, не превосходящее х и называемое целой частью числа х, хь й (О, 1, 2, ..., 9) для любого я е 1Ц. При атом дроби, у которых х„= 9 для всех и > яо (цо — некоторос натуральное число), обычно исключаются из рассмотрения в силу следующих равенстш [х],999...
= [х]+ 1, [х]х1хз...х„1999... = [х]хьхг... (х„, 1+ 1) [яо > 1, х„, ь ф 9). Действительное число х рационально, т.е. представимо в виде отт ношения —, т, и й К, в том и только в том случае, когда дробь (1) я периодическая. В противном случае число х иррационально. Абсолютной величиной или модулем действительного числа х называется неотрицательное число ] х, если х>0, 1 — х, если х(О. Предполагается, что правила сравнения действительных чисел, а также арифметические операции над ними известны из курса математики средней школы. б.1. Доказать, что число 0,1010010001...
1 0... 0 1... иррационально. Выписать по три первых члена из последователь- настей конечных десятичных дробей, приближаюгцих вто число с недостатком и с избытком. Гл,5. Введение в анализ 5.2. Следующие числа представить в виде правильных рациональных дробей: а) 1,(2); б) 3,00(3); в) 0,110(25). 5.3. Доказать, что число 165 иррационально. э Предположим, что 1д 5 -- рациональное число, т. е. т 165= —: т,яЕУ. я' Тогда; 10"'~" = 5, 10'" = 5" 2"' 5"' = 5".
Но последнее равенство невозмолсно: число 2 входит в разложение левой части на простые множители, но не входит в аналогичное разложение для правой части, что противоречит единственности разложения целых чисел на простые множители. Поэтому исходное предположение неверно, и, следовательно, число 165 иррационально. С Доказать, что следующие числа иррациональны: 5.4. ~/3. 5.5.,",/р, р -- простое число,п ) 1. 5.6. 2+ т/3. 5.7.
х/2+ т/3. 5.6. 1одз р, р простое число. 5.6. — + лп, н Е Е, если известно, что л иррационально. В задачах 5.10-5.13 сравнить указанные числа. 5.10 ъ'2 — т/5 и ъ'3 — 2 з Предположим, что верно неравенство (2) ъ'2 — ~/5 < ч'3 — 2. Тогда: ~/2+ 2 < огб + чгЗ, б+ 4~/2 < 8+ 2Л55, 2эГ2 < 1+ ~IГ5, 8 < 16+ 2~!Г5. Так как последнее неравенство верно, то в силу обратимости выполнен- ных преобразований верно и исходное неравенство (2).
о 1 1з Пает) ° 1 1а (1/5) 5.11. 1о61уз — и!об,уз —. 5.12. ~ -) и ~ — ~ 3 2 ~ 5) ~ 7) 1 5.13. 1о61оззт 2 и 31. Действительные числа. Множества. Логическая символика 9 Нс пользуясь таблицами, доказать слсдуюшис числовые неравенства; 1 1 5.15. + > 2 1обз н 1оба х.
5.14. 1оДу 10+ 4 183 > 4 5.16. 1обл 26 > 1о8в 17. 5.17. Доказать, что модуль действительного числа обладает следуюшими свойствами: а) !т! = шахух, — т); б) )х у! = !х! !у! и ~ — ~ = — ; !х! !х! !у!' в) (х + у! < !т! + !у! и )х — у! > !!х! — !у(! 1нсравенсглва треузольника); г) ь(тэ = !х!. Решить уравнения: 5.18. (Зх — 4! = 1/2.
5.19. ъ'хе + хз = О. 2т — 1 5.21. = 1. х+1 5.20. ! — х~ + 2х — 3! = 1 5.22. Д . — 2) = — * -'; 2. Решить неравенства: 5.23. (х — 2! > 1. 5.24. !хз — 7х + 12! > х~ — 7х + 12. <.2<.. < 2,Д < е — 10 < О. <л<. !:с — 1! 5.27. Д; < о < —:. — 1.
А = 1аы аэ,, ав) б) Множество А определяется как совокупность тех н только тех элементов из некоторого основного множества Т, которые обладают обшим 2. Множества и операции над ними. Под множеством понимается любая совокупность объектов, называемых элементами множества. Запись а Е А означает, по объект а есть элемент множества А (принадлежит множеству А); в противном случае пишут а ф А. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется нустгнм и обозначается символом И. Запись А С В 1А содержится в В) означает, что каждый элемент множества А является элементом множества В; в этом случае множество А называется подмножеством мнох<ества В. Множества А и В называют рави<ими (А = В).
