341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (987777), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Если существует и б М, для которого и ° 1 = О, то наименьшее из таких и называется характерисгиикоб поля Г и обозначается сЬагГ. Если и 1 ~ О при всех и, то по определению считается сЬагГ = О. Например, сЬагУр — — р, сЬагК = О, сЬагС = О. Подполом Р поля Г называется подкольцо в Р, само являющееся полем. Наименьшее подполе данного поля называется его иросгиым иодиолем. Пример 8. С) ществует ли какое-либо поле характеристики 2, отличное от поля Еэ. з Пусть Р— искомое поле. Так как по условию сЬаг Р = 2, то и+ и = О для любого и Е Р и, в частности, 1+ 1 = О. Выберем некоторый элемент а б Г, а ф О, а ~ 1 и рассмотрим элементы О, 1, а, а + 1 поля Г.
Сложение этих элементов друг с другом не выводйт за пределы множества (О, 1, а, а + Ц (проверьте!). Введем умножение. Для этого достаточно 204 Гл.4. Элементы общей алгеб ьг определить произведение а а. Если а = О, а = 1 или а = а, то получаем противоречие с аксиомами поля (какими?). Значит, возмо- жен только один вариант, когда аэ = а+ 1. Остается проверить, что (О, 1, а, аэ), где аэ = а + 1, является полем. Проверка осуществляется непосредственно.[> Пример 9. Пусть Р— поле чисел вида а+ 6~/2, где а, 6 е © Что из себя представляет простое подполе Ро этого поля? а Единицей поля Р является 1+ 0~/2. Наименьшее поле, содержащее 1+ 0~/2, состоит нз элементов а+ О~Г2. Таким образом, Ро = (а + + 0~/2(а 0 ф. Оно совпадает с полем Я.
~> 4.324'. Доказать, что характеристика поля, если она не равна нулю, является простым числом. 4.325". Доказать, что, если р > 0 — характеристика полн Р, то для каждого а Е Р имеет место равенство ра = О. 4,326. Доказать, что в каждом поле содержится простое под- поле. 4.327". Доказать, что если Рм Рг — два полн и Р| С Рэ, то сЬагРг = сЬагРз. 4.328. Пусть Р— поле и Ро — его простое подполе. Дока- зать, что: а) если сЬзг Р = р > О, то Ро И Хр, б) если сЬаг Р = О, то Ро = Я.
4.329*'. Доказать, что если Р— поле характеристики р, то для любых а, Ь е Р имеет место равенство (а + 6)" = ав + Ьв (я Е 0(). 4.330. Раскрыть скобки и упростить выражение (а+ 6)эо, если а, Ь вЂ” элементы поля характеристики 2. / а 61 Пример 10. Докааать, что множество Р матриц а = ~ Ь ), (,— 6 а)' где а, 6 0 Ег, с обычными операпиями матричного сложения и умноже- ния является полем. Сколько элементов содержит поле Р? Чему равна сЬаг Р? Что из себя представляет простое подполе Ро? ° э Все аксиомы поля, за исключением (П9), для Р проверяются просто. / а Ь'1 Проверим аксиому (П9).
Пусть а = ( ), а ф О. Тогда а и Ь не равны 0 одновременно. Простым перебором убеждаемся, что ПеСа = = аэ + Ьэ ф 0 в Жг. Отсюда следует, что существует обратная матрица а '. Имеем: ь Таким образом, Р— поле. Очевидно, (Р! = 7э = 49. Так как 7а = 0 для всех а е Р, то сЬаг Р = 7. Наконец, простое подполе Ро здесь состоит /а О'1 из матриц вила ( ). 1> а) 3 3. Кольца и поля 205 / а Ь| 4.331. Является ли полем множество всех матриц вида ~ Ь ), ~ — Ь а)' где а, Ь Е Жэ, с обычными операциями матричного сложения и умножения? / а Ь1 4.332. Доказать, что множество Р всех матриц вида [ ), а)' где а, 6 Е Жэ, с обычными операциями матричного сложения и умножения является полем.
Найти ]Р], с((агР, Ро. 3. Многочлены иад полями. Деление мнвгочленов. Влемент а Е Р называется корнем многочлена у(х) Е Р[х], если 1(а) = О. Корень а имеет кратность «и, если у(х) представим в виде у(х) = (х — а)"'д(х) н д(а) ф О. Корень а простой, если т = 1, н нра«пныи, если т > 2. Пусть у(х) и д(х) е Р[х], где Р— поле. Говорят, что многочлен д(х) делит У(х) (обозначают д(х) ] у(х)), если существует 6(х) Е Р[х] такой, что у(х) = 6(х)д(х).
В этом случае говорят также, что у(х) делится на д(х), н записывают это в виде у(х): д(х). Теорема. Пусть у(х), д(х) Е Р[х], гдв Р— поле и д(х) ф. О. Тогда у(х) может быть единственным образом представлен в виде ,((х) = д(х)д(х) + г(х), где д(х), г(х) Е Р[х», и деб г(х) < дебд(х). Многочлен и(х) называют час«пным, а т(х) — остатном. Пример 11. Разделить многочлен у (х) = бх«+ 5хэ — 11хэ + 10х — 8 на многочлен д(х) = Зхг + 4х — 5 с остатком.
