341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 4
Текст из файла (страница 4)
5.98. Написать выражение для объема $' конуса как функции его боковой поверхности Я при данной образующей 1 = 2. 5.97. Написать выражение для площади Е равнобочной трапеции с основаниями а =- 2 и 6 = 1 как функции угла сг при основании а. 5.98. С момента покоя 1о тело движется с постоянным ускорением а.. Найти зависимость скорости и пройденного пути от времени движения. Как связаны между гоб )й пройденный путь и скорость в момент времени 12 5.99. В равнобедренной трапеции АВСР (рис.
1) с основаниями а и 6 и высотой И, проведена прял М мая МЛ, перпендикулярная осно- ваниям и отстоящая от вершины А Рис. 1 на расстояние ~АМ~ = х. Выразить площадь Ь' фигуры АВЮМ как функцию переменной х. 5.100. В шар радиуса Н вписан цилиндр. Написать функциональную зависимость объема 1" цилиндра от его высоты Н.
Найти область определения агой функции. з 2. Функции действительной переменной 19 5.101. В шар радиуса Л вписан прямой круговой конус. Написать функциональную зависимость площади боковой поверхности Я конуса: а) от его образующей 1; б) от угла сг при вершине конуса в его осевом сечении; в) от угла ~3 при основании конуса. Найти области определения каждой яз получениях функций. 5.102. Найти у( — 1), у( — 0,001), ('(100), если ~'(х) = 18хз. 5.103. Найти у( — 2), у( — 1), у(О), Д1), у(2), если )1+х, — оо<х<О, 1 2*, О < х < +оо.
5.104. Найти Д1), у (а), 1(а+ 1), у(а — 1), 2у(2а), если Дх) = 3 1 /11 1 5.105. Найти ДО), у( — х), Дх+1), Дх)+1, у [ — ), —, если [~х) Дх) 1(х) =, Найти естественную область определения ьЗ и множество значений Е каждой из следующих функций: 5.106. у = 1п(х+ 3). 5.107.
у = ьУб — 2х. 1 — 2х 5.108. у = ьУв1п ~х. 5.109. у = атосов 4 5.110. у = 1п(1 — 2 сов х). 5.111. у = „/1 — [х[. 1 х2 5.112. у = 18(бх — хз — 6). 5.113. у = агсяп~/ 2 5.115. у = е* Найти множество С, на которое данная функция отображает множество г': 5.116. у = х~, Р = [ — 1, 2!. 5.117.
у = [х[, г' = (х ! 1 < [х[ < 2). 5.118. у =, Г = (О, 1). 2х — 1' 5.119. у = ~!х — хз, Р = (О, 1). 5.120. у = 1обз х г' = (3 27) 5.121. у = яп —, г' = [О, 1/2). 2 ' Гл. 5. Введение в анализ 20 Найти множество нулей лУо = (х! )'(х) = 0), область положительности П ь —— (х ! у (х) > О) и область отрицательности еу = (х / у(х) ( О) для каждой из заданных функций: 5.122. ~(х) = 1 + х. 5.123. у"(х) = 2 + х — х~. 5.124.
у (х) = я1п †. 5.125. у(х) = 1 — его* Показать, что функция у = у(х) удовлетворяет соответствующему функциональному уравнению: 5.126. )'(х + 2) — 2у(х + 1) + у(х) = О, у(х) = )сх + 5. 5.127. )'(х) + у(х+ 1) = )'(х(х+ 1)), )'(х) = 1о8 х. 5.128. Дх1)~(хз) = у(х1 + хз), )'(х) = а*. 5.129. ~(х~) + )'(хя) = ~ х, Дх) = 18 —. 1,1+ хгхв/ ' 1 — х В задачах 5.130-5.133 определить функцию у = у(х), удовлетворяющую заданному условию.
5.130. ~(х+ 1) = х~ — Зх+ 2. а Пусть х + 1 = к Тогда х = ~ — 1 н хэ — Зх + 2 = гэ — 5~ + 6. Поэтому Г"(~) = Г(х+ 1) = х — Зх+2 = г~ — 51+6. С 5.131. у" х+ — ) = ха+ —, х ~ О. х) х2' (11 5.132. )' 1 — ) = х + т/1 + хэ, х ) О. 5.133.
