341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 59
Текст из файла (страница 59)
6.560. у = 2, х = а (касательх — 1 у — 3 г — 4 ная); у + г = 0 (нормальная плоскость). 6.561. 12 — 4 3 х — 1 (касательная); 12х — 4у+32 = 12 (нормальная плоскость). 6.562. у-ь1 г — 2 (касательная); 8х + 10у + 72 = 12 (нормальная 10 7 2 плоскость). 6.563. К( -о = 2, К) -1 — — —. 6.564. К„= 3, К„= 55/5 = 1/9. 6.565. 3/з/2. 6.566. 1/2. 6.567. †.
6.568. К = 3 25/2 4а згп (зг/2) ' 3 3 (9х412 + 1)зуг (54хг + а492)272 К)„= —. 6.569. —. 6.570. а),,; б) 4а а (Ьзхг + азуг)зУ2 (аз сйп Е+ Ьг соэ21)згг 6.571. а) ',/(аху/; б) а4 Ь4 аЬ аг (а'+гг)зГ2 Г!п2 1 4 6.572. 4а э!и — . 6.573. а) —; б), . 6.574. ( —, — ). Ука- 2 Зг' 2аг+гг ~, 2 ' т/2) з а н и е. Составить выражение кривизны К и найти ее точку экстремума. / 1 !п24 / 14 6.575. ( —, — — ). 6.576. ~0, — ); хг+~у — -) = —. 6.577. 10, -); хг+ у — — = —.
6.578. — 1, е — —; (х+ 1)2+ у — е+ — = ег. 6.579. ( —, 0); (х — — ) + уг = 1. 6.580. (ха, — 2а); (х — ха)2 + 9 5 15 4 -4-(у+ 2а)2 =' 1баг 6.581. а) Х =, У =; б) Л~г~— 2 ' бх — 1'туз = (2а)г~з в) (Х + У)г~з + (Х вЂ” У)~~~ = 2агуз 6.582. У = Х -г 4 з 1 .. 1 =- а 4!з —. 6 583 Л г = — г'з 6 584. т = — (! — З + 14), и = — (1+1), а ' 27 з/3 з/2 1 /3 = — ( — 4+1+ 214); х — 1 = — (у — 1) = г (касательная); х = у, г/б .: = 0 (главная нормаль); = — = — (бинормаль). 6.585. т = 1, — 1 1 2 1 .
1 и = — — Д+14), Д = — Ц вЂ” !4); у = 2, 2 = 4 (касательная); у — 2+2 = О, г/2 т/2 х = к (главная нормаль), у+2 = б, х = л (бинормаль), 6.586. г = 1 1 1 .. х — 2 = — (21+ 1+ 214), и = — ( — 1 — 21+ 2!4),;3 = -(2! — 21 — !4); 3 3 3 2 у 2 — 1 х — 2 у 2 — 1 1 2 (касательная); = — = — (главная нормаль); — 1 — 2 2 Ответы и указания 385 х — 2 у г — 1 1 (бинормаль). 6.587. т = (1+3+ 4)с), и = 2 — 2 — 1 тссГ8 1 1 з — 2 — -(21+ 23 — 14), Д = — (1 —,1); х — 1 = у — 1 = — (касатель- 3 2 4 х — 1 у — 1 г — 2 х — 1 у — 1 а — 2 ная); = = — (главная нормаль); 2 2 — 1 1 — 1 О (бинормаль).
6.588. х+2у = 3 (соприкасающаяся плоскость); г = 1 (нормальная плоскость); 2х — у = 1 (спрямляющая плоскость). 6.589. у = х (соприкасающаяся плоскость); х+ у = х/~/2 (нормальная плоскость); х = О (спрямляющая плоскость). 6.590. т = 4, и = 1с, )3 = — 1, у = О, х = 1 (касательная); х = 1, у = О (главная нормаль); х = 1, х = 1 (бинормаль); у = О (соприкасающаяся плоскость); х = 1 (нормальная 1 плоскость); х = 1 (спрямляющая плоскость).