если А С В и В С А. Сушествукгг два основных способа описания множеств. а) Множество А определяется непосредственным перечислением всех своих элементов аы аэ, ..., а„, т. е. записывается в виде 10 Гл. 5. Введение в анализ свойством о. В этом случае используется обозначение А = (х Е Т ~ гг(х)), где запись а(х) означает, что элемент х обладает свойством а. П ример 1. Описать перечислением элементов множество А = (х Е У ~(х — З)(хг — 1) =0 и х > 0). г А есть множество всех целых неотрицательных корней уравнения (х — З)(х — 1) = О.
Следовательно, А = (1, 3). С Обьедикепиелг множеств .4 и В называется множество АГАВ=(х(хбА или хЕВ). Пересечением множеств А и В называется множество А й В = (х) х и А н х и Л). Разнос пью множеств А и В называется множество А~В = (х ~ х е А и х ф В).
Если, в частности, А — подмножество некоторого универсального мно- жества Т, то разность Т~,А обозначается символом А н называется дополнением множества А (до множества Т). 5.28. Установить, какая из двух записей верна: а) (1, 2) Е 11, 2, (1, 2, 3)) или (1, 2) С (1, 2, (1, 2, 3)); б) (1, 2) Е (1, 2,(1, 2)) или (1, 2) С (1, 2,(1, 2)). В задачах 5.29 — 5.34 указанные множества задать перечислением всех своих элементов. 5.29.
А = (и Е К ~ хз — Зхг + 2х = О). 1 530.А=(хЕК~х+ — <2 и х>0~. х 5.31. А = (х Е М ) хг — Зх — 4 < О). 5.32. А = (х Е .'Е ~ — < 2* < 5~. 1 5.33. А = (х Е И ~ 1о81уг — < 2~. 534. А=(хЕК( соаг2х=1 и 0<х <2х). Изобразить на координатной плоскости следующие множества: 5 35 1(х, у) ~ Кг ~ х+ у — 2 = 0) 5.36. ((х, у) е Кг / х — уг > 0). 5.37.
((х, у) Е Кг ~ (тг — 1)(у+ 2) = О) З 1. Действительные числа. Мнохгества.,Логическал символика 11 5.38. ((х, у) Е Кг [у > х/2х+1 и 2х+ 1 > О). 5 39 ((х у) ~ Кг [уг > 2х + 1). 5.40. ((х, у) Е Кг [2*ь~ = уг + 4 и 2* ' < у). 5.41. ((х, у) Е Кг [ сов 2х = сов 2у).
1 1 5.42. ~(х, у) Е К~ ( — > -, х ~ О, у ф 0). х у 5.43. Описать перечислением всех элементов мнюкества А 0 В, А 0 В, А1В и В1А, если А = (х Е К[х + х — 20 = 0), В = (х Е К[хг — х+ 12 = 0). Запись т [и, где гя, я Е Е, означает, что число т есть делитель числа я. Описать следующие множества: 5.44. (х Е И [ х [ 8 и х ~ Ц. 5.45. (х Е У,[ 8[ х). 5.46. (х Е И [ х [ 12) П (х Е И [ х[ 8).
5.47. (х Е И [ 12 [х) П (х Е И [ 8[х). 5.48. Доказать, что: а) равенство А й В = В верно в том и только том случае, когда В С А; б) равенство А О В = В верно в том и только том случае, когда А С В. 5.49. Пусть А = ( — 1, 2) и В = [1, 4). Найти множества А 0 В, А П В, А1В, В1А и изобразить их на числовой оси. Приняв отрезок Т = [О, 1) за универсальное множество, найти и изобразить на числовой оси дополнения следующих множеств: 5.50. (О, Ц. 5.51. (1/4, 1/2). 5.52.
(О, 1/2). 5.53. (1/4) 1з [3/4, 1). 5.54. Доказать, что операция взятия дополнения обладает свойством рефлексивности: (А) =А, а также связана с отношением включения С и операциями 0 и 11 следующими законами двойсгавенности: если АСВ, то АЗВ; АОВ=АПВ и АйВ =АОВ. 5.55. Доказать, что операции 0 и Г) связаны законами дистрибутивности: (Ас1В) ЙС = (АПС) О(В й С), (АПВ) 0С = (Ас1С) П(В 11 С). Гл. 5.
Введение в анализ 12 Используя результаты задач 5.54 и 5.55, доказать следующие равенства: 5.56. А~В У1 (А 0 В) = А. З Так как А 0 В = А Г1 В, то левая часть доказываемого равенства принимает вид (АА'1 В) О (А и В) = (А'1В) 0 (.4 0 В) = А. о 5.57. А~В = А П В. 5.58. А~В = А 0 В. 5.59. А П (А1В) = А П В. Операции 0 и О естественным образом обобшаются на случай произвольного (конечного или бесконечного) семейства множеств.