~(хг + хз) = еЗпхг сояхз + соях1я1пхя, Функция г(х) называется четной (нечетной), если ее область определения симметрична относительно точки х = О н г( — х) = г(х) (г"( — х) = — у(х)). Какие из указанных в задачах 5.134-5.139 функций четные, какие нечетные, а какие не являются ни четными, ни нечетными? 5.134. ~(х) = хз + Зхэ. 5.135.
)'(х) = хэ + х. х ел+1 5.136. )'(х) = . 5.137. Дх) =— 1+х 5.138. у(х) = юпх — соя х. 5.139. ~(х) = 18 1 — т. 5.140. Доказать, что произведение двух четных или двух не- четных функций есть функция четная., а произведение четной и нечетной — нечетная функция.
з 2. Функции действитгльной переменной 21 Функция /(х) называется периодической, если существует положительное число Т (период функции) такое, что Ч х е Р (/(х+ Т) = /(х)) . Выяснить, какие из заданных функций являются периодическими, и определить их наименьший период Т: 5.141. /(х) = 5 соз 7т.. 5.142. /(х) = соаг 2х. 5.143. /(х) = хаю х. 5.144. /(х) = сов х+ аггг(т/Зх). 5.145. /(х) = згпхг. 5.146. /(х) = $8 — — 218— 2 3 Установить, какие из указанных ниже функций имеют обратные, найти соответствуюгцие обратные функции и их области определения: 5.147. у = ах + (г.
5.148. у = (х — 1)з. 5.149. у = соа 2х. 1 — т 5.150. у = 1п 2х. 5.151. у = 2з/г. 5.152. у = 1+х 5 153 у =- хг + 1 0 Для функции у = хг + 1 естественная область определения есть вся числовая прямая Р = ( — со, +со), а множество значений — луч Е = = [1, +ос). Так как для любого о б Е уравнение х' + 1 = а имеет два различных решения хг(а) =;/а — 1 и хг(а) = — ~/а — 1, то данная функция нс имеет обратной. Однако каждая из функций у1=х +1, Рг — — [О +со), и уб=хг+1, Р=( — со О], имеет обратную, равную соответственно хг(у) = т/д — 1 и хе(у) = —,/у — 1. с Найти обратную функцию и область ее определения, если исходная функция задана на указанном промежутке: 5.154.
у = хг — 1; а) х Е ( — оо; — 1/2); б) х Е [1/2, +ос). 5.155. у = аггг х: а) т, с [ — гг/2, к/2]; б) х Е [я/2, Згг/2]. ]х.. хЕ( — со,О]. 5.156. у = (2х, х Е (О, +со). 5.157. у = совг х: а) х Е [О; гг/2]; б) т Е [гг/2; гг]; в) х с [л; Згг/2]. Найти композиции / о д и д о / следугоших функций: 5.158. /(х) = хг, д(х) =- т/хх а Имеем: (/од)(х) = /(д(х)) = /(т/х) = Цх) = х и (д о /)(х) = д(/(х)) = д(х ) = ъ/хг = [х]. С Гл. 5. Введение в анализ 22 5.159.
У(х) = 1 — х, д(х) = хз. 5.160. у'(х) = е', д(х) = 1пх. 5.161. у" (х) = з)пх, х Е [ — я, я], д(х) = агсяпх. ( О, х Е ( — со, О], ( О, х Е ( — оо) 0], ( х, х Е (О, +по), ] — х, .'с Е (О, +00). 5.163. Найти у о у о у, если: а) у'(х) =; б) Дх) = 2. Элементарные функции н их графики. Следующие функции называются основными элементарными. 1. Степенная функция: у = х, а Е П. 2.
Показательнал функция: у = а*, а > О, а ф 1. 3. Лозарифмическол функция: у = 1об, х, а > О, а е 1. 4, Тризонометричеение функции: у =- вшх, у — сов х, у = Гдх, у = сгбх. 5. Обратные тригонометрические функции: у = агса1пх, у = агссоах, у = агссдх, у = агссчбх.