6.591. т = — (21 — 3), ьсб 1 . . 1 . . х — 1 у — 2 х — 3 и = — — (1+ 23+ 514), 4т = — (1+ 21 — 14); ь(30 ' ьс6 ' 2 — 1 О х — 1 у — 2 х — 3 х — 1 (касательная); 1 2 5 — — (главная нормаль); 1 у — 2 г — 3 = — = — — (бинормаль); х+ 2У вЂ” х — 2 = О (соприкасающаяся плос- 2 — 1 вость); 2х — у = О (нормальная плоскость); х + 2У + 5х — 20 = О (спрямтГ2 ьГ2 лающая плоскость).
6.592. К = сс =— ; при с = О (х+ у) (х+ у) ~/2 тсс2 914 + 91т + 1 3 1 при1=0 К=2, сс=З. 6.594.К=сг= З(ст + 1)т ' прис = 1 1 21 21 К = а = —. 6.595. К = 12 (20+ 1)т' (21т + 1)т' о приг= 1 2 2 тсс2 1 9У4+4ув+1 К = -, сг = — —. 6.596. К = —, ст = -. 6.597. К = 9' 9 3 ' 3 (уз+у" +1)3' С=— бу 4/Г4 3 ; при у = 1 К = —, ст = — —. 6.598. и = 23+4414, 9У4 + 4У + 1 ' 3 3' 7 оа и, = 44, ю, = 2; нс,~с4м — — 4. Указание. ю, = —, ю, = —. 414' ' Л 6.599.
Парабола у = х; л'(ц) = 21+ 4. 6.600. Прямая х — у = 2; ,л г'(4) = е44. 6.601. Верхняя полуокружность у = ~сс4 — хт; х'(1) = 2сеп. 6.602. Эллипс х = 4созг, у = 2еЗпг; л'(с) = 4(Зеи — е н), 6.603. Правая Ответы и указания 386 г уг ветвь гиперболы — — — = 1; з'(С) = (2+ г)е' — (2 — 1)е '. 6.604. Два- 16 4 жды пробегаеман гправап» ветвь параболы у = хг; г'(С) = 2С+ 4СС~.
6.605. Арка циклоиды х = С вЂ” япС, у = 1 — сояС; г'(С) = 1 — е 6.606. Эвольвента окруазности х = а(сов С + СвшС), у = а(яп С вЂ” С соя С); ,г з'(С) = аСе". 6.607. г', г~р', г" — туг', 2г' р' + ир". У к а з а н и е. Представить закон движенип в показательной форме г = ге'е и найти производные з' и г". Искомые величины суть коэффициенты при ес"' и Сесе.
6.608. Скорость и = Сгу'(з). Указание. Воспользоватьсл показательной формой комплексного числа: з = 11е'т и найти произССю гСгв Йг водную — = — —. 6.609. Указание. а) Испольаул результат прий 4г гСС мера 9, показать, что Р"(ем) = Лье"' ллк любого Ь Е И. б) Предварительно доказать, что Рь(е~'г(С)) = ем(Р + Л)сх(С). Действительно, несложной проверкой убеждземсл, что Р(е"'г(С)) = е"'(Р + Л)г(С), и далее, используя этот результат, что Рь(е"'г(С)) = Р(Рь '(емг(С))) = = Р(е"'(Р+ Л)" зг(С)) = е"'(Р+ Л)" г(С). 6.611. — 9еявш3С.
6.612. О. Указание. е'Сгв!пС = 1ше<'сг+0'. 6.613. е'(соя2С вЂ” 8яп2С). 6.614. С(18 — С ) соя С+(б — 9С вЂ” Сз) я1п С. 6.615. е'(в1п 2С+4С(1+Сг) соя 2С) х х(1+ Сг) ~с~. 6.616. е'(совС вЂ” 2СяпС). Глава 7 в 5 *з 5 7.1. — + С. 7.2. Зхззух+ С.
7.3. 31п)х( — — + С. Т.4. — + -хг— 4 х 3 2 2 2 — 1и ~х(+С. 7.5.х+бт/х+31пх — — +С. Т.б.япх+С. 7.7. — чСа+ Ьх+ з/х Ь + С. 7.8. — -е в + С. 7.9. — — 5 *С + С. 7.10. — 184х+ С. 1 г-з 3 , -* з 3 1п5 4 хз хг 1 1 7.11. — + — +х+21сг~х — 1~+С. 7.12.