Пусть, например, задано семейство множеств А„, я Е Я. Объедвнение множеств этого семейства обозначается символом Ц А„и определяется как мноек а~ество всех тех элементов, каждый иа которых принадлежит по меньшей мере одному из множеств А„. Пересечение П А„определяется как лен множество всех элементов, принадлежащих каждому из множеств А„, Для заданных семейств множеств А„, и Е И, найти 0 Лв и чек П А„ яеи 5.60.
Ая = ) х Е К ) — я ~ (х < и,). 1 1 11 5 61 Ая = (Зп — 2, Зи — 1). 5.62. Ая = ~1 и 5.63. Пусть А — множество всех точек плоскости, образующих стороны некоторого треугольника, вписанного в заданную окружность. Описать (словесно) обьединенис и пересечение всех таких множеств, если: а) треугольники произвольные; б) треугольники правильные; в) треугольники прямоугольные. Мноасества Х нааывается счетяььм, если может быть установлено взаимно однозначное соответствие между элементами этого множества и элементами мноя ества И всех натуральных чисел.
Пример 2. Показать, гго множество Е всех целых чисел счетно. < Установим взаимно однозначное соответствие между элементами этого множества и натуральными числами, например, упорядочив мнол~ество К следующим образам: О, 1, — 1, 2, — 2, 3, — 3, ..., а затем всякому целому числу поставив в соответствие его порядковый номер в этой последовательности. С Э 1. Действительные числа. Множества. Логическая символика 13 Доказать, что следующие множества счетны: 5.64.
(и б 1Ч ) и = 2)с, lс Е 1Ч). 5.65. 1п Е 74 ! и = Й~, Й Е 1Ц. 5.66. ) 22 Е 74 / 22 = 2", й Е Ы). 5.67. Доказать, что если множество Х счетно и А С Х вЂ” его бесконечное подмножество, то множество А также счетно. Используя этот результат, доказать, что множество (нЕЖ~н=)с — я+1, ЙЕЩ счетно. 5.68. Пусть Х1, Х2, ..., Хп, ... — счетные множества. Доказать, что их объединение Ц Х„вЂ” счетное множество. пек У К а ЭВНИЕ. ПуСтЬ Х„= (ХП1, Хпэ, ..., Х„,1, ...). ТОГда ЭЛЕМЕНть1 множества ) ) Хп можно записать в виде следующей таблицы: пек Х!,1, Х1,2, ..., Х1,1, Х2,1, Х2,2, ..., Х2,1, Гп, 11 Хп, 2 ~ ° Хп,1 Длл того чтобы доказать счетность множества 1 ) Хп, достаточно тепеРь пек занумеровать каким-либо образом все влементы этой таблицы. Используя результат задачи 5.68, доказать, что следующие множества счетны: гя 5.69.
Я = (х Е 'И ~ х = — для некоторых т, н ф О из,'Я~в и множество всех рациональных чисел, 5.70. Множество всех точек плоскости с рациональными координатами. 5.71. Множество всех многочленов с рациональными коэффициентами. 3. Верхние и нижние грани. Пусть Х вЂ” произвольное непустое множество действительных чисел. Число М = щах Х называется наиболь1иим (максимальным) элементом множества Х, если М Е Х и для всякого х е Х выполняется неравенство х ( М. Аналогично определяется понятие иаимеиьхвего 1минимвльного) элемента 1п = т1пХ множества Х. Множество Х называется ограниченным сверху, если существует действительное число а такое, что х < а для всех х е Х. Всякое число, обладающее этим свойством, называется верхней гранью множества Х. Для заданного ограниченного сверху множества Х множество всех его 14 Гл. 5.
Введение в анализ верхних граней имеет наименьший элемент, который называется точ- ной верхней гранью множества Х и обозначается символом япр Х. Оче- видно, япр Х = шах Х тогда и только тогда, когда япр Х б Х. Аналогично определяютсл понптия ограниченного снизу множества, нижней грани и точной нижней грани множества Х; последняя обо- значаетсл символом 1п1 Х. Множество Х, ограниченное сверху и снизу, называется ограни- мннььн. Пример 3. Найти точные верхнюю и нижнюю грани множества [О, 1). <~ Это множество не имеет наибольшего элемента, так как для всякого х е [О, 1) найдется у Е [О, 1) такое, что у > х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
