341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (987777), страница 38
Текст из файла (страница 38)
с 4.343'». Доказать утверждения: а) наименьшее общее кратное М(х) многочленов у(х) и д(х) является делителем любого общего кратного; б) если М(х) и с((х) — соответственно наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель многочленов У(х) и д(х) с коэффициентами из поля Р, то У(х)д(х) = ЛМ(х)б(х) при некотором ЛЕГ, ЛФО. В задачах 4.344-4.348 найти наибольший общий делитель многочленов у(х) и д(х) над заданным полем. 4.344". у(х) = хз — 2хг — х — 6, д(х) = хз + х — 2 (над И). 4345.
У(х) = х +хг+1, д(х) = х +х +2хг+х+1 (над И). 4.346. у(х) = х~+2хз+4х+1, д(х) = х4+4хз+2х+4 (над Уз). 4 34У. у (х) = х4 + 2хз + 2хг + 1, д(х) = х4 + хз + 2хг + х + 1 (над ~з). 4.348. у (х) = х"' — 1, д(х) = х" — 1 (над И). В задачах 4.349 — 4.351 найти наибольший общий делитель И(х) многочленов у(х) и д(х) над заданным полем, а также такие многочлены и(х) и е(х), что о(х) = у(х)и(х) + д(х)и(х). 4.349".
у(х) = х4+2хз-хг-4х — 2, д(х) = х4+хз — хг — 2х — 2 (над И). 4.350. Дх) = хз+Зхз+хз+хг+Зх+1, д(х) = х4+2хз+х+2 (над И). 4.351. Многочлены из задачи 4.346. 4.352. Найти многачлен наименьшей степени над полем И, дающий в остатке многочлен 2х при делении на многочлен (х — 1)г и Зх при делении на (х — 2)з. 4.353.
Найти все Л Е С, при которых многочлены у(х) и д(х) имеют общий корень: а) у" (х) = хз — Лх + 2, д(х) = хг + Лх+ 2; б) ~(х) = хз + Лхг — 9, д(х) = хз + Лх — 3. 3 3. Кольца и поля 209 4.354. Определить, делится ли многочлен (х+1)~ — хз — 2х-1 на 2хз + Зхг + х (над полем Ж). 4.355.
При каких ц многочлен 1+х~+х4+... +хан г делится на многочлен 1+ х + хг +... + х" 1 (над полем К)? В задачах 4.356 и 4.357 выяснить, при каких а, Ь многочлен у (х) делится на д(х) над заданным полем. 4.356. у(х) = хе+ах +2хг+бх+3, д(х) = 2х +х+1 (над Жэ). 4.357. у'(х) = 2х4 + Зхз + ахг + 4х + 5, д(х) = Зхэ + х + 1 (над Жт). В задачах 4.358 и 4.359 найти наименьшее общее кратное многочленов у(х) и д(х) над заданным полем. 4.356. у(х) = хз + 4хт + 4х + 3 и д(х) = хз — х — х — 2 (над полем И). 4 359. у(х) = х4 + хз + хг + 1 и д(х) = хэ + хз + х + 1 (над полем Жт).
Многочлея, представимый в виде произведения многочленов меньших степеней (с козффипиентами из поля Е), называется нриводимым над полем Г. В противном случае многочлен у(х) над полем г' называется ненриводимь4м. Приводимость многочлеиа зависит Й рассматриваемого поля. Так,многочлен х~ — 3 неприводнм над полем 43, ио является приводимым иад полем К, так как х — 3 = (х + иЗ)(х — и'3). Теорема Гаусса (осяовная теорема алгебры). Всякий многочлен счпенени ) 1 с комплексными коэ41фициентами имеень комплексный корень. 4.360.