Элементарной называется всякая функция, которая может быть получена из конечного числа основных элементарных функций с помощью арифметических операций и операции композиции. Графиком функции у = у(х) нааывается множество Г = ((х, у) б К ]х б Р, у = )(х)), где К~ — множество всех точек плоскости. На плоскости с фиксированной декартовой прямоугольной системой координат Оху график функции представляется множеством точек М(х, у), координаты которых удовлетворяют соотношению у = у'(х) (графическое изображение функции). При построении графиков часто используются следующие простые геометрические рассуждения. Если à — график функции у = г'(х), то: 1) график функции уг = — у(х) есть зеркальное отображение Г относительно оси Ох; 2) график функции уз = г"( — х) — зеркальное отображение Г относительно оси Оу; 3) график функции уз = у(х — а) — смещение Г вдоль оси Ох на величину а; 4) график функции ул — — Ь+ Дх) — смешение Г вдоль оси Оу на величину 6; 5) график функции уа —— у(ах), а > О, а ф.
1, — сжатие в а раз (при а > 1) или растяжение в 1Га раз (при а ( 1) Г вдоль оси Ох; б) гРафик фУнкции Уе = ЬУ'(х), Ь > О, Ь ф 1, — РастЯжение в Ь Раз (при 6 > 1) или сжатие в 1/Ь раз (при 6 ( 1) Г вдоль оси Оу. В некоторых случаях при построении графика функции целесообразно разбить ее область определения на несколько непересекающихся промежутков и последовательно строить график на каждом из них. Э 2.
Функции действительной пере2юнной 23 П р и и е р 2. Построить график функции р = ) х( + )хэ — Ц. О Раскрывал модули, можем записать: х — х — 1, 2 х е ( — со, — 1], х с ( — 1, О), х 6 (О, 1), х 6 (1, +ос). — х — х+1, 2 -т, +с+1, х +х — 1, , 2 График заланной функции есть объеди- нение графиков (парабол), представлл- ющих эту функпию на каждом из че- тырех промежутков (рнс. 2). с Ркс. 2 Для каждой из следующих функций найти ее график: 5.170. у = Лпэ)их. З Естсственнал область определенно заданной функции есть множество П = (х( япх = 1) = ) — + 2л1( й Е К) .
г 2 Поэтому Г= (( — +2л)2,0)~ЙЕК). 5191. у =* у уд — ) «*). 5122. у = уу-)Р— 1) 1-2. х 5.196. у = ' — 1,'- —. 2 5.174. у = 1+ ~/яппи+ ~/ — а)пх. Построить графики следующих элементарных функций: 5.175. у = йх + 5, если: а) й = 2, 6) = О; б) Й = О, 5 = — 2; в) й = — 1, () = — 1/3. 5.176.
р = уо + о(х — хо), если: а) а=1, хо=О По=-1; б) а=2, хо=1 до=О' в) а, = — 1/2, хо = — 2 По 5 3/2 Следующие элементарные функции записать в виде композиции основных элел2ентарных функций: 5.164. /(х) = ~х1 5.165. /(х) = яп(соа г/х). 5.166. /(х) = 2""* . 5.167. /(х) = агсяп(еугх). 5.168. 2),) = 1 )2' ). 5.169. 2)*) = 1) ф6~'2 6 *. Гл. 5. Введсние в анализ й 5.177. у =- уо +, соли: х — хо а) Ь =' 1; оо = !: уо = — 1; б) !с = — 2, хо = — 1; уо =- — 1/2. 5.178. у =- ив!п(Л:х+ сг), если: а)а=1, 0=2, сг=л/3; б)а=- — 2, (с=1/2, а= — сг/3.
5.179. у = а Ьд ((сх + ск), если: а)а=З, !с=1/3, о=и/4; б)а= — 1/2, Й=2, о=Зсг/2. 5.180. у = рагсв!п(х + д), если; а)р=4, !1= — 1; б)р= — 2/3, у=1/2. 5.181. у = рагс!8 (.с+ д), если; а) р= — 3, 9=5/2; б) р=2/5 д= — 6. 5.182. у = аь™, осли: а)о=2, Ь=- — 1, Ь=1; б)н=1/2, /с=2, Ь= — 2. 5.183. У =- !о8в (/сх. + Ь), если: а)и,=10, /с=-10, Ь= — 1; б)о=1/10, й=1/2, Ь=2. 5 184 у = ~2 — х~ + ~2+ х~ 5 185 у = хг + х 5.186. у = хг — 6!:с:/+ 9. 5.187. у = !бх~+ х/ — 1. !х — 1/ 5388.8=О -';2 ) . 5489.8= — 1 — /С,— 1) х — 1 2.г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
