341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (987777), страница 42
Текст из файла (страница 42)
4. Элементы общей алгебры 228 В аадачах 4.515-4.517 избавиться от иррациональности в знаменателе дроби. 4/ 4'515' е ' 4 516' 2+Я+ Я К вЂ” 3 — ~à — 3+1 Г5 4.517. ' 2,зт255+ Я+1' Пусть Š— конечное поле. Тогда сЬагЕ = р, где р — простое число. Отоптдествим простое подполе Ро поля Е с полем Ер.
Тогда Р будет расширением поля Ер. Теорема 1. (а) Если Р— конечное поле, то [Р[ = р", где р— яростное число; (б) аддитивная группа (Е, +) конечного поля изоморфна группе Ер 9... + Ер,' я рьз (в) мультпипликатпивная группа (г", ) конечного поля являетпся пиклической. Теорема 2. Пусть и — натуральное число, а р — простое. Тогда: (а) сущестпвует поле из р" элементное; (б) любые два поля из р" элементов изоморфны друг другу; (в) если Š— поле из р" элементлов, то сущестпвует неприводимый над полем Ер многочлен у(х) степени п такой, что Р Й М Ер[х[/у(х)Ер[х[. Поле из р" элементов называется полем Галуа и обозначается Сг (р").
Теорема 3. Пусть р — простое число, и — натуральное. Тогда количество ф(п) унитарных многочленов, неприводимых над полем Ер, вычисляется по формуле ф(п) = „-~р(д)р"~""). <Ця Примечание. Если в этой формуле заменить р на д = р", получится формула количества неприводимых многочленов степени и над полем ~Е(Й. Пример 35. Найти количество ут(п) унитарных многочленов, степени и, неприводимых над полем Ер, при заданных значениях р и и.
а) р = 2, и = 2; 6) р = 2, и = 4; в) р = 3, и = 6. ) И(п) функии.з Мебиуса (-1) ~ если и = Ртрт.. ры гпе р, — различные простые, -( ь р(п) = О, если и делится на рз, р — простое. 33. Кольца и поля 229 г г а)») (2) = — (,и(1) 2г +»»(2) 2') = -(4 — 2) = 1. 2 2 Значит, над полем Ег есть только один неприводимый многочлен второй степени. Это многочлен х + х + 1. б)»)(4) = -(и(1) 2»+ и(2),2г+»»(4),2з) (16 4+0) 3 Таким образом, имеется ровно 3 неприводимых многочлена 4-й степени над полем Ег. Это х»+х+1, х»+ха+1 и х»+ ха+ хг+х+ 1. в) Ф(6) (р(1),Зв+ и(2),За+1»(3),За+1»(6),3») (729 27) 1 — -(9 + 3) = 116. 6 Следовательно, имеется ровно 116 унитарных многочленов шестой степени, неприводимых над полем Ез. ь Если к полю Сг'(д) присоединить корень неприводимого многочлена 1»-й степени, то полученное расширение будет содержать корни всех не- приводимых многочленов Й-й степени (или, по-другому: всякое неприводимое уравнение 1»-й степени будет решаться в этом расширении).
Пример 36. Построить поле Сг'(81). Найти образующий элемент мультипликативной группы этого поля. < Так как 81 = 3», то для построения полн надо найти многочлен 4-й степени, неприводимый над полем Ез. На первый взгляд кажется, что в качестве такого многочлена можно взять х + 1. Однако этот многочлен приводим над Ез, так как х» + 1 = (хг + х + 2) (хг + 2х + 2). Рассмотрим тогда многочлен 1(х) = х» +х+ 2. Этот многочлен не имеет корней в Ез.