Доказать следующие свойства неприводимых многочленов над произвольным полем Г: а) всякий многочлен первой степени неприводим; б) если многочлен у (х) неприводим, то неприводимым будет и всякий многочлен су(х), где с — отличный от нуля элемент из Р; в) если У(х) — произвольный многочлен, а р(х) — неприводим, то либо у(х) делится на р(х), либо у (х) и р(х) взаимно просты; г) если произведение многочленов у(х) и д(х) делится на не- приводимый многочлен р(х), то либо у(х), либо д(х) делится на р(х); д) всякий многочлен у (х) степени я, где гь > 1, раскладывается в произведение неприводимых многочленов з). 4.361, Пусть У(х) = р1(х)рг(х)...рь(х) — разложение много- члена у(х) Е Р(х] в произведение неприводимых множителей и ) Непрнводнмый многочлеп прн этом считается пронээедением к непрнэолнмых многочдэноэ прн Й = 1.
210 Гл. 4. Элементы обшей алгеб ы ч исла см сз,..., сь из поля Р таковы, что их произведение равно 1. Тогда у(х) = ~сгр2(х)~ '(сзрз(хЯ... ~сара(хЯ также будет разложением многочлена в произведение неприводимых множителей. Доказать, что этим исчерпываются все разложения многочлена у (х).
4.362. Доказать, что над полем 4, неприводимыми являются многочлены первой степени и только они. 4.363. Доказать, что над полем И неприводимы многочлены первой степени Ах + В и квадратные трехчлены Ахз + Вх + С с дискриминантом В ( О, других неприводимыд над К многочленов нет. 4.364. Пусть даны разложения многочленов у (х) и д(х) на не- приводимые множители У(х) = Ьр~'(х)р~~2(х)...р',"'(х) и д(х) = = ср'~'(х)р~~~2(х)...р~, (х). Доказать, что: а) наибольший общий делитель 44(х) многочленов у(х) и д(х) может быть вычислен по формуле с((х) = р('(х)рт22(х)...рт4'(х)> где 74 = шш(ав, Р4); б) наименьшее общее кратное двух многочленов У(х) и д(х) может быть вычислено по формуле М(х) = рг~(х)р~~(х) .Р3 (х) где 44 = шах (424, )24).
Пример 15. Разложить многочлен х4+1 на неприводимые множители нвп полем Ез. ° З убедимся в том, что многочлен х4 + 1 не имеет корней в поле Ез. х О 1 2 .4+ 1 Значит, многочлен х + 1 не делится на многочлены первой степени и если разлагается в произведение неприводимых множителей, то это могут быть только множители вида хз + ах+ б, где 43, б 6 Ез. Для их нахождения воспользуемся мея2одом неопределенных козффицвекя2ое. Запишем х + 1 = (х + ах + Ь) (х + сх + д), а, Ь, с, И б Е3 и, перемножив многочлены в правой части равенства, получим 4+1 4+( + )хз+(Ь+ ~+ ) 2+( д+~ ) +Ьд Равенство многочленов в левой и правой частях равенства означает совпадение коэффидиентов при одинаковых степенях х. Следовательно, получаем систему уравнений: а+ с = 0 (коэффициент при х ), Ь+ И+ ас = О (коэффициент при хз), ад+ Ьс = О (коэффициент при х), Ы=1 (коэффициент при 1).
3 3. Кольца и полл 211 Из равенства Ы = 1 следует, что либо Ь = 1, Ы = 1, либо Ь = 2, 4 = 2. Если Ь = 1, д = 1, то значения а и с удовлетворяют системе уравнений ( а+с=О, ас = 1. Система не имеет решений. При Ь = 2, Ы = 2 получим с о+с=О, ас = 2. Отсюда а = 1, с = 2 или а = 2, с = 1. Следовательно, разложение исходного миогочлека иа кеприводимые множители над полем Жз имеет вид х4 + 1 = (х~ + 2х + 2)(хт + х + 2). ~> В задачах 4.365 — 4.376 разложить следующие многочлены ни неприводимые множители над заданным полем. 4.365.
