341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 6
Текст из файла (страница 6)
!пп; т, и б 1«(. 5.279. 1пп х- 1 х" — 1' л- о 5 822 — 1 х' — (а + 1)х + а 5.280. !пп, 5.281. !пп х-«1/2 бХ вЂ” «Х + 1 х — «о ХЗ вЂ” аа хз х' х4 бх 5.282. 1пп — . 5.283. !пп х-«оо 1,2х2 — 1 2х+1/' ' ' х-«оох2 — Зх+1' Гл. 5. Введение в анализ 30 (х + 1)з + (; - 2: ... + (х + и)в 5.284.
1пп — --, и е Р!. х -«оо х'+ из х+2 х — 4 5.285. !пп,, +, х«! «хг — 5.г+ 4 3(гг — Зх+ 2) 5.286. 1пп х — «оо 2х+ 1 Зхг (2х — 1)(Зхд + х + 2) 4хг 5.287. Доказать, что сели Р„(т) = аох" + ... + а„, Я«„(х) бох +... + Ь,„, то О при и(т, п(х 1пп = ао/Ьо при и = т, Я (х) р 3 — фх, 3 — 1, 1 1 1!п« = Пгп = Пщ — = —. с' в«9 — ~/х с~г9 гг г г3+! 6 Пример 2. Вычислить !пп (~(х~+ 7 — ~!х~ — 7). З 1пп (~/т~ + 7 — ь/хг — 7) =- с-«сю (,/хг+ 7 — «/хг 7)(«/хг+ 7+ огхг /) 1!и« х. «/г'"' + 7+ ъ'хг — 7 14 = 1пп =О.
с х-'сю ъ/хг+7 + ~/хг 7 Вычислить пределы: Зх+ 1 5.288. 1пп ' х — «оо 5х+,'/х /х+ ч/х — 1 — 1 5.290. 1пп ь-о Й «/х — 1 — 3 5.289. 1пп ' х-«го х — 10 При вычислении пределов, содсра'ащих иррациональные выраа«ения, часто используются следующие приемы: а) введение новой переменной для получения рационального вгдра««сенин; б) перевод иррациональности из знаменателя в числитель или наоборот. 3 — 9/х Пример 1.
Вычислить !пп в«9 — ~/х з Пусть ! = 4/х. Тогда г я4. Предел функции. Непрерывность 31 )~/1+ х — Ц -«О х2 Допазать следующие соопюшения: 1о8„(1 + х) 5.317". !ш1 -- —" — - —.— =. 108„е. =-«о .г 2 г' 5.292. 1ип х-«1 т/х — 1 ъг 2х 5.294. 1ип «' -««г«'+ Ю "ух + 1 — 1, 1)гх — 1 5.295. 1пп . 5.296. 1ип; т, и Е Ы. х «О Х х«1 «,ГХ вЂ” 1 тггх2 + 4 — 2, ~/2+х — ~/2 — х 5.297. 1ии . 5.298. 1ип яп х-;о ггх2 4 9 3 х--«0.«)г2-«Ь ; х х— "I2 — х, 5.299. 1ип (1ггх — а —,/х).
«.300. Б- (,, ~~ —,Я). «.«01. ««1'« -г «« — 2 1. 5.302. 1ип тз«2(~Й~ + 2 — т/гхз — 2) Используя замечательный предел (1), вычислить: яшЗт яш 7х 5.303. 1пп 5.304. 11ш —. х — «0 х * — «183х 3 агся«их 5.305. 1ип х 018 «гх. 5.306. 11ш— х — «О х — «О 4х 5.307. 11п 5.308. 1ип ф «З ' х'.По Х2 ' ' ' х".,"О .г / 1 нх х — о 5.309. 1пп 1 —, — 018 х~, 5.310.