Если предположить, что этот многочлен приводим, то его разложение запишется в виде х» + х + 2 = (хг + Ах + 1)(хг + Вх + 2); составив ~ исистему уравнений для коэффипиентов А и В, убедимся, что она не имеет решений, следовательно, многочлен х» + х+ 2 неприводим над Ез. Из неприводимости следует, что СВ'(81) = Ез[х]/(х + х + 2)Ез[х]. Положим 1 = (х» + х + 2)Ез[х] и В = х + 1. Тогда 0» + 0+ 2 = О, откуда 0» = 20+ 1, Надо найти в группе СР(81)' элемент порядка 80.
Определим порядок элемента В. Имеем: Вв = В В» = 20г + О, Вз = (В')г = (2В + 1)г = Вг + 0 + 1 Във (Вг + В + 1)г 20з + В + 2 0»о (0»в)г . Вз Простые делители числа 80 — это 2 и 5. Значит, максимальные дели- 80 80 тели числа 80 — это — = 40 и — = 16. Так как 0»о ~ 1 и 0»в ф 1, то 2 5 0 — элемент порядка 80, а значит, образуюший элемент мультипликативной группы. С> Пример 37. Найти какой-нибудь многочлен 3-й степени,неприводимый над полем СВ'(4). Гл.
4. Элементы общей алгебры 230 ° з Поле СР(4) представим в виде СР(4) = (О, 1, а, а+ Ц, где аг = а+1. Докажем неприводимость многочлена /(х) = хз+хг+1 над полем СР(4). Так как оеб/ = 3, то для этого достаточно доказать, что у(х) не имеет корней в СР(4). Имеем: /(О) = /(1) = 1ф О, /(а) =а +а +1=а а+(а+1)+1=(а+1)а+а=а =а+1фО и /(а + 1) = (а + 1) + (а + 1) + 1 = а ~ О.
Заметим также, что неприводимость многочлена у(х) можно вывести из более общих соображений: если многочлен ~р(х) степени п иеприводим над полем Ер и НОД(я,?с) = 1, то ~о неприводим над СР(рз). ~> Пример 38. Разрешимо лик поле СР(625) уравнение хз+Зх+3 = = О? а Многочлен х +Зх+3 не имеет корней в Ез (это проверяется непосредственно), Если бы этот многочлен имел корень В в поле Р = СР(5~), то поле Р' = Ез(В) было бы подполем поля Р.
Но это невозможно, так как Р' и СР(5з), а число 3 не является делителем числа 4. Таким образом, данное уравнение неразрешимо в поле Р. ~> 4.518. Доказать, что для любого простого числа р и любого натурального ц существует неприводимый над полем Жр многочлен степени и. 4.519. Выяснить, существуег ли поле, количество элементов в котором равно указанному числу: а) 32; б) 36; в) 125; г) 243. В задачах 4.520 и 4.521 найти какой-нибудь образующий элемент мультипликатнвной группы указанного поля.
4.520. СР(25) = Жз[В], где Вг = 4В+ 3. 4.521. СР(27) = Жз[В], где Вз = В + 1. П ри мер 39. Построить изоморфизм полей Рз = Ез[х)/(хг+ 1)Ез[х) н Рг = Ез[х]/(х + х+ 2)Ез[х]. З Очевидно, Рз —— Ез[В], где Вг = 2, а Рг = Ез[ы), где ыг = 2ы + 1. Для построения изоморфизма надо найти в поле Рг элемент, удовлетворяющий уравнению хг = 2х + 1, т.е. найти такие а, В б Ез, что (а+ )1В)г = 2(а+ ВВ) + 1. Решением является, в частности, а = В = 1, т. е. В + 1. Значит, отображение ы ~-> В + 1, аы + Д ~-+ а(В + 1) + В является изоморфизмом Рг -+ рм ~> В задачах 4.522 и 4.523 выяснить, изоморфны ли указанные пары колец. 4.522. Жз[х]/(хг — 2)Жз[х] и Жз[х]/(х — 3)Жз[х].