хз — 2хт — 13х — 10 (над К). 4.366. х4 — бхт + 7х — 6 (над И и С). 4.367. х" — 1 (над Ж и С). 4,368. х4+ хз — 5хт+ х — б (над И и С). 4.369. х4 + хз + 2хт + х + 1 (над Жа). 4.3ТО. ха+ 2х + 4 (над Жь). 4.3Т1. х~+ х+ 1 (над Жз). 4.3Т2. х4+ 2х +2х+6 (над Жт). 4.373. х4+ 4 (над И). 4.374. х~+1 (над Жь). 4.375.
хе+ 27 (над и). 4.376. хг 1 — 1 (над Жр, р — простое). В задачах 4.377 и 4.378 найти многочлен у(х) наименьшей степени из Жь(х), удовлетворяющий заданным условиям. 4.377. 1(0) = у(1) = у(4) = 1, у(2) = у(3) = 3. 4.378. У(0) =,1(2) = У(3) = 2, ~(1) = 1, У(4) = 3. В задачах 4.379-4.384 определить, являются ли неприводимыми многачлены над указанными полями. 4.379. ха + 2хт+ х+ 1 (над Жз). 4.380. х4 + 2хз + хт + 2х + 1 (над Жз). 4.381.
хз + 2х4 + х + 1 (над ,'Ц). 4.382. х4 + х + 1 (над Жт). 4.383. хз — 2 (над Я). 4.384. х4 — 2 (над Я). 4.385. Доказать, что многочлен 2-й или 3-й степени над полем Р неприводим тогда и только тогда, когда он не имеет корней в Г. Показать на примере, что это неверно для многочленов более высоких степеней. 212 Гл. 4. Элементы обшей алгебры 4.386". Доказать, что над любым полем существует бесконечно много неприводимых многочленов. Назовем многочлен с целыми коэффициентами примитивньтль если наибольший общий делитель его коэффициентов равен 1.
4.387ь. Доказать лемму Гаусса: произведение примитивных многочленов является примитивным многочленом. 4.388'. Доказать, что многочлен с целыми коэффициентами не- приводим над полем Я тогда и только тогда, когда он неприводим над кольцом Ж (т. е. не раскладывается в произведение многочленов меньшей степени с целыми коэффициентами). 4.389'. Доказать критерий Эйзенштейна: многочлен с целыми коэффициентами у(х) = а„х" +...
+ отх + ао неприводим над полем Щ если для некоторого простого р выполняются условия: а) а„не делится на р; б) а„т,..., аы ао делятся на р; в) ао не делится на рг. В задачах 4.390-4.399 доказать неприводимость над полем Я следующих многочленов. 4390' хз 2 4,391. х4 3 4 392. х4 8хз+ 12хг бх+ 2.
4,393. хэ — 12хз + 36х — 12. 4.394. 1+ х + хг +... + хв т (р — простое). В задачах 4.395 и 4.396 найти все многочлены З-й степени, неприводимые над указанным полем. 4.396. Над полем Жг. 4.396. Над полем Уз. 4.397. Найти все многочлены 4-й степени, неприводимые над полем Кг. В задачах 4.398-4.401 определить, при каких а многочлен у (х) неприводим над полем Р. 4.398. Дх) = х4 + х + а, Р = Хз. 4,399. 1(х) х4+ а Е = Хз 4.400, Дх) = х~+а, Г = л.з.
4.401. 1'(х) = ах + х + а, Р = Жз. 4.402. Найти какой-либо многочлен 6-й степени, неприводимый над полем Жг. 4.403. Доказать, что если многочлен у(х) над полем Ур удовлетворяет равенству у(х + 1) = у(х), то его степень делится на р. 4.404'. Доказать, что многочлен хР— х+а при а ~ 0 неприводим над полем Жр. Теорема, Пусть тС вЂ” оссоциативно-коммутпативное кольцо. Если В не имсетп ненулевых делителей нулл, то Н может быть вложено в поле, т. е. существует поле Е такое, чтпо каждый элемента $ 3. Кольца и поля 213 х б Л представляется в виде х = аб 1 при подходящих а, б б В (т.е. в виде дроби с числителем и знаменателем из Я).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