1ип С8 — ып — — —. -«о ««яшх,/ о 2гг 2 ъ'2 — 2 соя х, г «г 5.311. 1пп . 5.312. 1ип ( — — х) 48 т. * — «х,«4 т — 4х х -«х,«2 2 зги ГГ" 5.313. 1ип —; и. ги Е У,. о-«-'-О я«П™ СГ' яш 2гг — 18 2гг 5.314. 1ип н-«О „з (1 — соя )2 1+ соя 5х 5.315. 1ип — — —,. 5.316. 11ш и-«о 18 гг — яш а х-«г 1 — соя 4х 2 ' 2 Гл. 5. Введение в анализ ах — 1 „, (1+ х)" — 1 5.318*. 1нт1 — = 1па. 5.319*. 1пп = а. Х вЂ” О Х Х вЂ” 1О Х 11ри вычислении пределов вида 1нп и(х)"1*1, где 1нп и(х) х-охо х .о 1ш1 о(х) = со, попользуется замечательный предел (2). о охо Так как 2тх — 21-2 11п1 1+ — ) = 1ип (1+1) ~ = е 2+х) 1 г ~о 2-~-х — 2 1пп 3х = — 6, х — 1 2+х то (здесь использована непрерывность композиции непрерывных функ ций).
с> Используя замечательный предел (2), а также результаты задач 5.311 — 5.319, вычислить пределы: 5.320. 1пп 5,322. 1пп (созх)11* . х-ое 5.323. 5.326. 1пп х(а11х — 1) . 1о8а х — 1 5.328. 1пп 5.321 5.329 5.330. 1пп (сов х)11о1" х Х вЂ” 10 5.331 яах 1 В1П Х Ч~ х — х1 и х 5.332. 1пп(созх+в!пх)~Ух 5333 Х вЂ” 10 х-о1, х Зх 11 ример 3. Вычислить 1пп з Имеем — 1+ = 1+ 5.324. 1пп х(1п (2 + х) — 1п х). 5.325. 1пп (1 + 182 т/х) зух х-+о 1 1+х !пп — 1п 1 ох р1 — х а — а х 1пп хо 1 х — 1 еах ебх !пп х-10 Х !цсоях 1пп * — 1О тг Э 4.
Предел функции. Непрерывность 33 5.334. Доказзттч что 1пп /(х) = а в том и только том случае, хоха когда для любой последоввтельности зргументов (хн)„ек, сходящейся к хо, соответствующая последовательность (3'(х„)) знзчсний функпии сходится к о. Используя результат задачи 5.334, доказать, что для следующих функций нс существует Пщ /(х): х ~хо 5.335. /(х) = соэ т, хо =- оо. 5.336. /(х) = з!и 1/х, хо = О. 5.337.
Х(х) = х — [х], хо = оо. Нвйти односторонние пределы: х — 3 5.338. 1пп з~о !х — 3! 5.339. 5.346. Доказать, что предел функции у = /(х) во внутренней точке то области ее определения существует тогда и только тогда, когда в этой точке существуют левый и правый пределы и они совпадакгг. 2. Бесвонечно малые и бесконечно большие. Функция а(х) называется бесконечно малой при х -о хв, если 1пп а(х) = О. х -ох о Бесконечно малые а(х) и Д(х) называются сравнимыми, еслисущест- !3(х) , а(х) вует хотя бы один из пределов 1пп или !пп *- ха а(х) х-ахо !3(х) ' Пусть а(х) и Д(х) — сравнимые бесконечно малые при х — > хв и а(х) пусть, для определенности, существует 1пп — = С.
Тогда: х-аха )3(х) в) Если С ф О, то а(х) и !3(х) называют бесконечно малыми одного порядки. В частности, при С = 1 бесконечно малые а(х) и 3(х) называют эквивалентными и пишут а 13. б) Если С = О, то а(х) называют бесконечно малой более высокого яврядква чем /3(х), н пишут а = в(33). Если при этом существует лейа(х) ствительное число г ) О такое, что !пп ф О, то а(х) называют х-ахо (13(х)") бесконечно малой порядки г относительно 33(х). 5.340.
1щ1 (2+ х)'У . 5.341. х-а~э 5.342. 1пп агс18' х. 5.343. о — >+во ( 16(4х — к)~ 5.344, 1пп — . 5.345. х-и уж~ 2х — к/2 2+х 1!п! х-о2:ьо 4 — х2 1 1пп 72-х. х-оэ~е 1пп (1/х). , 2 1пп х-а2х.ее СОВ Х вЂ” 1 34 Гл. 5. Введение в анализ Функция а(х) называется бесконечно большой при х -+ хо, если !пп а(х) = оо. Подобно тому как это сделано выше для бесконечно Х->ХО малых, вводится понятие сравнимых бесконечно больших н нх классификация. а(х) 5.347. Доказать, что если !пп — = С ~ О, то найдется х — ~хо )3(х) такое число 6 ) 0 и константы С1 и Со, что ~х — хо! ( е =ь С1)3(х) ( а(х) < Сз/3(х). 5.348. Доказать, что а ,9 в том и только том случае, когда а — !3 = о(а) или а — !3 = о(,3).