з Воспользуемся методом деления многочленов «уголкомк бх« + 5хэ — 11хг + 10х — 8 Зхэ + 4х — 5 бх«+ 8хэ — 10хг 2хг — х+ 1 — Зх — х +10х — 8 э т -Зхэ — 4хг + 5х Зхг+ 5х 8 Зхэ + 4х — 5 э х — 3 Таким образом, бх« + 5хэ — 11хг + 10х — 8 = (Зхг + 4х — 5) (2хэ — х + 1) + (х — 3) . (> «(*) «(«) Теорема Безу. При делении многочлена У(х) на двучлен(х-хо) остаток равен значению многочлена при х = хо, «и. е. т = 1(хо). ] Схема Горнера. С помощью этой схемы можно осуществить деление многочлена на двучлен. Пусть даны многочлен 1(х) = а„х" +...
Гл.4. Элементы общей алгебры 206 ... + а1х + ао (а„ ~ О, п > 1) и двучлен (х — а). Тогда у(х) = = (х — а)д(х) + г, где остаток г — многочлен степени ( 1 (т.е. г = = у(а) Е Р по теореме Безу), а неполное частное — многочлен степени и — 1 д(х) = Ь„ гх" ' + ... + Ь1х + Ьо. Быстрое нахождение коэффициентов многочлена д(х) и остатка г осуществляется по следующей схеме: Заполнение таблицы производится слева направо. Пример 12. Найти частноеи остаток отделениямногочлена у(х) = = 2хз — Зх + 5 на многочлен д(х) = х — 4. З Воспользуемся схемой Гориера: Следовательно, Дх) = (х — 4)(2х + Зх + 29) + 121. с Пример 13.
Найти значение многочлена у(х) = х4-2хз+хт+х+1 при х = -3. ° з По теореме Безу значение многочлена у( — 3) равно остатку от деления у(х) на х+ 3. Составим таблицу: Отсюда у( — 3) = 142. ~> В задачах 4.333 — 4.336 для многочленов у (х), д(х) над полем Р разделить с остатком у (х) на д(х). 4.333. у(х) = х4+Зхз-5хт+бх+7, д(х) = хт — х+3 (Р = К). 4.334.
Дх) = ха — 1, д(х) = ха — 1 (Р = Н). 433$. Дх) = 2х4+Зхз+4х+1, д(х) = Зхз+х+2 (Р = Жь). 4.336. у(х) = х +х +х+1, д(х) = х +х+1 (Р = Ее). 3. Кольца и поля 207 4.337'. Некоторый многочлен над полем И при делении на (х — 1) дает в остатке 3, а при делении на (х + 2) дает в остатке — 7. Найти остаток от деления этого многочлена на (х — 1)(х+ 2). В задачах 4.338-4.340 для многочлена у'(х) над полем К найти частное и остаток от деления этого многочлена на двучлен х — хо. 4.338.
Дх) = х4 — 2хз+ 4хэ — бх+ 8, хо = 1. 4.339. у(х) = 2х — 5х — 8х, хо = -3. 4.340, ~(х) = Зхэ л- х4 — 19хэ — 13х — 10, х = 2. Наибольшим общим делителем (у(х), д(х)) многочленов у (х) и д(х) над полем Г называется многочлен наибольшей степени среди много- членов, делящих у(х) и д(х). Для любых двух многочленов, не равных одновременно нулю, наибольший общий делитель существует и определен однозначно с точностью до постоянного отличного от О множителя. Из всех наибольших делителей многочленов у(х) и д(х) обычно выбирается тот, у которого старший коэффициент равен 1. Два многочлена называются езаимио простыми, если они не имеют общих делителей, кроме констант (многочленов нулевой степени). Наибольший общий делитель двух многочленов находят тем же способом, который используется для двух целых чисел, — алгоригпмом Евклида: у(х) = д(х)д1(х) + г1(х), Йебг1(х) < дебд(х); д(х) = т1(х)дт(х) + тт(х), Йебгэ(х) < Йедг~(х); гь т(х) = ть 1(х)дь(х) + гь(х), оеб ть(х) < деб гь 1(х); гь 1(х) = ть(х)дьь1(х).
На каждом шаге степень многочлена, являющегося остатком, меньше степени делителя. Последний отличный от нуля остаток гь(х) и является искомым наибольшим общим делителем многочленов у(х) и д(х), т.е. ть(х) = (у(х), д(х)). Наибольший обьиий делигпель (У1(х), ..., ~„(х)) многочленов 71(х), ..., у„(х) — это многочлен наибольшей степени, на который делятся многочлены у1(х), ..., у„(х). Его можно определить нндуктнвно: (у1(х), ..., у„(х)) = ((у1(х), ..., у„ 1(х)), у„(х)).
Наимеиыиее общее кратное многсчленов у1(х), ..., у„(х) — это многочлен М(х) наименьшей степени, который делится на многочлены ,г1(х), ..., у„(х). 4.341". Доказать, что гь(х) — наибольший общий делитель многочленов У(х) и д(х). 4.342*'. Доказать утверждения: а) если уг(х),..., Ях) — ненулевые многочлены над полем Р н 4(х), 41(х) — их наибольшие общие делители, то 4(х) = Л41(х) при некотором Л е Р, Л э~ 0; 208 Гл. 4. Элементы общей алгебры б) наибольший общий делитель 6(х) многочленов у1(х), ... ..., Ях) можно представить в виде о(х) = Ях)дз(х) +... ...
+ у„(х)дн(х), где 91(х), ..., 9„(х) — некоторые многочлены. Пример 14. Доказать, что если для многочлеиов у(х), д(х), Ь(х) выполнены условия Ь(х) ~ /(х)д(х) и (У(х), Ь(х)) = 1, то Ь(х) / д(х). з Так как (у(х), Ь(х)) = 1, то у(х)и(х) + д(х)и(х) = 1 для некоторых и(х), е(х). Умножив иа д(х), получим: д(х) = (у(х)д(х)) и(х) + д(х)Ь(х)е(х). Следовательно, Ь(х)! д(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