— яп8х+С. 7.13.х — -сов2х+С. 3 2 8 2 з 1 1 7.14. — яп2х+ С. 7.15. хз + хг + 1п(х(+ С. 7.16. — — — — + С. 2 хг хз 7.17. -хт/тх+С. 7.18. хС" '~Си+С. 7.19.3зУх — -х,4Сх — 4фх+С. 3 и — 1 5 2 х/х хз 2*ее 7.20. 2,/лхх+2х+ - — +С. 7.21. — +21п(х(+ С. 7.22. + С. 3 т/а 3 1п 2 + 1 Ответы и указания 387 Т.23. 2'+х +С.
Т.24. х +Зяпх+С. Т.25. — 2ссдх — !и 18 — (+С. з з х 1п 2 2 1 726. 3г8х+ 2 с!8х+ С. Т 27. — сгбх — В8х+ С. 7 28. -(х — япх) + С. 2 7.29. а) — х+18х+С; б) х — ГЬх+С. Указание. Использовать тождества: а) Гбз х = вес' х — 1; б) 1 — Г!г х = всЬ х. 7.30. 18 х+С.
7.31. — х + 2 1 х 1 з/5+х + С. 7.32. х + сов х + С. Т.ЗЗ. — агсгх — + С. 7.34. — !и + 2 2 2~/5 ъ/5 — х + С. 7.35. агсв!и — + С. 7.36. !п(х+ з/Р+ 3) — !п!х+ з/х~ — 3)+ С. з/3 .3 хз Т.ЗТ. !п(х(+ 2агс18х+ С. 7.38. — + (а+ 6) — + оЬх+ С. Т.39. ах + 3 2 + -азттзхЧз+ -и тзхв4з+ — +С. Т 40. х+31п)гбх+ вест( — 218х+С. Т.41. а) — 18 — х+ С; б) — ~ГЬ + С. Т.42. !п(х+ з/хз — 7)+ С. 1 х — 2г/2 2 з 3 ТАЗ. х — — !и + С. 7.44. — фЗ+ х)з + С. Т.45. — — х 4з/2 х + 2~/2 3 16 сЬз х 1 1 х(З вЂ” 4япх)зТз+С. 7.46. — +С. 7.47. — з +С.
7.48. — — +С. 2 318зх 1пх 1 1 г/2 7.49. — !п!и+Ьх! + С. Т.50. — — 1п!а — Ьгбх! + С. Т.51. — — х 6 Ь 3 х Зз х1п 2 — Зв!п — + С. 7.52. !п!в!пх! + С. 7.53. + С. з/2 41пз 1 7.54. — в!п(ах+6) + С. 7.55. — сов(!пх) + С.
7.56. — 2сов~/х+ С. а гх ггг ~ 1 3 з т.тт. т тд (- т - ! ~ т С. т.тт. — стб З т С. т.тт. - Гтт .* — ц* т С. 2 8 ~ 3 4 1 1 ~1+2х 1 7.60. — —.5 * +С. Т.61. — 1п1 +С. 7.62. — -агсгб(е ")+ 2!п5 4 11 — 2х о 1, хз/3 1 +С. Т.63. — агсяп — + С.
7.64. — !п!Зх+ г/9хз — Ц + С. з/3 з/5 3 4 1 т65. — т ( -:- ' *ттт-:-с. ттт. — .ти(* )т с. ттт.— 4 2 1 1 к!и(хз+,й +1)+С. 7.68. — !и(оз+Ьз (+С. 7.69. +С. Ьз 2о совз ах сЬ х 1 7.70. — + С. 7.71. + С. Т.Т2. — 1п!совх! + С. 3 7 — е* 1 агт* 1 7.73. — !п(вЬ4х! + С.