Определить порядок малости а(х) относительно )3(х) = х при х -+ 0: 3 /*з 5.349. а(х) = —. 5.350. а(х) = Л~ — ъ'х~. 1 — х 1 — сов х 5.351. а(х) = 5.352. а(х) = 18х — ащх. х 5.353. а(х) = з!п(х/х+ 2 — ч2). 5.354. а(х) = Зв!пах — хо. 5.355. а(х) = ~/Г+ ~/х — 1. 5.356. а(х) = ~/Г+ 2х — 1 — ~/х. 5.357.
а(х) = Зо'* — 1. 5.358. а(х) = 2' — сов х. 5.359. Доказать, что а(х) — !3(х) имеет 2-й порядок малости относительно х при х — + О, если: а) а(х) = 1/(1 + х), 33(х) = 1 — х; 1 б) а(х) = ь/от + х, 13(х) = а+ — х (о ~ 0); 2а в) а(х) = (1+ х)", 13(х) = 1+ пх (и Е 74). Приближенно вычислить следующие выражения: 5.360. 1/1,03. 5.361. х/25,3. 5.362. (1,03)ь 5.363. (0,97)4.
5.364. Доказать, что если а(х) а1(х) и !3(х) 331(х) при х -+ хо, то а(х) . а!(х) 1пп — = 11п1 —. х-~хо 13(х) х — ~во Д(х) 3 4. Предел функции. Непрерывность Используя результат задачи 5.364, вычислить пределы: агсяп (х/ Д вЂ” хт) 5.365. 1пп ' х-~о !п (1 — х) х х З Так как агссбп и!о(1 — х) ( — х) прп х т О, то ,/1 хт,/Г хг агссйп (х/~/1 — хт) х/Д вЂ” хз 1пп = 1!п1 = — 1, с х-~о !и (1 — х) х-~о — х 1 — х соз х — соя 2х 5.366.
1пп 5.367. 11ш х-~г 1бх х — ~о 1 — соз х 4х~ — 1 агс18 хз 5.368. 1пп, . 5.369. 1пп х-~гут агсебп (1 — 2х) х — ~о а|та!и'3х к!и (т/2) 1 — соз 4х 5.370. !пп * — ~о 2в)и~ х+ х187х 2т/2 — (соз х + з)их)з 5.371. 1пп х-и /4 1 — б1п 2х Определить порядок роста бесконечно большой А(х) относительно В(х) =;г при х — ь со: 5.372. А(х) = хз + 150х+ 10 хзтз. м ) = зтн+у.~ ~.~. 5.374.
А(х) = ъ/х +,/х. 5.375. А(х) = т/З вЂ” х +,р'х. б хб/З 5.376. А(х) = 4 з . 5.377. А(х) = т з Зха + хз + 2 хт/з + 1' 3. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва. Функция у = /(х) с областью определении Р называется непрерывной в точке хо, если выполнены следующие три условии; а) функцип у = /(х) определена в точке ха, т.е. хв е Р; б) существует 1пп /(х); х-~хо в) 1пп /(х) = /(хв). Если условие а) выполнено, то условия б) и в) зквивалентны следующему: 1!щ Ь/(ха, г1х) = О, ах->о где Ь/(хо, Ьх) = /(хо + Ьх) — /(ха) — иРиРаи4ение фУнкиии У = /(х) в точке хо, соответствУющсе пРиРа1цению аргумента Ьх = х — хо.
Гл. б. Введение в анализ 5.378. Используя логическую символику, записать на языке ог-оо следующие утверждения: а) функция у = у'(х) с областью определения Р непрерывна в точке хо Е Р; б) функция у = у(х) не является непрерывной в точке хо Е Р. Доказать, что следующие функции непрерывны в каждой точке их естественной области определения: 5.3Т9. у (х) = х", и Е (э*. О Используя формулу бинома Ньютона, получаем Ьэ'(хо, Ьх) = (хв+Ьх)" — хо — — С~~хо 'Ьх+С~х" ~(охх) +...+(агх)". Отсюда 11ш ох|(хв, Ьх) = О, > оо-оо 5.380. у (х) = и, а Е К. 5.381. У" (х) = 1о8а х; а > О, и Уй 1. 5.382.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