4.523. Жз[х]/(х~ + 1)Жз[х] и Жз[х]/(х + х + 2)Жз[х]. 4.524. Доказать, что Жз[х]/(х + 1)Жз[х] = СР(9) ® СР(9). 231 3 3. Кольца и поля В задачах 4.525 †.531 найти количество многочленов заданной степени,неприводимых над указанным полем. 4.525. б-й степени над .'Еэ. 4.526. 6-й степени над Ут 4.527. Унитарных многочленов 4-й степени над Жэ. 4.528.
Унитарных многочленов 5-й степени над Жз. 4.529. Унитарных многочленов 2-й степени над Жв (р — любое). 4.530. Унитарных многочленов 3-й степени, непрйводимых над СР(9). 4.531. Унитарных многочленов 4-9 степени, неприводимых над СР(4). В задачах 4.532 и 4.533 найти какой-нибудь многочлен заданной степени, неприводимый над указанным полем. 4.532. 2-й степени над СР(9) = Кз~Я, 9~ = 9+ 1. 4.533. 4-й степени над СР(4). 6. Алгебры иад полем.
Множество А называется алгеброй кад полем Р, если оно является линейным пространством над Р и в нем звдвнв операция умножения, причем выполнены аксиомы: (Ал1) (а+Ь)с = ос+ Ьс, с(а+ Ь) = са+сЬ; (Ал2) (Ла)Ь = а(ЛЬ) = Л(аЬ) для всех а, Ь, с 6 А, Л 6 Р. 4,534. Доказать, что поле Р является алгеброй над Р. Определить размерность этой алгебры. 4,535. Доказать, что поле С комплексных чисел является алгеброй над полем )к действительных чисел.
Найти размерность и указать какой-либо базис этой алгебры. 4.536. Доказать, что кольцо многочленов Р(х) является бесконечномерной алгеброй над полем Р с базисом (1, х, хэ, хэ, ...). 4.537. Доказать, что кольцо Р„ всех гг х и-матриц над полем Р— ассоциативная алгебра с единицей, причем в качестве базиса этой алгебры можно взять матричные единицы Еэ (элемент на пересечении 1-й строки и д-го столбца равен единице, а остальные равны нулю). Определить ейпте Р„.
Пусть С = (дм дэ, ..., д„) — конечная группа, Р— поле. Рассмотрим множество РС всех выражений вида Л~дг + ... + Л„д„, где 'Лы ..., Л„б Р, в котором сложение определяется обычным образом, в умножение по правилу '~ Л;д, ~ а,д, =~ Л,л,дгдэ (здесь д,д, — произведение элементов д; и ду в группе С). 4.538. Доказать, что РС вЂ” алгебра над полем Р с базисом дг .
дг. Гл. 4. Элементы. общей алгебры 232 Алгебра из задачи 4.538 называется групповой алгеброй и обозначается г'с . Элементы д», ..., д„образуют базис алгебры РС, поэтому сПщ г'О = п. Пусть Я вЂ” полугруппа, г" — поле, ГЯ вЂ” множество всех формальных конечных сумм Л» в) +... +Л„в„, где Л», ..., Л„б Р, в», ..., в„б Я. 4.539. Доказать, что РЯ будет алгеброй над полем Р, если положить Л«в;+~> )»;в; = ~ «(Л;+)»;)в;« ~~» Л;в; ~» ))уву — — ~~» Лу)» в;ву. Е Алгебра Р'Я нз задачи 4.539 называется полугрупповой алгеброй.
Если А — и-мерная алгебра над полем Р, имеющая базис и», иг, ... ..., и„, то произведения и,и, можно разложить по этому базису: и,иу= у 'у; иь (»,у'=1,2,...,п). Совокупность пэ элементов у," й Р, называемых структурными (ь) константал«и, однозначно определяет умножение в алгебре А, так как если о и Ь вЂ” произвольные элементы из А, то при некоторых а;, )31 б Р мы имеем а = а»и» +... + а„и„, Ь = )3»и» + ... + )3„и„, а значит, аЬ= 2" ао3) ); иы «,бь Пример 39.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