7Л4. — — + С. ТЛ5. — ГЬ(хз+ 1) + С. 4 1па ' 2 1 ~ т/а — Ьх — т/а+ 6~ 1 2х 7.76. 1п ~ ~ + С. Т.77. агссб — + С, 2т/и — Ьз ~~/и — Ьх + г/и+ Ь~ 2~/7 г/7 388 Ответы и указания 7.78. — !п(4х + 7) + С. 7.79. — 1п(х + ~/хе+ 1) + С. 7.80.
— х 1 2 2 1 8 3 1па 3 х !п(а*+ г/а ' — 1) + С. 7.81. !п(х+2(+ + С. Указание. х+2 х — 1 (х+2) — 3 1 . 3 х 7 х — 2 1 ах2 — Ь Т.83. х — !и ~х2 — 4) + — )и + С. 7.84. — )п + С. 4 х+2 4аЬ ах2+Ь 1 3+2х ) 2 1 7.85. — 1п 1+ С. 7.86. — !и!ха+ 5х — 8~ + С. 7.87. — х 48 3 — 2х41 ' ' ' 5 ' ' 25 4)6*'-3)6 '- С. 288 3! )4 '224 !) — — ! ) '4 !) Т С. 2 1 1 а Ьх 1 7.89. — -~/1 — 4х2 + — агсяп(2х) + С.
7.90. — агсф8 — + — х 4 2 Ь а Ь )4 '- '2243 ) -С. Т9!.—, .ТС. Т92.— ф)4-'; *) '-С. 5 3 8 36/а* !и а 4 7.93. !и (е' + ъ/еге + 4) + С. 7.94. х — — !п (2* + 1) + С. Указание. )п2 1 (1 + 2*) — 2* 2* — 1 7.95. Еетенпе Д Х2+аГСяПХ -!- 2* + 1 2" + 1 2* + 1 .,'.С. 296. ' '.',С.
Т99.—,/(3 — Е .) ТС. 298.— ! — 4! *.ТС. 2 1 3, ' 2 1 х яп2х 7.99. — агсе!п(2!пх)+С. 7.100. — — +С. Указание. яп х = 2 2 4 1 — сов 2х х яп2х 1+ сов 2х 7.101. — + + С. Указание. соезх = 2 2 4 2 7.102. ~/21п 18 — + С. 7.103. х+ — яп ах+ С. х 1, 2 2з/2 а 1 /хз л2 Т.104. — 1п 28 ( — + — ) +С. Т.105. — х+ — )п)28 ~х+ — ))+ — яп2х+ 3 (~2 4) 2 2 ~ ~ 4 ~ 2 яп 4х -';С. Т366.2 3 — *ТС. Т362.— ! ) -'; ! *43) '- 8 1 2 1 + С. 7.108.!)2)28х)+С. Указание., =, . 7.109.— — х япхсоах яп2х /3 1 1 х!п(соег/Зх( + С. 7.110. — )пс!)ах+ С.
Т.111. — 18(ах+ 5) — х + а а 2 бесе 1 + С. 7.112. — -с68(хз — 3) — — + С. 7.113. е"'* + С. 7.114. — х /Г: хз — 1 х!и +С. 7.115. — )п +С. з/1 — ха+ 1 2 2+ 3/4 — х2 Т.116. 2 1п (г/х + 1) + С. 7.117. е* — 1п (е* + 1) + С. Ответы и указания 389 1 (г(5т — 1)2' (5т — 1)ге') 25 Т, 21 20 1Л19.
— 1 'Т вЂ” *: — сТ!- 1 — сТТ вЂ” ) ';с. 4, 2 3 5 /(т+ цз 7.120. 2 — + 2~/х + 1 — 2 )и (~/х + 1 + 1) + С. 3 2 С /'! /2+'*-"+С 2(3 — т)е 5(3 — т)з 3 т/3 + ех + т/3 7.123.!и +С. 7.124.тагссозт — т/1 — т +С. 7.125.тяпт+ 1+ т/тг+1 тг тг 3 ° 9 з + солт+ С. ТЛ26. — !пт — — + С. Т.127. — т/тт21пт — — ъ/тг + С. 2 4 2 4 /тг т2 , 3 2 Т.128. ( — — — +т) )пт — — + — — т+ С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
